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1、数学直线与平面垂直判定数学直线与平面垂直判定(pndng)与性与性质质第一页，共32页。【高考链接】1以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合2以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力3能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些(yxi)有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题第1页/共32页第二页，共32页。【要点】1垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，是高考的热点，是复习的重点纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，复习要抓好三基：基
2、础知识，基本方法(fngf)，基本能力2要重视和研究数学思想、数学方法(fngf)在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口第2页/共32页第三页，共32页。1 1直线直线(zhxin)(zhxin)与平面垂直与平面垂直(1)(1)判定直线判定直线(zhxin)(zhxin)和平面垂直的方法和平面垂直的方法定义法定义法利用判定定理：如果一条直线利用判定定理：如果一条直线(zhxin)(zhxin)与平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线(zhxin)(zhxin)垂直，则这条直线垂直，则这条直线(zhxin)(zhxi
3、n)与这个平面垂直与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线推论：如果在两条平行直线(zhxin)(zhxin)中，有一条垂直于平面，那中，有一条垂直于平面，那么另一条直线么另一条直线(zhxin)(zhxin)也垂直于这个平面也垂直于这个平面(2)(2)直线直线(zhxin)(zhxin)和平面垂直的性质和平面垂直的性质直线直线(zhxin)(zhxin)垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线(zhxin)(zhxin)垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线(zhxin)(zhxin)平行平行垂直于同一直线垂直于同一直线(zhxin)(zhxin)的两
4、平面平行的两平面平行知识知识(zh shi)梳理梳理第3页/共32页第四页，共32页。2 2斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角3 3平面与平面垂直平面与平面垂直(1)(1)平面与平面垂直的判定方法平面与平面垂直的判定方法定义定义(dngy)(dngy)法法利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(2)(2)平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于
5、它们交线的直线垂直于另一个平面如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面第4页/共32页第五页，共32页。三类证法三类证法(1)(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为定义：两条直线所成的角为9090；平面平面(pngmin)(pngmin)几几 何中证明线线垂直的方法；何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：线面垂直的性质：a a，b b a ab b；线面垂直的性质：线面垂直的性质：a a，b b a ab.b.(2)(2)证明线面垂直的方法证明线面垂直的方法线面垂直的定义：线面垂直的定义：a a与与 内任何直线都垂直内任何直线都垂直
6、a a；判定定理判定定理1 1：l l；判定定理判定定理2 2：a ab b，a a b b；面面平行的性质：面面平行的性质：，a a a a；面面垂直的性质：面面垂直的性质：，l l，a a，a al la a.(3)(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法利用定义：两个平面利用定义：两个平面(pngmin)(pngmin)相交，所成的二面角是直二面角；相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：判定定理：a a，a a .第5页/共32页第六页，共32页。题型一题型一 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质 如图所示如图所示,已知已知PAPA矩形矩形(jxng)ABCD(jxn
7、g)ABCD所在所在平面平面,M M，N N分别是分别是ABAB，PCPC的中点的中点.(1)(1)求证：求证：MNCDMNCD；(2)(2)若若PDA=45.PDA=45.求证：求证：MNMN平面平面PCD.PCD.(1)(1)因因M M为为ABAB中点中点,只要证只要证ANB ANB 为等为等 腰三角形腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得则利用等腰三角形的性质可得MNAB.MNAB.(2)(2)已知已知MNCDMNCD，只需再证，只需再证MNPC,MNPC,易看出易看出 PMC PMC为等腰三角形，利用为等腰三角形，利用N N为为PCPC的中点，可的中点，可 得得MNPC.MNPC.题型分
8、类题型分类(fn li)(fn li)深度深度剖析剖析第6页/共32页第七页，共32页。证明证明 （1 1）连接）连接(linji)AC(linji)AC，ANAN，BNBN，PAPA平面平面ABCDABCD，PAACPAAC，在在RtPACRtPAC中，中，N N为为PCPC中点，中点，PAPA平面平面ABCDABCD，PABCPABC，又，又BCABBCAB，PAAB=APAAB=A，BCBC平面平面PABPAB，BCPBBCPB，从而在从而在RtPBCRtPBC中，中，BNBN为斜边为斜边PCPC上的中线，上的中线，AN=BN AN=BN，ABNABN为等腰三角形，为等腰三角形，又又M
9、M为底边为底边ABAB的中点，的中点，MNABMNAB，又又ABCDABCD，MNCD.MNCD.第7页/共32页第八页，共32页。(2)(2)连接连接PMPM、CM,PDA=45,PAAD,CM,PDA=45,PAAD,AP=AD.AP=AD.四边形四边形ABCDABCD为矩形，为矩形，AD=BCAD=BC，PA=BC.PA=BC.又又MM为为ABAB的中点，的中点，AM=BM.AM=BM.而而PAM=CBM=90,PM=CM.PAM=CBM=90,PM=CM.又又N N为为PCPC的中点，的中点，MNPC.MNPC.由（由（1 1）知，）知，MNCDMNCD，PCCD=C,PCCD=C,M
10、NMN平面平面PCD.PCD.垂直问题的证明，其一般规律是垂直问题的证明，其一般规律是“由已由已知想性质，由求证想判定知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往论去思考有关的判定定理，往往(wngwng)(wngwng)需要将分析需要将分析与综与综合的思路结合起来合的思路结合起来.第8页/共32页第九页，共32页。知能迁移知能迁移(qiny)1 RtABC(qiny)1 RtABC所在平面外一点所在平面外一点S,S,且且SA=SB=SA=SB=SC SC，D D为斜
11、边为斜边ACAC中点中点.（1 1）求证：）求证：SDSD面面ABCABC；（2 2）若）若AB=BCAB=BC，求证：，求证：BDBD面面SAC.SAC.证明证明 （1 1）如图所示，取）如图所示，取ABAB中点中点E E，连结连结SESE，DEDE，在在RtABCRtABC中，中，D D、E E分别为分别为ACAC、AB AB的中点，故的中点，故DEBCDEBC，且，且DEAB,DEAB,SA=SB SA=SB，SAB SAB为等腰三角形，为等腰三角形，SEAB.SEAB.SEAB SEAB，DEABDEAB，SEDE=ESEDE=E，AB AB面面SDE.SDE.而而SDSD面面SDES
12、DE，ABSD.ABSD.第9页/共32页第十页，共32页。在在SACSAC中，中，SA=SCSA=SC，D D为为ACAC中点中点(zhn din)(zhn din)，SDAC.SDAC.SDAC,SDAB,ACAB=A,SDSDAC,SDAB,ACAB=A,SD面面ABC.ABC.（2 2）若）若AB=BCAB=BC，则，则BDACBDAC，由（由（1 1）可知，）可知，SDSD面面ABCABC，而，而BDBD面面ABCABC，SDBDSDBD，SDBD,BDAC,SDAC=D,BDSDBD,BDAC,SDAC=D,BD面面SAC.SAC.第10页/共32页第十一页，共32页。题型二题型二
13、 面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCDPABCD 中，平面中，平面PADPAD平面平面ABCDABCD，ABDCABDC，PAD PAD是等边三角形是等边三角形,已知已知BD=2AD=8BD=2AD=8，AB=2DC=4 .AB=2DC=4 .(1)(1)设设M M是是PCPC上的一点，上的一点，证明：平面证明：平面MBDMBD平面平面PADPAD；(2)(2)求四棱锥求四棱锥PABCDPABCD的体积的体积.(1)(1)因为两平面垂直与因为两平面垂直与M M点位置点位置(wi zhi)(wi zhi)无无 关，所以在平面关，所以在平面MBD
14、MBD内一定有一条直线垂直于内一定有一条直线垂直于 平面平面PADPAD，考虑证明，考虑证明BDBD平面平面PAD.PAD.(2)(2)四棱锥底面为一梯形四棱锥底面为一梯形,高为高为P P到面到面ABCDABCD的距离的距离.第11页/共32页第十二页，共32页。(1)(1)证明证明(zhngmng)(zhngmng)在在ABDABD中中,AD=4,BD=8,AB=4 ,AD=4,BD=8,AB=4 ,AD2+BD2=AB2.ADBD.AD2+BD2=AB2.ADBD.又又面面PADPAD面面ABCDABCD，面，面PADPAD面面ABCD=ADABCD=AD，BDBD面面ABCDABCD，B
15、DBD面面PAD.PAD.又又BDBD面面BDMBDM，面面MBDMBD面面PAD.PAD.(2)(2)解解 过过P P作作POADPOAD，面面PADPAD面面ABCDABCD，POPO面面ABCDABCD，即即POPO为四棱锥为四棱锥PABCDPABCD的高的高.又又PADPAD是边长为是边长为4 4的等边三角形，的等边三角形，PO=PO=第12页/共32页第十三页，共32页。在底面四边形在底面四边形ABCDABCD中，中，ABDCABDC，AB=2DCAB=2DC，四边形四边形ABCDABCD为梯形为梯形.在在RtADBRtADB中，斜边中，斜边ABAB边上的高为边上的高为此即为梯形的高
16、此即为梯形的高.当两个平面当两个平面(pngmin)(pngmin)垂直时，常作的辅助线垂直时，常作的辅助线是是在其中一个面内作交线的垂线在其中一个面内作交线的垂线.把面面垂直转化为把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面的平面(pngmin)(pngmin)角或得到点到面的距离等角或得到点到面的距离等.第13页/共32页第十四页，共32页。知能迁移知能迁移2 2 在斜三棱柱在斜三棱柱A1B1C1ABCA1B1C1ABC中，底面是等腰中，底面是等腰 三角形，三角形，AB=ACAB=AC，侧面，侧面BB1C1CBB1C1C底面底面
17、ABC.ABC.(1)(1)若若D D是是BCBC的中点，求证的中点，求证(qizhng)(qizhng)：ADCC1ADCC1；(2)(2)过侧面过侧面BB1C1CBB1C1C的对角线的对角线BC1BC1的平面交侧棱于的平面交侧棱于 M,M,若若AM=MA1,AM=MA1,求证求证(qizhng)(qizhng)：截面：截面MBC1MBC1侧面侧面BB1C1C.BB1C1C.证明证明 (1)AB=AC,D (1)AB=AC,D是是BCBC的中点的中点,ADBC.,ADBC.底面底面ABCABC平面平面BB1C1CBB1C1C，面面ABCABC面面BB1C1C=BCBB1C1C=BC，AD A
18、D侧面侧面BB1C1C.BB1C1C.CC1 CC1面面BB1C1CBB1C1C，ADCC1.ADCC1.第14页/共32页第十五页，共32页。（2 2）延长）延长B1A1B1A1与与BMBM交于交于N N，连结，连结(lin ji)C1N.(lin ji)C1N.AM=MA1AM=MA1，NA1=A1B1.NA1=A1B1.A1B1=A1C1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1.A1C1=A1N=A1B1.C1NC1B1.C1NC1B1.截面截面NB1C1NB1C1侧面侧面BB1C1CBB1C1C，面面NB1C1NB1C1面面BB1C1C=C1B1BB1C1C=C1B1，C1NC1
19、N侧面侧面BB1C1C.C1NBB1C1C.C1N面面C1NBC1NB，截面截面C1NBC1NB侧面侧面BB1C1C.BB1C1C.即截面即截面MBC1MBC1侧面侧面BB1C1C.BB1C1C.第15页/共32页第十六页，共32页。题型三题型三 线面角的求法线面角的求法 （1212分）如图所示，在四棱锥分）如图所示，在四棱锥PP ABCD ABCD中，底面为直角梯形中，底面为直角梯形(txng)(txng)，ADBCADBC，BAD=90 BAD=90，PAPA底面底面ABCD,ABCD,且且 PA=AD=AB=2BC,M PA=AD=AB=2BC,M、N N分别为分别为PCPC、PBPB的
20、中点的中点.（1 1）求证：）求证：PBDMPBDM；（2 2）求）求BDBD与平面与平面ADMNADMN所成的角所成的角.（1 1）易证）易证PBPB平面平面ADMN.ADMN.（2 2）构造直线和平面所成的角，解三角形）构造直线和平面所成的角，解三角形.（1 1）证明）证明 N N是是PBPB的中点，的中点，PA=ABPA=AB，ANPB.BAD=90 ANPB.BAD=90，ADAB.ADAB.PA PA平面平面ABCDABCD，PAAD.PAAD.第16页/共32页第十七页，共32页。PAAB=APAAB=A，ADAD平面平面(pngmin)PAB(pngmin)PAB，ADPB.4A
21、DPB.4分分又又ADAN=AADAN=A，PBPB平面平面(pngmin)ADMN.(pngmin)ADMN.平面平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN，PBDM.6PBDM.6分分（2 2）解）解 连接连接DNDN，PBPB平面平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN，BDNBDN是是BDBD与平面与平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN所成的角，所成的角，8 8分分在在RtBDNRtBDN中，中，10 10分分BDN=30,BDN=30,即即BDBD与平面与平面(pngmin)ADMN(pngmin)ADMN所成的角为所成的角为30.1230.12
22、分分第17页/共32页第十八页，共32页。求直线和平面所成的角，关键是利用定求直线和平面所成的角，关键是利用定义作出直线和平面所成的角义作出直线和平面所成的角.必要时，可利用平行必要时，可利用平行线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方便寻找直线在该平面内的射影便寻找直线在该平面内的射影.知能迁移知能迁移3 3 如图所示，四面体如图所示，四面体ABCSABCS中，中，SA SA、SBSB、SCSC两两垂直，两两垂直，SBA=45SBA=45，SBC=60 SBC=60，M M为为ABAB的中点的中点(zhn din).(zhn din).求：求：（1
23、 1）BCBC与平面与平面SABSAB所成的角；所成的角；（2 2）SCSC与平面与平面ABCABC所成的角的正切值所成的角的正切值.第18页/共32页第十九页，共32页。解解 （1 1）SCSBSCSB，SCSASCSA，SBSA=SSBSA=S，SCSC平面平面SABSAB，BCBC在平面在平面SABSAB上的射影上的射影(shyng)(shyng)为为SB.SB.SBCSBC为为BCBC与平面与平面SABSAB所成的角所成的角.又又SBC=60,SBC=60,故故BCBC与平面与平面SABSAB所成的角为所成的角为60.60.（2 2）连结）连结MCMC，在，在RtASBRtASB中，中
24、，SBA=45SBA=45，ASBASB为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，SMABSMAB，由（由（1 1）知）知ABSCABSC，ABSM=MABSM=M，ABAB平面平面SMCSMC，第19页/共32页第二十页，共32页。平面平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC平面平面(pngmin)SMC(pngmin)SMC平面平面(pngmin)ABC.(pngmin)ABC.过点过点S S作作SOMCSOMC于点于点O O，SOSO平面平面(pngmin)ABC.(pngmin)ABC.SCMSCM为为SCSC与平面与平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC所成的角所成的角.
25、由（由（1 1）知）知SCSC平面平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB，又又 平面平面(pngmin)SAB(pngmin)SAB，SCSMSCSM，SMCSMC为直角三角形为直角三角形.设设SB=aSB=a，即即SCSC与平面与平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC所成的角的正切值为所成的角的正切值为 .第20页/共32页第二十一页，共32页。题型四题型四 二面角的求法二面角的求法 如图所示，三棱锥如图所示，三棱锥PABCPABC中，中，D D是是ACAC的中点，的中点，PA=PB=PC=PA=PB=PC=，AC=2 AC=2 ，AB=AB=，BC=.BC=.（1 1）
26、求证：）求证：PDPD平面平面ABCABC；（2 2）求二面角）求二面角PABCPABC的正切值大小的正切值大小.（1 1）已知三角形三边长，可考虑利用）已知三角形三边长，可考虑利用 勾股定理的逆定理证明垂直勾股定理的逆定理证明垂直(chuzh).(chuzh).（2 2）关键是找出二面角的平面角，由）关键是找出二面角的平面角，由AP=PBAP=PB，可考虑取可考虑取ABAB的中点的中点E.E.第21页/共32页第二十二页，共32页。（1 1）证明）证明 连结连结BDBD，DD是是ACAC的中点的中点(zhn din)(zhn din)，PA=PC=PA=PC=，PDAC.PDAC.AC=AC
27、=，AB=AB=，BC=BC=，AB2+BC2=AC2.AB2+BC2=AC2.ABC=90ABC=90，即，即ABBC.ABBC.PD2=PA2-AD2=3PD2=PA2-AD2=3，PB=PB=，PD2+BD2=PB2.PDBD.PD2+BD2=PB2.PDBD.ACBD=DACBD=D，PDPD平面平面ABC.ABC.第22页/共32页第二十三页，共32页。（2 2）解）解 取取ABAB的中点的中点E E，连结，连结DEDE、PEPE，由由E E为为ABAB的中点知的中点知DEBCDEBC，ABBCABBC，ABDE.ABDE.PDPD平面平面(pngmin)ABC(pngmin)ABC
28、，PDAB.PDAB.又又ABDEABDE，DEPD=DDEPD=D，ABAB平面平面(pngmin)PDE(pngmin)PDE，PEAB.PEAB.PEDPED是二面角是二面角PABCPABC的平面的平面(pngmin)(pngmin)角角.在在PEDPED中，中，PDE=90,PDE=90,二面角二面角PABCPABC的正切值为的正切值为 .第23页/共32页第二十四页，共32页。找二面角的平面角常用的方法有找二面角的平面角常用的方法有:(1)(1)定义法：作棱的垂面，得平面角定义法：作棱的垂面，得平面角.(2)(2)利用等腰三角形、等边三角形的性质利用等腰三角形、等边三角形的性质,取中
29、线取中线.知能迁移知能迁移4 4 如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥PP ABCD ABCD的底面的底面ABCDABCD是直角梯形是直角梯形(txng)(txng)，PA PA平面平面ABCDABCD，且，且ADBCADBC，ADDC,ADC ADDC,ADC和和ABCABC均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形,设设PA=AD=DC=aPA=AD=DC=a，点，点E E为侧棱为侧棱PBPB上一点，上一点，且且BE=2EP.BE=2EP.（1 1）求证：平面）求证：平面PCDPCD平面平面PADPAD；（2 2）求证：直线）求证：直线PDPD平面平面EACEAC；（3 3）求二面角）求二面角BAC
30、EBACE的余弦值的余弦值.第24页/共32页第二十五页，共32页。（1 1）证明）证明 PA PA平面平面ABCDABCD，DCDC平面平面ABCDABCD，DCPA.DCPA.又又ADDCADDC，且，且PAPA与与ADAD是平面是平面PADPAD内两相交内两相交(xingjio)(xingjio)直线，直线，DCDC平面平面PAD.PAD.又又DCDC平面平面PCDPCD，平面平面PCDPCD平面平面PAD.PAD.（2 2）证明）证明 连结连结BDBD，设，设BDBD与与ACAC相交相交(xingjio)(xingjio)于点于点F F，连结连结EFEF，在等腰直角在等腰直角ADCAD
31、C中，中，ADDCADDC，第25页/共32页第二十六页，共32页。又又ADBCADBC，ACB=DAC=ACB=DAC=又又ABCABC为等腰直角三角形，且底面为等腰直角三角形，且底面ABCDABCD是直是直角梯形角梯形(txng)(txng)，（若（若BB为直角，则与底为直角，则与底面面ABCDABCD是直角梯形是直角梯形(txng)(txng)相矛盾）相矛盾）.由由AD=DC=aAD=DC=a，易知，易知AB=AC=aAB=AC=a，BC=2aBC=2a，BCADBCAD且且BC=2ADBC=2AD，BF=2FD.BF=2FD.又又BE=2EPBE=2EP，PDEF.PDEF.又又EFE
32、F平面平面EACEAC，PDPD平面平面EACEAC，直线直线PDPD平面平面EAC.EAC.第26页/共32页第二十七页，共32页。（3 3）解）解 过点过点E E作作EHPAEHPA交交ABAB于于H H点，点，则则EHEH平面平面(pngmin)ABCD(pngmin)ABCD，又，又ABACABAC，EAAC.EAAC.EAHEAH为二面角为二面角BACEBACE的平面的平面(pngmin)(pngmin)角角.BE=2EPBE=2EP，即二面角即二面角BACEBACE的余弦值为的余弦值为 .第27页/共32页第二十八页，共32页。方法与技巧方法与技巧(jqio)(jqio)1.1.证
33、明线面垂直的方法证明线面垂直的方法 （1 1）线面垂直的定义：）线面垂直的定义：a a与与内任何直线都垂内任何直线都垂 直直aa；（3 3）判定定理）判定定理2 2：abab，aabb；（4 4）面面平行的性质：）面面平行的性质：，aaaa；（5 5）面面垂直的性质：）面面垂直的性质：，=l=l，a a ，al al a.a.n思想思想(sxing)(sxing)方法方法 感悟提感悟提高高第28页/共32页第二十九页，共32页。2.2.证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法 （1 1）定义：两条直线）定义：两条直线(zhxin)(zhxin)所成的角为所成的角为90;90;（2 2）平面几何中证
34、明线线垂直的方法；）平面几何中证明线线垂直的方法；（3 3）线面垂直的性质：）线面垂直的性质：aa，b babab；（4 4）线面垂直的性质：）线面垂直的性质：aa，bbab.ab.3.3.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法 （1 1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角）利用定义：两个平面相交，所成的二面角 是直二面角；是直二面角；（2 2）判定定理：）判定定理：a a，aa.4.4.向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的 方法方法.第29页/共32页第三十页，共32页。失误与防范失误与防范1.1.垂直关系的转化垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般在
35、证明两平面垂直时一般(ybn)(ybn)先从现有的直先从现有的直线中寻线中寻 找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则 可通过作辅助线来解决可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时，一般如有平面垂直时，一般(ybn)(ybn)要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线 垂直垂直.故熟练掌握故熟练掌握“线线垂直线线垂直”、“面面垂直面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键间的转化条件是解决这类问题的关键.第30页/共32页第三十一页，共32页。2.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依 据据.我们要作一个平面的一条垂线我们要作一个平面的一条垂线(chu xin)(chu xin)，通常是先找，通常是先找 这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线 的垂线的垂线(chu xin)(chu xin)即可即可.第31页/共32页第三十二页，共32页。