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1、会计学1数值分析数值分析(fnx)高斯公式高斯公式第一页，共21页。一、高斯(o s)点定义：高斯(o s)公式机械(jxi)求积公式含有2n+2个待定参数 若适当选择这些参数使求积公式具有2n+1次代数精度，则这类公式称为高斯公式。(4.1)第1页/共21页第二页，共21页。请回答(hud):以前学过的梯形公式(gngsh)、辛甫生公式(gngsh)、柯特斯公式(gngsh)、中矩形公式(gngsh)是高斯公式(gngsh)吗？答：除中矩形(jxng)公式外都不是！第2页/共21页第三页，共21页。定义(dngy)：高斯点高斯公式(gngsh)的求积节点称为高斯点第3页/共21页第四页，共2
2、1页。举例(j l)求 a,b上的一点(y din)和二点高斯公式。解设一点高斯(o s)公式为则其代数精度应为即解得中矩形公式第4页/共21页第五页，共21页。再设两点高斯(o s)公式为则其代数(dish)精度应为即这是关于(guny)四个未知数的非线性方程，难于求解第5页/共21页第六页，共21页。高斯(o s)点具有以下性质：定理(dngl)对于(duy)插值型求积公式(4.1)，其节点是高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式与任意次数不超过n的多项式P(x)均正交，即启发：如何求高斯公式！第6页/共21页第七页，共21页。证明(zhngmng)先证必要性，即 是高斯点设P(x)是任
3、意(rny)次数不超过 n 的多项式，则P(x)(x)的次数不超过(chogu)2n+1，因此应准确成立但故第7页/共21页第八页，共21页。再证充分性。即 是高斯点对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f(x),用 除 f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)，即2n+1n+1nn由已知条件(tiojin)，(x)与P(x)正交，得第8页/共21页第九页，共21页。由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少具有n次代数精度(jn d)，故对Q(x)能准确成立：再注意(zh y)到(xk)=0，知Q(xk)=f(xk)，从而有于是(ysh)由前面的推导知这说明公式对一切次数不超过2n+1的
4、多项式均能准确成立，故xk是高斯点。第9页/共21页第十页，共21页。定理(dngl)给我们的启发：1、求出a,b上与所有次数(csh)不超过n的多项式 都正交的多项式n+1(x)。2、求出n+1(x)的n+1个零点(ln din)就是高斯点。请回答:-1，1上与所有次数不超过0的多项式都正交的多项式1(x)=？第10页/共21页第十一页，共21页。解：设P0(x)=C，1(x)=x x0。由于(yuy)即展开(zhn ki)，得则一个点的高斯(o s)公式为中矩形公式第11页/共21页第十二页，共21页。二、高斯(o s)勒让得公式特别(tbi)地，取a,b=-1,1，其上高斯公式为：下面求
5、对应(duyng)的高斯点。由于勒让得多项式是-1，1上的正交多项式，因此勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。第12页/共21页第十三页，共21页。特殊(tsh)地若取P1(x)=x 的零点x0=0 作节点构造求积公式 令它对 f(x)=1准确(zhnqu)成立，即可定出A0=2.即一点高斯(o s)公式为中矩形公式第13页/共21页第十四页，共21页。令它对 f(x)=1,x 准确(zhnqu)成立，即可定出A0,A1可得两点高斯(o s)勒让得公式为再取 的零点 作节点构造求积公式 注：其它(qt)的高阶公式详见书。第14页/共21页第十五页，共21页。请回答(hud):高斯(o
6、s)勒让得公式仅适用于求积区间是-1，1，那么对于任意求积区间a,b如何求？解作变换(binhun)可以化到区间-1，1上，这时第15页/共21页第十六页，共21页。三、带权的高斯(o s)公式定义(dngy)：带权的高斯公式求积公式(gngsh)若该公式具有2n+1次代数精度，则称这类公式为带权的高斯公式.上述(x)0是权函数。高斯点第16页/共21页第十七页，共21页。定理(dngl)是高斯(o s)点的充要条件是是区间(q jin)a,b上关于(x)的正交多项式。特殊的若a,b=-1，1，权函数是所建立的高斯公式为切比雪夫高斯公式xk是切比雪夫多项式的零点第17页/共21页第十八页，共21页。注意(zh y)：运用正交多项式的零点(ln din)构造高斯求积公式，这种方法只是针对某些特殊的权函数才有效。构造高斯公式(gngsh)的一般方法是待定系数法第18页/共21页第十九页，共21页。举例(j l)要构造下列形式(xngsh)的高斯公式解则其代数(dish)精度应为即第19页/共21页第二十页，共21页。作业(zuy)：习题 10，11第20页/共21页第二十一页，共21页。