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1、资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值经过线性性变换二次型化二次型化为例例则.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值给定二次型定二次型设该二次型二次型化化为:则经过线性替性替换且且.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 定定义5.35.3定理定理 如果存在如果存在nn阶 使得使得 则称矩称矩阵A A与与B B合同合同,原二次型的矩原二次型
2、的矩阵合同。合同。可逆可逆矩矩阵C,C,设A A,B B是两个是两个nn阶矩矩阵,经过非退化非退化线性替性替换,与新二次型的矩与新二次型的矩阵记为记为ABAB.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值定定义 的二次型的二次型只含平方只含平方项,5.25.2二次型的二次型的标准形准形与与规范形范形形式形式为不含交叉不含交叉项的秩的秩为称称为标准形准形.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值定定义 的二次型的二次型每一个每一个标准
3、形准形每一每一对角矩角矩阵只含平方只含平方项,形式形式为不含交叉不含交叉项对应一个一个标准形准形.是是对角矩角矩阵.的秩的秩为称称为标准形准形.对应的矩的矩阵.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值可写可写为此此标准形化准形化为定定义 的二次型的二次型称称为实数域上数域上令令是一个是一个标准形准形.二次型的二次型的规范形范形.形式形式为即即.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值定定义 的二次型的二次型称称为实数域上数域上其
4、中正其中正项的个数的个数 负项个数个数称称为二次型的二次型的 称称为二次型的二次型的r r是二次型的秩是二次型的秩.二次型的二次型的规范形范形.正正惯性指性指标,负惯性指性指标.形式形式为称称为符号差符号差.其其对应的矩的矩阵为：个个p p个个1 1r-pr-p个个-1 1.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值在复数范在复数范围内内,此此标准形化准形化为形式形式为二次型的二次型的规范形范形.令令以上二次型可写以上二次型可写为的二次型的二次型复数域复数域上上本本书均指均指实数域上的数域上的 规范形范形.定定义
5、 称称为.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值能否通能否通过非退化非退化线性替性替换如果能如果能够,用什么方法化用什么方法化为标准形准形?一个二次型一个二次型化成化成标准形准形?二次型二次型通通过非退化非退化线性替性替换化成化成标准形准形对称矩称矩阵A A合同到合同到对角角矩矩阵B.B.又如何化又如何化为规范型？范型？.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值给定二次型定二次型如果如果经过线性替性替换化化为:则A A与与对角
6、角矩矩阵合同合同.实对称矩阵实对称矩阵A A存在可逆矩阵存在可逆矩阵C C,经过非退化线性替换经过非退化线性替换 二次型二次型 f f 化为化为:使得使得 二次型二次型.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值(一一)用配方法化二次型用配方法化二次型为标准形准形(二二)用初等用初等变换法化二次型法化二次型为标准形准形(三三)用用正交替正交替换法化二次型法化二次型为标准形准形二次型二次型通通过非退化非退化线性替性替换化成化成标准形准形有三种方法有三种方法:.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间
7、的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例 化化为标准形，准形，标准形准形令令1.1.用配方法用配方法化二次型化二次型为标准形准形二次型化二次型化为并写出所作的并写出所作的非退化非退化线性替性替换.将将解解.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例 将将化化为标准形，准形，令令二次型化二次型化为并写出所作的并写出所作的非退化非退化线性替性替换.所作的非退化所作的非退化线性替性替换为.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部
8、分资金就是原有资金的时间价值例例 化化为标准形，准形，并写出所作的并写出所作的非退化非退化线性替性替换.解解 令令二次型化二次型化为将将.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例 化化为标准形，准形，并写出所作的并写出所作的非退化非退化线性替性替换.解解 令令二次型化二次型化为将将.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例 化化为标准形，准形，并写出所作的并写出所作的非退化非退化线性替性替换.解解 令令二次型化二次型化为
9、将将令令二次型化二次型化为.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例 令令二次型化二次型化为所作的非退化所作的非退化线性替性替换为.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例 化化为规范范形，形，并写出所作的并写出所作的非退化非退化线性替性替换.解解 令令二次型化二次型化为将将令令二次型化二次型化为规范形范形.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金
10、的时间价值例例 令令二次型化二次型化为所作的非退化所作的非退化线性替性替换为.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值标准形唯一准形唯一吗？标准形不唯一准形不唯一.是是规范形范形.正正惯性指性指标为负惯性指性指标为二次型的二次型的规范形范形二次型的正二次型的正惯性指性指标令令令令由二次型本身由二次型本身唯一决定唯一决定.由二次型本身唯一决定由二次型本身唯一决定.和和负惯性指性指标.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值定理定理
11、5.4(5.4(惯性定理性定理)为二次型二次型ff的的定理定理5.45.4/都与都与对角矩角矩阵任一二次型任一二次型ff都可都可经非退化非退化线性替性替换化化为规范形范形.且且规范形由二次型范形由二次型为二次型二次型f f1 1和和1 1的个数共有的个数共有其中其中1 1的个数的个数为1 1的个数的个数为为二次型的秩二次型的秩.唯一决定唯一决定.任一实对称矩阵任一实对称矩阵A A合同合同,为二次型二次型f f的秩的秩,其中其中 个个,正正惯性指性指标,的的负惯性指性指标.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
12、化二次型化二次型为标准形准形对于任一于任一对称矩称矩阵A,A,C C可逆可逆,为初等矩初等矩阵对角矩角矩阵作作k k次相同的次相同的列列变换存在存在可逆可逆矩矩阵C C,再再单独独对AA相相应的行的行变换线性性变换的矩的矩阵作作k k次次2.2.用初等用初等变换法法使得使得.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例求非奇异矩求非奇异矩阵C C，解解使得使得C CT TACAC为对角矩角矩阵.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时
13、间价值例例 为标准形准形.解解 经可可逆逆线性替性替换化二次型化二次型化化为求可逆求可逆线性替性替换,二次型二次型对应的矩的矩阵为.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值求可逆求可逆线性替性替换,化化为规范形范形.将将.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值经过非退化非退化线性替性替换 二次型化二次型化为：.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时
14、间价值 例例 为标准形准形.解解 二次型二次型对应的矩的矩阵为求可逆求可逆线性替性替换,化化.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 例例 为标准形准形.解解 二次型二次型对应的矩的矩阵为求可逆求可逆线性替性替换,化化经非退化非退化线性替性替换二次型二次型化化为二次型的秩二次型的秩为：.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值解解 二次型二次型对应的矩的矩阵为A A 例例 为规范形范形.求可逆求可逆线性替性替换,化化.资金是运
15、动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值解解 二次型二次型对应的矩的矩阵为A A 例例 为规范形范形.求可逆求可逆线性替性替换,化化经可逆可逆线性替性替换二次型二次型化化为.3.3.用用正交替正交替换法法实对称矩阵实对称矩阵A A存在存在正交矩正交矩阵Q,Q,存在存在正交矩正交矩阵Q,Q,经过正交替正交替换定理定理4.144.14标准形准形A A的所有特征的所有特征值实对称矩阵实对称矩阵A A二次型化二次型化为：化二次型化二次型为标准形准形使得使得使得使得二次型二次型.例例 为标准形准形,解解 特征特征值Q Q是正交矩
16、阵是正交矩阵并写出所作的并写出所作的线性替性替换.利用利用正交替正交替换法法令令对应的矩的矩阵为化二次型化二次型.经过正交替换经过正交替换二次型化为二次型化为二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为是正交矩阵，是正交矩阵，.例例 用用正交替正交替换为标准形准形,解解特征特征值：1 1,2 2并写出所作的并写出所作的线性替性替换.二次型二次型对应的矩的矩阵为两两正交两两正交将将正交化正交化化二次型化二次型.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值Q Q是正交矩是正交矩阵.将将它它们单位化：位化：两两正交两两正交令令经过正交替正交替换二次型化二次型化为.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值作业作业:P230 4:P230 4，5 5.