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1、探究与探究与发现发现(必修必修2 2 第一章）第一章）祖暅原理祖暅原理与与柱体、锥体、球体的体积柱体、锥体、球体的体积教师：邵玉兰教师：邵玉兰河北省唐县第一中学河北省唐县第一中学祖暅的介绍：祖暅的介绍：祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受其家庭祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受其家庭特别是受其父亲的影响，他从小热爱科学，并对数学有着浓特别是受其父亲的影响，他从小热爱科学，并对数学有着浓厚的兴趣。祖暅和他父亲厚的兴趣。祖暅和他父亲祖冲之祖冲之一起，用巧妙的方法解决了一起，用巧妙的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采用的
2、原理，在西方被称为方被称为“卡瓦列利卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的年才由意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的这一伟大发现，数学上也称这个原理为这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理祖暅原理”。小实验：小实验：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高有没有变一下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高有没有变化？几何体的体积有没有变化？说明理由！变化？几何体的体积有没有变化？说明理由！祖暅原理
3、：祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面如果截面(阴阴影部分影部分)面积总相等面积总相等,那么这两个几何体的体积一定那么这两个几何体的体积一定相等。相等。祖祖 暅暅 原原 理理：“幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异”“幂幂”是面积，是面积，“势势”即是高。即是高。意思是：意思是：如果两等高的几何体，在同高处如果两等高的几何体，在同高处截得的截面面积总相等，那么这两个几何截得的截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。体的体积相等。问题问题1：柱体体积公式是什么？：柱体体积公式
4、是什么？问题问题2：怎样结合祖暅原理得出怎样结合祖暅原理得出柱体体积公式柱体体积公式？（一）利用祖暅原理探究柱体的体积公式（一）利用祖暅原理探究柱体的体积公式思考：思考：设有设有下底面在同一平面内，下底面在同一平面内，底面积都为底面积都为S S，高都为高都为h h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，你能得到什么结论？你能得到什么结论？由祖暅原理可得：其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。V柱体=V长方体=Sh 问题问题1：椎体体积公式是什么？：椎体体积公式是什么？问题问题2：如何结合祖暅原理推导如何结合祖暅原理推导椎体的体积公式椎体的体积公式？（二）探究椎
5、体的体积公式（二）探究椎体的体积公式 探究锥体的体积公式探究锥体的体积公式 问题：问题：一个底面积为一个底面积为S,S,高为高为h h的三棱柱可以分割成几的三棱柱可以分割成几个三棱锥？分成的各个三棱椎体积之间有什么关系？个三棱锥？分成的各个三棱椎体积之间有什么关系？每个三棱锥的体积是多少？每个三棱锥的体积是多少？ACA1BB1C1 锥体的体积公式结论：锥体的体积公式结论：三个小三棱锥体积相等，三个小三棱锥体积相等，ACA1BB1C1A1BB1C1AA1BC1ACBC1 设有底面积都等于设有底面积都等于S S，高都等于，高都等于h h的两个锥体的两个锥体（如图：一个棱锥和一个圆锥），使它们的（如
6、图：一个棱锥和一个圆锥），使它们的下底面在同一平面内。你能得到什么结论？下底面在同一平面内。你能得到什么结论？等底面积等高的两等底面积等高的两个锥体的体积相等个锥体的体积相等结论：结论：对于一个任意的锥体，设它的底面积为对于一个任意的锥体，设它的底面积为S S，高为，高为h h，那么它的体积应等于一个底面积为，那么它的体积应等于一个底面积为S S，高为，高为h h的三棱锥的体积。的三棱锥的体积。即：即：课堂练习：课堂练习：(1)(1).某几何体的三视图如图，求该几何体的体积。某几何体的三视图如图，求该几何体的体积。所以该几何体的体积是所以该几何体的体积是(2)如图（如图（2）所示，已知）所示，
7、已知E、F分别是棱长为分别是棱长为a的正的正方体方体ABCD-AAB1C1D1的棱的棱AA1和和CC1的中点，求的中点，求四棱锥四棱锥C1-DEB1F的体积的体积.问题问题1：球体的体积公式是什么？：球体的体积公式是什么？问题问题2：如何利用祖暅原理推导出球体的体：如何利用祖暅原理推导出球体的体积公式？积公式？（三）探究球体的体积公式（三）探究球体的体积公式（1 1）先解决半球的体积）先解决半球的体积思考：思考：如何找到一个与半球等体积的如何找到一个与半球等体积的“替代品替代品”呢？呢？如图（如图（1），设平行于大圆且与大圆的距离为），设平行于大圆且与大圆的距离为l的平面截半球所的平面截半球所
8、得圆面的半径为得圆面的半径为r，则图（则图（1）截面面积）截面面积：半球的体积半球的体积图（图（2）中截面圆环面积也为：）中截面圆环面积也为：结论：半径为半径为R R的球的体积公式的球的体积公式课堂练习：课堂练习：（1 1）三棱锥）三棱锥P-ABCP-ABC三条侧棱两两互相垂直，且三条侧棱两两互相垂直，且PA=1,PB=2,PC=3,PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的体积。求它外接球的体积。（2 2）三棱锥三棱锥P-ABCP-ABC中侧棱中侧棱PAPA长为长为3 3且垂直于底且垂直于底面面ABCABC，底面是边长为，底面是边长为2 2的正三角形，求这个三的正三角形，求这个三棱锥外接球的
9、体积。棱锥外接球的体积。通通过过对对本本节节内内容容的的学学习习，你你了了解解到到那那些些东东西西？(1)什么是祖暅原理？(2)祖暅原理用来解决什么样地问题？(3)如何借助祖暅原理推导柱体、锥体和球体的体积？(4)在学习过程中，你学到了哪些在解决立体几何体积问题时常用的方法？课堂小结课堂小结：知识方面：知识方面：本节探究了利用祖暅原理获得了柱体、锥本节探究了利用祖暅原理获得了柱体、锥体、球体的体积公式。体、球体的体积公式。方法方面：方法方面：割补法、等体积转化法。割补法、等体积转化法。思维能力方面：思维能力方面：体会到联想，类比，猜想证明等合情体会到联想，类比，猜想证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用。推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用。课后作业探究：课后作业探究：1.1.利用祖暅原理探究台体的体积公式，利用祖暅原理探究台体的体积公式，球、柱、台、锥体体积之间的关系。球、柱、台、锥体体积之间的关系。2.2.P3535复习参考题复习参考题 A组组.7、10；B组组.2 选做题选做题:B组组.4.4 我们要学习他们不畏艰难、勇于探我们要学习他们不畏艰难、勇于探索的精神，努力为人类的科技进步做索的精神，努力为人类的科技进步做出自己的贡献！出自己的贡献！祖冲之父子是我们中华民族的祖冲之父子是我们中华民族的骄傲和自豪！骄傲和自豪！