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1、12.3角平分线的性质角平分线的性质复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离:从直线外一点从直线外一点到这条直线的垂线段到这条直线的垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。OPAB线段的线段的长度长度 不利用工具，请你将一张用纸不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？么办法？AOBC活活 动动1（对折对折）1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD,BC
2、=DC。将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一条射线条射线AE,AE就是角平分线，就是角平分线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？证明：在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）
3、ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样作根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）量角器）活活 动动3NOMCEAOBCDE尺规作图：尺规作图：作法：作法：1 1、以、以_ _ _为圆心，为圆心，_长为半径作圆弧，长为半径作圆弧，与角的两边分别交于与角的两边分别交于C C、D D两点；两点；2 2、分别以分别以_为圆心，为圆心，_的长为半径的长为半径作弧，两条圆弧交于作弧，两条圆弧交于AOBAOB内一点内一点_；3 3、作射线、作射线_；_就是所求作的射线。就是所求作的射线。点点O O任意任意C、D超过超过CDCD一半一半EOEOE观观
4、察察察察领领悟作法，探索思考悟作法，探索思考悟作法，探索思考悟作法，探索思考证证明方法：明方法：明方法：明方法：A A为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证明证明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中，OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OCOC=OC，OMC ONCOMC ONC（SSSSSS）MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOBABOAOEBCPD 将将 AOBAOB对折对折,再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形(
5、使第一条折痕为斜边使第一条折痕为斜边),),然后展开然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论你能得出什么结论?可以看一看可以看一看,第一条折痕是第一条折痕是AOBAOB的平分线的平分线OC,OC,第二次折叠第二次折叠形成的两条折痕形成的两条折痕PD,PEPD,PE是角的平分线上一点到是角的平分线上一点到AOBAOB两边的距两边的距离离,这两个距离相等这两个距离相等.折一折折一折角平分线的性质角平分线的性质角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一
6、个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED结论：结论：C已知：已知：AOC=BOC，点，点P在在OC上，上，PD OA于于D，PE OB于于E求证求证:PD=PEAOBEDP PC PDOAPDOA，PEOBPEOB证明：证明：PDO=PEO=90在在PODPOD和和PEOPEO中中 PDOPEO（AAS）PDOPEO AOCBOC OP=OP PDPE证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2、根据题
7、意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,且且PDPDOA,PEOA,PEOBOBPD=PE PD=PE (角的平分线上的点到角的平分线上的点到角的两边距离相等角的两边距离相等)几何语言几何语言:角平分线性质：角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。EDOABPC角平分线的性质角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOP
8、EC定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件：（1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3 3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在
9、角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等Your site hereLOGO如图，如图，OC是是 AOB的平分线，的平分线，又又 _ PD=PE ()PD OA，PE OBBOACDPE 角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等Your site hereLOGO 在在OAB中，中，OE是它的角平分线，且是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直分别垂直OA，OB，垂足为，垂足为C，D.求证：求证：AC=BD.O OA AB BE EC CD DYour site hereLOGO 1
10、、在在ABC中，中，C=90 ，AD为为BAC 的平分线，的平分线，DE AB，BC7，DE3.则则BD的长为的长为_。EDCBA444442 2、如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分别是分别是E E，F F，DE=DFDE=DF，EDB=EDB=6060，则，则 EBF=EBF=度，度，BE=BE=。60BF3、在、在Rt ABC中，中，BD平分平分ABC，DE AB于于E，若，若AB10，BC8，AC6，则，则AED的周长为的周长为_。EDCBA84.已知已知ABC中中,C=900,AD平分平分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求点求点D到到AB的距离是多少？的距
11、离是多少？ABCDE你会吗？你会吗？问题1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）解决问题s解：作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm,D即为所求。DCs如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度要使这个度假村到三条公路的距离相等假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？应在何处修建？Your site hereLOGO1 如图，在如图，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平
12、的平分线，分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF；求求证：证：CF=EBACDEBF2 2已知：如图，已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P.P.求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点P作作PD、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、B
13、C、CA的距离相等的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？3 如图，如图，的的的外角的平分线与的外角的平分线与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的求证：点到三边，所在直线的距离相等距离相等F FGH更上一层楼！更上一层楼！Your site hereLOGO这节课我们学习了哪些知识？这节课我们学习了哪些知识？1、“作已知角的平分线作已知角的平分线”的尺规作图法；的尺规作图法；2、角的平分线的性质：、角的平分线的性质：111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。OC是是AOB的平分线的平分线,又又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点角的平分线上的点到到角的两边距离相等角的两边距离相等).EDOABPC几何语言几何语言: