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1、必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系相交相交平行平行相交相交（有一个公共点）（有一个公共点）平行平行（无公共点）（无公共点）aboab复习与准备：平面内两条直线的位置关系复习与准备：平面内两条直线的位置关系 那空间中两直线还有没有那空间中两直线还有没有其他的位置关系呢？其他的位置关系呢？必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系看一下生活中的例子：立交桥中立交桥中,两条路线两
2、条路线AB,CDABCD必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系思考一思考一 2.平移平移a,b两条直线，它们能完全重合吗？两条直线，它们能完全重合吗？找不到一个平面使得找不到一个平面使得直线直线a,b在在同一共面内！同一共面内！ab1.直线直线a,b相交吗？相交吗？不相交不相交不平行不平行3.能否找到一个平面能否找到一个平面,使得使得a,b两条直线都在这个平面内？两条直线都在这个平面内？必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系不同在不同在 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面
3、直线。1.异面直线的定义异面直线的定义:定义中是指定义中是指“任何任何”一个平面，是指找不到一个平面，一个平面，是指找不到一个平面，使这两条直线在这个平面上使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。这样的两条直线才是异面直线。注注1例子：如图例子：如图,在长方体中，在长方体中，判断判断AB与与HG是不是异面直线？是不是异面直线？ABGFHEDCAB与与HG不是异面直线。不是异面直线。任何任何必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系从有无公共点的角度：从有无公共点的角度：有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点-相交直线相交直线在同一平面内在
4、同一平面内-相交直线相交直线从是否共面的角度从是否共面的角度没有公共点没有公共点-平行直线平行直线异面直线异面直线不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内-异面直线异面直线平行直线平行直线若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系异面直线的画法异面直线的画法异面直线的画法异面直线的画法ab图图1 1ba图图2 2ab图图3 3必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系这样表示这样表示a a、b b异面正确吗？异面正确吗？
5、b ba必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系1.平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。答：错。b例例1.判断题判断题1a必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系a与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线一定异面。分别在两个平面内的两条直线一定异面。abab判断题判断题2注注2在不同平面内的两条直线不一定异面。在不同平面内的两
6、条直线不一定异面。必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系1正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，与中，与对对角角线线AC1异异面的棱有面的棱有()A3条条B4条条C6条条 D8条条解析：解析：在正方体中与在正方体中与AC1异面的棱有异面的棱有BC、CD、BB1、DD1、C1D1、A1D1共共6条条答案：答案：C2如果两条直如果两条直线线a和和b没有公共点，没有公共点，则则a和和b()A共面共面 B平行平行C异面异面 D平行或异面平行或异面答案：答案：D必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系A1B1
7、C1D1ABCD如图如图:AA:AA1 1与与CCCC1 1在同一平面吗在同一平面吗?直观上 理论上在图中找出另外的一些异在图中找出另外的一些异面直线面直线BB1AA1,DD1AA1,BB1与DD1平行吗?必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系2 2、平行直线、平行直线公理平行同一条直线的两条直线互相平行公理平行同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：设符号表示：设a a，b b，c c为直线为直线abcbaca ab bc ca，b，c三条直线两两平行，可以记为abc(空间、平面平行线的传递性)公理公理4 4作用：作用：判断空间两条直线平行的依
8、据。判断空间两条直线平行的依据。必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系例题示范例题示范例例1：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。分析：分析：欲证欲证EFGH是一个平行四边形是一个平行四边形只只需需证证EHFG且且EHFGE，F，G，H分别是各边中点分别是各边中点连结连结BD,只只需需证证：EH BD且且EH BDFG BD且且FG BDAB DEFGHC必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线
9、、平面之间的位置关系例题示范例题示范例例1：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。AB DEFGHC EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH=BD同理，同理，FG BD且且FG=BDEH FG且且EH=FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系例例2已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分分别为别为AA1，CC1的中点的中点求求证证：
10、BF ED1.必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系例例3、如图，是、如图，是所在平面外一点，、分所在平面外一点，、分别是别是和和的重心。的重心。求证：求证：，三角形重心是三角形三边中线的交点,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系3.3.等角定理等角定理提出问题提出问题:在平面上在平面上,我们容易证明我们容易证明“如果一个角如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补角相等或互补”。在空
11、间中。在空间中,结论是否仍然成立呢结论是否仍然成立呢?观察思考：如图观察思考：如图,ADC,ADC与与ADCADC、ADCADC与与ABCABC的两边分别对应平行，这两组角的大小的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？关系如何？必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系3.3.等角定理等角定理定理：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。么这两个角相等或互补。必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系3.3.等角定理等角定理定理：定理：空间
12、中如果两个角的两边分别对应平行，那空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。么这两个角相等或互补。定理的推论定理的推论:如果两条相交直线和另两条相如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐那么这两条直线所成的锐角角(或直角或直角)相等相等.必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系ABCDA1B1C1D1MN必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系解题过程解题过程证明：证明：(1)必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面
13、之间的位置关系(2)由由(1)可知可知MNA1C1，又因为，又因为NDA1D1，DNM与与D1A1C1相等或互补相等或互补而而DNM与与D1A1C1均是直角三角形的锐角，均是直角三角形的锐角，DNMD1A1C1.必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系如图所示，如图所示，a，b是两条是两条异面直线，异面直线，在空间中任选一点在空间中任选一点O，过过O点分别作点分别作 a，b的平行线的平行线 a和和 b，abPabO 则这两条线所成则这两条线所成的锐角的锐角（或直角），（或直角），称为称为异面直线异面直线a，b所成的角所成的角。？任选任选Oa若两条异
14、面直线所成角为若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直。，则称它们互相垂直。异面直线异面直线a与与b垂直也记作垂直也记作ab异面直线所成角异面直线所成角的取值范围：的取值范围：平平移移4.4.异面直线所成的角异面直线所成的角必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作直线互相垂直，记作abab。必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之
15、间的位置关系必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中,AB=,AD=,AE=2 (1)求求BC 和和EG 所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)求求AE 和和BG 所成的角是多少度所成的角是多少度?(1)GF BC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.Rt EFG中，求得中，求得EGF=45o(2)BF AE FBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,Rt BFG中，求得中，求得FBG=60o例例7ABGFHEDC2必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A60 B90 C105 D75例例8必修必修2 2 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系如图，等腰直角三角形ABC中，A90，BC ，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值例例9