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1、111 梁的纯弯曲梁的纯弯曲 112 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力113 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力114 梁的正应力强度计算梁的正应力强度计算115 弯曲剪应力弯曲剪应力116 提高提高弯曲强度的措施弯曲强度的措施第第11章章 弯曲应力弯曲应力111 梁的纯弯曲梁的纯弯曲 CL8TU1纯弯曲纯弯曲：横力弯曲横力弯曲：纯弯曲梁段纯弯曲梁段横力弯曲梁段横力弯曲梁段在横截面上，只有法向内力元素在横截面上，只有法向内力元素dN=dA才能合成弯矩才能合成弯矩M，只有切向内力元素只有切向内力元素dQ=dA才能合成剪力才能合成剪力QdA如如AB段。段。PPaaABMx纯弯曲纯弯曲(Pure
2、Bending):Pa+QxPP+-剪切弯曲（横力弯曲）：剪切弯曲（横力弯曲）：AB、CD段段112 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 纯弯曲时的正应力分析是一个高度的纯弯曲时的正应力分析是一个高度的静不定问题静不定问题。问题的性质问题的性质必须由三方面来解决必须由三方面来解决几何关系几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系1.几何关系几何关系 用橡皮条制成的用橡皮条制成的矩形截面等直梁矩形截面等直梁作纯弯曲试验作纯弯曲试验:横向线（横向线（ab）变形后）变形后仍为直线，但有转动；仍为直线，但有转动；纵向线纵向线(aa、bb)变为变为平行曲线，且上缩下平行曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线伸
3、；横向线与纵向线变形后仍正交。变形后仍正交。假设假设1 1：梁的各纵向纤维间无挤压，所有与轴线平行的纵：梁的各纵向纤维间无挤压，所有与轴线平行的纵向纤维都只受轴向拉伸或压缩。向纤维都只受轴向拉伸或压缩。单向受力假设单向受力假设。假设假设2 2：各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形：各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上的某个轴旋转了一个角度。后梁的轴线，只是绕横截面上的某个轴旋转了一个角度。梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设。A、两个假设、两个假设中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受
4、拉应力和压应力，此层纤维称中性层。受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。B、两个定义、两个定义C.C.几何方程：几何方程：abcdAB)OO1)C C：为曲率中心为曲率中心：为曲率半径：为曲率半径d d：相对转角相对转角dq qr rxyA1B1O1OCC C、变形几何关系式：、变形几何关系式：C C：为曲率中心为曲率中心：为曲率半径：为曲率半径d d：相对转角相对转角纵向纤维的线应变与它到中性轴的距离成正比。纵向纤维的线应变与它到中性轴的距离成正比。C Cd d a a/a a/o o/b b/o o/b b/dxdxy yx xMM
5、MM2 2、物理关系：、物理关系：纯弯曲的梁横截面上只有弯矩产生的正应力，当正应力没纯弯曲的梁横截面上只有弯矩产生的正应力，当正应力没有超过比例极限时，应用虎克定理：有超过比例极限时，应用虎克定理：正应力沿截面高度成线性规律分布。正应力沿截面高度成线性规律分布。maxmax：发生在截面上、下边缘，中性轴上各点的正应力为零。发生在截面上、下边缘，中性轴上各点的正应力为零。弯曲正应力分布弯曲正应力分布 3 3、静力学关系：、静力学关系：、静力学关系：、静力学关系：（确定中性轴位置）（确定中性轴位置）中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心横截面对横截面对Z Z轴静矩为零轴静矩为零y yz zMMMM梁
6、在纯弯曲时其横截面上任意点处的正应力计算公式梁在纯弯曲时其横截面上任意点处的正应力计算公式令：令：令：令：I IZ Z：横截面对横截面对Z Z轴的惯性矩轴的惯性矩Z Z令：令：令：令：令：令：令：令：I IZ Z：横截面对横截面对Z Z轴的惯性矩轴的惯性矩W WZ Z：抗弯截面模量。量刚：抗弯截面模量。量刚：mmmm3 3或或m m3 3EIz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。z zy yh hb bd dz zy yDdDd=abBhH当：当：按按纯弯曲理论得出的正应力计算公式纯弯曲理论得出的正应力计算公式计算剪切弯曲梁横截面上的正应力误计算剪切弯曲梁横截面上的正应力误差不超过差不超过1%1%。
7、剪切弯曲梁横截面上正应力的计算公式：剪切弯曲梁横截面上正应力的计算公式：113 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力例题例题例题例题1 1：简支梁受力如图所示，计算当梁按：简支梁受力如图所示，计算当梁按：简支梁受力如图所示，计算当梁按：简支梁受力如图所示，计算当梁按(1)(1)、(2)(2)两种情况两种情况两种情况两种情况放置时，放置时，放置时，放置时，(竖放、平放竖放、平放竖放、平放竖放、平放)，求：，求：，求：，求：m-mm-m截面上点（截面上点（截面上点（截面上点（1 1）、（）、（）、（）、（2 2）处）处）处）处的正应力的正应力的正应力的正应力+MM900N.m900N.m30306
8、060122020z zy y180180例题例题2 2：梁横截面为空心圆截面，承受正弯矩：梁横截面为空心圆截面，承受正弯矩60KN60KN作用。试求：作用。试求：横截面上点横截面上点 a a、b b 和和c c 处的弯曲正应力处的弯曲正应力解：由正应力计算公式：解：由正应力计算公式：15015050501501505050例题例题例题例题3 3 3 3：T T型截面梁尺寸如图所示，若该梁危险截面承受负弯矩型截面梁尺寸如图所示，若该梁危险截面承受负弯矩3.1kn.m3.1kn.m。试求：该梁的最大拉应力和最大压应力。试求：该梁的最大拉应力和最大压应力。1 1 确定形心确定形心2 2 截面对中性
9、轴的惯性矩：截面对中性轴的惯性矩：7575125125z zy y150150505015015050507575125125z zy y公式分析和公式适用范围公式分析和公式适用范围1.确定弯曲正应力公式是一个高等确定弯曲正应力公式是一个高等静不定问题静不定问题。2.对称对称弯曲正应力公式。式中：弯曲正应力公式。式中：y-计算之点到中性轴计算之点到中性轴的垂直距离；的垂直距离；沿高度线性分布，沿高度线性分布，的方向根据的方向根据M的的转向而定。最大正应力发生在距中性轴最远处的转向而定。最大正应力发生在距中性轴最远处的 上下上下边缘。边缘。3.公式的建立借助于著名的公式的建立借助于著名的“平面假
10、设平面假设”，此假设的，此假设的正确性已被实践和理论证实。正确性已被实践和理论证实。非纯弯情况下的对称弯曲非纯弯情况下的对称弯曲4.公式建立的前提是公式建立的前提是纯弯情况纯弯情况下的对称弯曲下的对称弯曲。对于对于细而长细而长的梁，的梁，例如例如 L5h的细长梁，的细长梁，计算表明：计算表明：可以突破纯弯的限制，近似地用可以突破纯弯的限制，近似地用于非纯弯情况下的对称弯曲。此于非纯弯情况下的对称弯曲。此结论将极大地扩展了该公式的使结论将极大地扩展了该公式的使用范围，并确定了它们在工程中用范围，并确定了它们在工程中的实用价值。的实用价值。5.对于非对称弯曲，如外力不作对于非对称弯曲，如外力不作用
11、在梁的对称面内用在梁的对称面内,上述上述 三个公三个公式不能直接应用式不能直接应用,这个问题将在这个问题将在随后章节中研究。随后章节中研究。例例4 4 受均布载荷作用的简支梁如图受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：所示，试求：（1 1）1 11 1截面上截面上1 1、2 2两点的正两点的正应力；应力；（2 2）此截面上的最大正应力；）此截面上的最大正应力；（3 3）全梁的最大正应力；）全梁的最大正应力；Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：解：画画M图求截面弯矩图求截面弯矩30Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力求应力18
12、030Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180301 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上边缘上 M一、梁的正应力强度条件一、梁的正应力强度条件114 梁的正应力强度计算梁的正应力强度计算2 2、正应力强度条件：、正应力强度条件：3 3、强度条件应用：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算：校核强度校核强度：设计截面尺寸设计截面尺寸：设计载荷设计载荷：解：解：画内力图求危面内力画内力图求危面内力例例1 矩形矩形
13、(b h=0.12m 0.18m）截截面木梁如图，面木梁如图，=7MPa，试求最大，试求最大正应力正应力,并校核梁的正应力强度。并校核梁的正应力强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3m求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度y1y2GA1A2A3A4解：解：画弯矩图并求危面内力画弯矩图并求危面内力例例2 T 字形截面的铸铁梁受力如字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的图，铸铁的 L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于其截面形心位于C点，点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。并说明并说明T字梁怎样放置更合理？字梁怎样放置更合理？4画危
14、面应力分布图，找危险点画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核强度校核强度T T字头在上面合理。字头在上面合理。y1y2GA1A2x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4A3A4一、一、矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1 1、两点假设：、两点假设：剪应力与剪力平行；剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力矩中性轴等距离处，剪应力 相等。相等。2 2、研究方法：分离体平衡。、研究方法：分离体平衡。在梁上取微段如图在梁上取微段如图b b；在微段上取一块如图在微段上取一块如图c c，平衡平衡dxxQ(x)+d Q(
15、x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx xyz 1 1 1 1 b图图a图图b图图c11113 3弯曲剪应力弯曲剪应力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx xyz 1 1 1 1 b图图a图图b图图c由剪应力互等由剪应力互等 方向：与横截面上剪力方向相同；方向：与横截面上剪力方向相同；大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的最大剪应力为平均剪应力的1.51.5倍。倍。h与与b对剪应力的影响：对剪应力的影响：1hb时时 公式求得的公式求得的maxmax基本反映真实情况基本反
16、映真实情况2公式求得的公式求得的 小于真实值小于真实值33公式求得的公式求得的 小于真实值小于真实值133公式求得的公式求得的 与真实值相差很大与真实值相差很大说明上述公式不仅对于窄而高的矩形截面梁适用，而且说明上述公式不仅对于窄而高的矩形截面梁适用，而且对于高度对于高度h大于宽度大于宽度b的矩形截面梁也适用。的矩形截面梁也适用。二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力1 1、研究方法与矩形截面同、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：剪应力的计算公式亦为：其中其中Q为截面剪力；为截面剪力；Sz 为为y点以下的面积对中性轴之静矩；点以下的面积对中性轴之静矩；Iz为整个
17、截面对为整个截面对z轴之惯性矩；轴之惯性矩；b 为为y点处截面宽度。点处截面宽度。2 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力、几种常见截面的最大弯曲剪应力工字钢截面：工字钢截面：A Af f 腹板的面积。腹板的面积。;maxA Q f ;maxA Q f结论：结论：翼缘部分翼缘部分 max腹板上的腹板上的 max，只计算腹板上的只计算腹板上的 max。腹板上的剪应力可以作和狭长矩形截面相同的假设。腹板上的剪应力可以作和狭长矩形截面相同的假设。铅垂剪应力主要腹板承受（铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且），且 max min 故工字钢最大剪应力故工字钢最大剪应力圆截面圆截面：1任一高度任一高度y的
18、的mn线上各点的剪应线上各点的剪应力方向都指向一个共同点力方向都指向一个共同点A，A点点是圆周上是圆周上m、n 两点切线的交点两点切线的交点2沿任一高度沿任一高度y的的mn线上各点剪应线上各点剪应力的铅直分量力的铅直分量 都相等都相等3圆截面上的最大剪应力在中性轴上圆截面上的最大剪应力在中性轴上mnA1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中一般截面，最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处性轴处。Q 三、梁的剪应力强度条件三、梁的剪应力强度条件2 2、剪应力强度条件：、剪应力强度条件：3 3、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要
19、校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，而较小，而Q较大时，要校核剪应力较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。要校核剪应力。解：解：画内力图求危面内力画内力图求危面内力例例1 矩形矩形(b h=0.12m 0.18m）截截面木梁如图，面木梁如图，=0.9 M Pa，试试求最大求最大剪应力剪应力,并校核梁的剪应力并校核梁的剪应力强度。强度。q=3
20、.6kN/mABL=3mQ+x求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度（一）（一）提高抗弯截面模量提高抗弯截面模量W WZ Z，可提高梁的强度。，可提高梁的强度。R北宋李诫于北宋李诫于1100年著年著 营造法式营造法式 一书中指出一书中指出:矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比 (h/b =)=)1.5英英(T.Young)于于1807年著年著 自然哲学与机械技术讲义自然哲学与机械技术讲义 一书中指出一书中指出:矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比 为为bh116 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施强度：正应力：强度：正应力：剪应力：剪应力：1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大
21、的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaazD0.8Da12a1z工字形截面与框形截面类似工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 Gz塑性材料：选择对称于中性轴的截面，使最大拉、压应力同时塑性材料：选择对称于中性轴的截面，使最大拉、压应力同时达到许用应力。达到许用应力。脆性材料：使中性轴靠近受拉边。中性轴最理想位置是最大、脆性材料：使中性轴靠近受拉边。中性轴最理想位置是最大、压应力能同时达到许用应力压应力能同时达到许用应力 。如下图：
22、如下图：（二）采用变截面梁（二）采用变截面梁 ，如下图：，如下图：最好是等强度梁，即最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为若为等强度矩形截面，则高为同时同时图图 楔形梁和阶梯形梁楔形梁和阶梯形梁（三）、荷载的合理布置：（三）、荷载的合理布置：如何用最大起重量为五吨的吊车吊起十吨重的重物？如何用最大起重量为五吨的吊车吊起十吨重的重物？如何用最大起重量为五吨的吊车吊起十吨重的重物？如何用最大起重量为五吨的吊车吊起十吨重的重物？0.138pl 截面是否合理，还需考虑截面横截面面积。截面是否合理，还需考虑截面横截面面积。所以，用抗弯截面模量与面积的比值来衡量。所以，用抗弯截面模量与面积的比值来衡量。其它截面：其它截面：KK：表示截面抗弯强度合理程度的一个无量刚系数。表示截面抗弯强度合理程度的一个无量刚系数。表示截面抗弯强度合理程度的一个无量刚系数。表示截面抗弯强度合理程度的一个无量刚系数。凡是截面面积离中性轴较远的，这种截面系数值越高。凡是截面面积离中性轴较远的，这种截面系数值越高。凡是截面面积离中性轴较远的，这种截面系数值越高。凡是截面面积离中性轴较远的，这种截面系数值越高。z zy yh hb bd dz zy y