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1、1.3.3 1.3.3 函数的最大函数的最大( (小小) )值与导数值与导数必要条件必要条件设设)(xf在点在点0 x处处存在存在导数导数, ,且在且在0 x 处取得极值处取得极值, ,那么那么必定必定有有0)(0 xf. . xyoxyo0 x0 x 函数极值与导数函数极值与导数函数极值的定义函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.函数极值的求法函数极值的求法求极值的步骤求极值的步骤:1.求导，求导，2.求极值点，求极值点，3.列表，列表，4.求极值求极值一、知识回顾一、知识回顾:xyoaby=f(
2、x)xxbf (x)+0-f(x)单调单调递增递增极大值极大值单调单调递减递减f(a)f(b)xxaf (x)-0+f(x)单调单调递减递减极小值极小值单调单调递增递增极大值点和极小值点极大值点和极小值点统称为极值点统称为极值点极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值函数极值的判定定理函数极值的判定定理结合课本练习思考结合课本练习思考 极大值一定比极小值大吗？极大值一定比极小值大吗？oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念结论：不一定结论：不一定极大值极大值极小值极小值极极小小值值导数的应用之三导数的应用之三:求函数最值求函数最值. 在
3、某些问题中，往往关心的是函数在在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的问题，这就是我们通常所说的最值问题最值问题. 二、新课引入二、新课引入问：最大值与最小值可能在何处取得？问：最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？怎样求最大值与最小值？ 观察极值与最值的关系：观察极值与最值的关系：oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x函数的最值函数的最值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一个定义观察右边一个定义在区间在区间a,b上的函数上的函数y=f(x
4、)的图象，你能的图象，你能找出函数找出函数y=f（x）在）在区间区间a，b上的最大上的最大值、最小值吗？值、最小值吗？发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 在在闭区间闭区间a,ba,b上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图象是一的图象是一条条连续不断连续不断的曲线的曲线
5、, ,则它则它必有必有最大值和最小值最大值和最小值. .x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3) )f(b)f(b)f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )gg (2)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较，其比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值中最大的一个为最大值，最小的一个最小值 求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)三、建构数学三、建构数学:求函数的最值时求函数的最值时,
6、应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的函数的极值是极值是在局部范围内讨论问题在局部范围内讨论问题,是一个是一个局部概局部概 念念,而函数的而函数的最值最值是对整个定义域而言是对整个定义域而言,是在整体范围是在整体范围 内讨论问题内讨论问题,是一个是一个整体性的概念整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内内 的可导函数不一定有最值的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极则此极 值必是函数的最值值必是函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个有
7、一个,而函数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个,也可能没有也可能没有极值极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小最小值值),但除端点外在区间内部的最大值但除端点外在区间内部的最大值(或最小值或最小值),则则一定是极大值一定是极大值(或极小值或极小值). (4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则在确定函则在确定函数的最值时数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值处的值.o ox xy ya ab
8、 bo ox xy ya ab bo ox xy ya ab bo ox xy ya ab by=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, ,在开区间内的连续函数不一定有最大值与在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值最小值. .一是利用函数性质一是利用函数性质二是利用不等式二是利用不等式三是利用导数三是利用导数 注：注：求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法：例例1、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的最大值和最小值的最大值和最小值
9、.法一法一 、 将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用配方，利用二次函数单调性处理二次函数单调性处理四、数学运用四、数学运用:例例1、求函数、求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的极值与最值的极值与最值 故函数故函数f(x) 在区间在区间1，5内有极小值为内有极小值为2，最大值为最大值为11，最小值为，最小值为2 法二、法二、解、解、 f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2。x1（1，2）2（2，5）50y-+3112y 例例1的变式题的变式题:求函数求函数f(x)=x2-4x+6在在区间区间2，5内的极值和最值内的极值和最值.
10、xO y yf(x ) abxO y yf(x ) ab 如果函数如果函数 f (x)在在a, b上单调增加上单调增加(减少减少)，则则 f (a)是是 f(x)在在a, b上的最小值上的最小值(最大值最大值)，f (b)是是 f (x)在在a, b上的最大值上的最大值(最小值最小值)。函数的最值一般有两种情况：函数的最值一般有两种情况：（1）xO y f(x0) yf(x ) ax0bxO y f(x0) yf(x ) ax0b 如果函数在区间如果函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大内有且仅有一个极大(小小)值，而没有极小值，而没有极小(大大)值，则此极大值，则此极大(小小)值就是值就是
11、函数在区间函数在区间a, b上的最大上的最大(小小)值。值。函数的最值一般分为两种情况：函数的最值一般分为两种情况： (2)如果函数在区间如果函数在区间(a, b)内有极值内有极值,将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值为最大值，最小的一个最小值.求函数在闭区间内的最值的步骤求函数在闭区间内的最值的步骤(1) 求出函数求出函数 y = f (x)在在(a , b)内的内的全部驻点全部驻点和和 驻点处的函数值驻点处的函数值；(2) 求出区间求出区间端点处的函数值端点处的函数值；(3) 比较以上各函数值，其中最大的就
12、是函数 的最大值，最小的就是函数的最小值。求函数求函数 y = x + 3 x9x在上在上4 , 4 的最大值和最小值。的最大值和最小值。解解 (1) 由由 f (x)=3x +6x9,(2) 区间端点区间端点4 , 4 处的函数值为处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76(3) 比较以上各函数值，比较以上各函数值，例例2得驻点为得驻点为 x1=3，x2=1 驻点处的函数值为驻点处的函数值为f (3)=27, f (1)=4可知函数在可知函数在4 , 4 上的上的最大值为最大值为 f (4) =76，最小值为，最小值为 f (3)=27 思考思考:你能作出函数你能作出函数f(x
13、)的大致图象吗的大致图象吗?例例3 求求f(x)=x/2 +sinx在区间在区间0,2上的最值上的最值.例题讲解例题讲解 例例1 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值与上的最大值与最小值最小值5224xxy2 , 2 解：解：xxy443 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1 , 0 , 1 x1345413y+00+02(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当当x 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy , 从表上可知，最大值是从表上可知，最大值是13，最小值是，最小值是4例例2 2解解.4 , 3232上上的的最最大大值值与与最最小小值
14、值的的在在求求函函数数 xxy 2323)(22xxxxxf4 , 21 , 3 x)2,1( x 3232)(xxxf4 , 21 , 3 x)2,1( x得得解方程解方程, 0)( xf231 x计算计算20)3( f;41)23( f; 0)1( f; 6)4( f2, 1 x不不可可导导点点为为0)2( f，最最大大值值20)3( f比较得比较得. 0)2()1( ff最最小小值值练习P31 (1)-(4)求下列函数在指定区间内的最大值和最小值求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。2,2,2sin)()1(xxxf1 ,5,1)()2(xxxf4, 1,71862)() 3(23xx
15、xxf答 案最大值最大值 f (/2)=/2，最小值，最小值 f (/2)= /2最大值最大值 f (3/4)=5/4，最小值，最小值 f (5)= 5+ 最大值最大值 f (1)=29，最小值，最小值 f (3)= 61补充练习：补充练习：6导数导数导数的定义导数的定义求导公式与法则求导公式与法则导数的应用导数的应用导数的几何意义导数的几何意义多项式函数的导数多项式函数的导数函数单调性函数单调性函数的极值函数的极值函数的最值函数的最值五、回顾小结五、回顾小结:求函数求函数 在在 内的极值；内的极值； )(xf),(ba1. 求求 在在 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤:)( xf,ba求函数求函数 在区间端点在区间端点 的值；的值； )(xf)()(bfaf、 将函数将函数 在各极值与在各极值与 比较，其中最大的一比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值 )(xf)()(bfaf、小结2.2.求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法：. .是利用函数性质是利用函数性质. .是利用不等式是利用不等式. .是利用导数是利用导数作业P31 6