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1、定义定义 的二次型的二次型只含只含平方项平方项,4.2 4.2 二次型的标准形二次型的标准形 与规范形与规范形形式为形式为不含交叉项不含交叉项的秩为的秩为称为称为标准形标准形.每每一个标准形一个标准形每一对角矩阵每一对角矩阵对应一个标准形对应一个标准形.对应的矩阵对应的矩阵可写为可写为此此标准形化为标准形化为令令是一个标准形是一个标准形.即即定义定义 的二次型的二次型称为实数域上称为实数域上其中正项的个数其中正项的个数 负项个数负项个数称为二次型的称为二次型的 称为二次型的称为二次型的r r是二次型的秩是二次型的秩.二次型的规范形二次型的规范形.正正惯性指标惯性指标,负负惯性指标惯性指标.形式
2、为形式为称为称为符号差符号差.其对应的矩阵为：其对应的矩阵为：个个p p个个1 1r-pr-p个个-1 1能否通过能否通过非退化线性替换非退化线性替换如果能够如果能够,用什么方法化为标准形用什么方法化为标准形?一个二次型一个二次型化成化成标准形标准形?二次型二次型通过非退化线性替换通过非退化线性替换化成化成标准形标准形对称矩阵对称矩阵A A合同到合同到对角对角矩阵矩阵B.B.又如何化为规范型？又如何化为规范型？(一一)用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形(二二)用初等变换法化二次型为标准形用初等变换法化二次型为标准形(三三)用用正交替换正交替换法化二次型为标准形法化二次型为标准形二
3、次型二次型通过非退化线性替换通过非退化线性替换化成化成标准形标准形有三种方法有三种方法:1.1.配方法配方法标准形唯一吗？标准形唯一吗？标准形不唯一标准形不唯一.是是规范形规范形.正惯性指标为正惯性指标为负惯性指标为负惯性指标为二次型的规范形二次型的规范形二次型的正惯性指标二次型的正惯性指标令令令令由二次型本身由二次型本身唯一决定唯一决定.由二次型本身唯一决定由二次型本身唯一决定.和负惯性指标和负惯性指标定理定理4.4(4.4(惯性定理惯性定理)为二次型为二次型f f 的的定理定理4.44.4 都与对角矩阵都与对角矩阵 任一二次型任一二次型f f 都可经非退化都可经非退化线性替换线性替换化为规
4、范形化为规范形.且规范形由二次型且规范形由二次型为二次型为二次型f f1 1和和1 1的的个数共有个数共有其中其中1 1的个数为的个数为1 1的的个数为个数为为二次型的秩为二次型的秩.唯一决定唯一决定.任一实对称矩阵任一实对称矩阵A A合同合同,为二次型为二次型f f的秩的秩,其中其中 个个,正惯性指标正惯性指标,的负惯性指标的负惯性指标.化二次型为标准形化二次型为标准形对于任一对称矩阵对于任一对称矩阵A,A,C C可逆可逆,为初等矩阵为初等矩阵对角矩阵对角矩阵作作k k次相同的次相同的列变换列变换存在存在可逆可逆矩阵矩阵C C,再单独对再单独对A A 相应的行变换相应的行变换线性变换的矩阵线
5、性变换的矩阵作作k k次次2.2.用初等变换法用初等变换法使得使得例例求求非奇异矩阵非奇异矩阵C C，解解使得使得C CT TACAC为为对角矩阵对角矩阵.例例 为为标准形标准形.解解 经可经可逆线逆线性替性替换换化二次型化二次型原二次型化为原二次型化为求可逆线性替换求可逆线性替换,二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为求可逆线性替换求可逆线性替换,化为化为规范形规范形.将将经过非退化线性替换经过非退化线性替换 二次型化为：二次型化为：例例 为为标准形标准形.解解 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为求可逆线性替换求可逆线性替换,化化 例例 为为标准形标准形.解解 二次型对应的矩阵为二次型对应的
6、矩阵为求可逆线性替换求可逆线性替换,化化经非退化线性替换经非退化线性替换二次型二次型化为化为二次型的秩为：二次型的秩为：解解 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为A A 例例 为为规范形规范形.求可逆线性替换求可逆线性替换,化化解解 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为A A 例例 为为规范形规范形.求可逆线性替换求可逆线性替换,化化经可逆线性替换经可逆线性替换二次型二次型化为化为3.3.用用正交替换正交替换法法实对称矩阵实对称矩阵A A存在存在正交矩阵正交矩阵Q,Q,存在存在正交矩阵正交矩阵Q,Q,经过经过正交替换正交替换 定理定理3.143.14标准形标准形A A的所有特征值的所有特征值实
7、对称矩阵实对称矩阵A A二次型化为：二次型化为：化二次型为标准形化二次型为标准形使得使得使得使得二次型二次型例例 为为标准形标准形.解解 特征值特征值Q Q是正交矩阵是正交矩阵利用利用正交替换正交替换法法令令对应的对应的矩阵为矩阵为化二次型化二次型经过正交替换经过正交替换二次型化为二次型化为例例 为为标准形标准形,解解特征值：特征值：并写出所作的线性替换并写出所作的线性替换.二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为两两正交两两正交将将 化二次型化二次型用用正交替换正交替换正交化正交化Q Q是正交矩阵是正交矩阵.将将它们它们单位化：单位化：两两正交两两正交令令经正交替换经正交替换二次型化为二次型化为作业作业:P188 1(1)2(1)3(1):P188 1(1)2(1)3(1)