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1、第七章：期权定价股票价格的二叉树模型多期的二叉树模型二叉树模型中的参数n三个参数nu-股价上升幅度nd-股价下降幅度nP-股价上升概率n两个条件（在一个周期 ）n预期收益率为：n方差为：n参数的选择方法（非唯一选择）：简答的二叉树期权定价简单的二叉树期权定价（cont.）二叉树期权定价n假设n某股票现价为20，一个月后价格可能是22或18。n该股票的欧式看涨期权一个月后到期，执行价为21。n无风险利率为12%（连续复利）n期权到期价值：n若到期时股价为22，则看涨期权价值为1n若到期时股价为18，则看涨期权价值为0n构建组合：（组合包含a股股票和1个看涨期权的空头）n当到期时股价为22时，组合
2、价值为22a-1n当到期时股价为18时，组合价值为18a例：二叉树期权定价（cont.）n求解：n令：22a-1=18an得：na=0.25n22a-1=18 a=4.5n期初该组合的价值应为：n20a-c=20*0.25-c=4.5*EXP(-0.01)=4.45522n得到：c=0.54478风险中性假设n可以利用股票和股票期权头寸构造一个无风险组合，该组合的期望收益率为无风险利率：nVt=a*S-c=EXP(-r(T-t)*VTn组合的到期价值表示为某种期望值的形式：VT=E(VT)=E(a*ST-cT)=aE(ST)-E(cT)n可以得到：nVt=a*S-c=EXP(-r(T-t)*a
3、E(ST)-E(cT)n从上式，我们似乎可以得出这样的结论：n若股价的期望收益率为无风险利率：E(ST)=S*EXP(r(T-t),则期权价值可由期权到期价值的期望值按无风险利率贴现得到，即：c=EXP(-r(T-t)*E(cT)风险中性假设（cont.）n现实世界n股价的期望收益率高于无风险利率n假设一个风险中性世界n所有的投资者既不是风险厌恶的，也不是风险喜好的，对它们来说，投资有风险的资产和投资无风险资产是无所谓的，它们只考虑预期收益率n在风险中性的世界中，所有资产的期望收益率与无风险资产的期望收益率，即无风险利率相同。n在风险中性世界中对期权定价n期权价值由期权到期价值的期望值按无风险
4、利率贴现得到n所得结果（期权价）放回现实世界仍成立。风险中性世界中的二叉树模型例：二叉树期权定价（风险中性）n假设条件同上例nq=(e0.01-0.9)/(1.1-0.9)=0.55025nE(cT)=0.550251=0.55025nc=0.55025 e-0.01=0.54477多期二叉期权定价多期二叉树期权定价1多期二叉树期权定价2n方法二：利用风险中性假设n计算风险中性概率n计算达到末期每一个节点的概率n计算末期期权价值的期望值n按无风险利率折现nn期二叉树n计算n+1个节点的概率n无须倒退，直接折现例：多期二叉树期权定价n设某股票价格变化服从如下二叉树模型，每期为一个月，无风险利率为
5、6%，求以该股票为标的，有效期2个月，执行价为20的欧式看涨期权的价格。例：多期二叉树期权定价1例：多期二叉树期权定价2看跌期权定价n直接用二叉树法n利用平价关系美式期权定价n利用二叉树法逐步倒退n（在风险中性世界中）构造二叉树n逐步倒推n在每一个节点检查是否要提前执行n不付红利股票的看涨期权同欧式期权n看跌期权没有平价关系可用n直接利用二叉树法逐步倒推例：美式看跌期权n考虑一不付红利的美式看跌期权，参数如下：nS=50；K=50；r=10%;=40%nT=5 months=0.4167nt=1 month=0.0833n在风险中性世界中构造二叉树，参数如下：nu =1.1224nd =0.8
6、909nq =0.5076例：美式看跌期权（cont.）维纳过程n 维纳过程n有时也称为布朗运动n最简单的随机过程n 定义：n若随机变量z满足以下性质，则称其服从维纳过程：n性质一：nz=(t)1/2 N(0,1)n其中，z是z在一个小的时间间隔t内的变化n性质二：n对任何两个不同的时间间隔t，z的值相互独立。n当t 0时，表示为：n dz=(dt)1/2一般化维纳过程n定义：n若一个随机变量x可表示为：ndx=adt+bdzn则称其服从一般化维纳过程：n其中，a,b为常数，dz服从上面我们定义的标准维纳过程。nadt表示变量x的期望值随时间线性变化，a称为漂移率。伊藤过程(ITO Proce
7、ss)n定义：n若一个随机变量x可表示为：ndx=a(x,t)dt+b(x,t)dzn则称其服从ITO过程：nITO过程也是一个一般化维纳过程，但是其中的参数a和b是随机变量本身x和时间t的函数，而不再是常数。股票价格过程n考虑不付红利股票的价格遵循的随机过程n维纳过程n dS=dz=(dt)1/2n一般化维纳过程?ndS=adt+bdzn伊藤过程?ndS=Sdt+Sdzn上式是描述股票价格行为的最广泛使用的一种模型n形式简单，比较容易处理，对实际情况的合理近似n称为股票价格波动率n称为预期收益率ITO定理n定理：n 设变量x遵循ITO过程ndx=a(x,t)dt+b(x,t)dzn 则x和t
8、的函数G(x,t)遵循如下过程：n其中，dz是与上述过程中同样的维纳过程。n G实际上也遵循一个ITO过程。ITO定理应用于股票价格ITO定理应用于股票价格(cont.)Black-Scholes定价公式n考虑一个基于不付红利股票的欧式看涨期权，n在到期日期权价值为max(ST-K,0)n其期望值为 Emax(ST-K,0)n则该期权的价值，也就是其现值应为nc=exp-r0(T-t)*Emax(ST-K,0)n其中，r0为一贴现率，待定。Black-Scholes定价公式(cont.)n 按照风险中性假设，当我们希望以无风险利率r来贴现期权的价值时，即r0=r，股票的期望收益率也应该为无风险
9、利率，即=r，于是我们得到n我们有了lnST的概率分布，就可以得到ST的概率分布，即其密度函数，有了ST的密度函数，Emax(ST-K,0)就是一个积分过程，通过积分我们就可以得到结果，即著名的-公式Black-Scholes定价公式(cont.)Black-Scholes定价公式(cont.)n利用欧式看涨看跌期权的平价关系，我们可以得到看跌期权的定价公式n注：Black-Scholes期权定价公式的基本形式适用于不付红利股票的欧式期权例:B-S公式B-S公式中参数的确定n影响股票期权价格的个因素：n股价：股票市场上直接可以观测到n执行价K：期权合约规定n到期期限T-t：期权合约规定n波动率：需估计n无风险利率r：根据相应期限的国债价格计算可得到n红利：此处不考虑红利，B-S公式中未出现波动率的估计n一种方法是利用股价的历史数据进行估计，估计公式为：n其中，ui=ln(Si/Si-1)，n+1为对股价的观测次数，Si是第i个时间间隔末的股票价格，是时间间隔的长度，ui实际上是用连续复利表示的股价收益率。n问题：用多长的时间的历史数据？隐含波动率n估计波动率的另一种方法n所谓的隐含波动率的方法n不需要利用历史数据n隐含波动率(implied volatility)n市场中观测到的期权价格中隐含的股价波动率n 利用B-S公式倒推而得，一般是数值解n隐含波动率的作用？例:隐含波动率