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1、会计学1数值数值(shz)分析误差分析误差第一页，共44页。2 数值分析是做什么用的？数值分析是做什么用的？数值数值分析分析输入复杂问题或运算输入复杂问题或运算 计算机计算机近似解近似解第2页/共44页第二页，共44页。3 研究对象研究对象 那些在理论上有解而又无法手工那些在理论上有解而又无法手工(shugng)计算的数学问题计算的数学问题 例例 解解300阶的线性方程组阶的线性方程组 求求6阶矩阵阶矩阵(j zhn)的全部特征值的全部特征值第3页/共44页第三页，共44页。4主要主要(zhyo)内容内容 数值数值(shz)代数代数近似求解线性方程组近似求解线性方程组 (直接解法直接解法,迭代
2、解法迭代解法)矩阵特征值的计算矩阵特征值的计算 数值数值(shz)逼近：逼近：插值法，函数逼近插值法，函数逼近 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 微分方程近似求解微分方程近似求解 非线性方程求解非线性方程求解 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法第4页/共44页第四页，共44页。5第一章第一章 误差误差(wch)2 绝对误差、相对误差绝对误差、相对误差(xin du w ch)和有效数字和有效数字3 数值计算数值计算(j sun)中误差的传播中误差的传播4 数值计算中应注意的几个问题数值计算中应注意的几个问题1 误差的来源误差的来源 第5页/共44页第
3、五页，共44页。61 误差误差(wch)的来源的来源 误差按来源误差按来源(liyun)可分为：可分为：模型误差模型误差 观测误差观测误差 截断误差截断误差 舍入误差舍入误差第6页/共44页第六页，共44页。7 模型误差模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到的，一数学模型通常是由实际问题抽象得到的，一般般(ybn)带有误差，这种误差称为模型误差带有误差，这种误差称为模型误差.观测误差观测误差 数学模型中包含的一些数学模型中包含的一些(yxi)物理参数通物理参数通常是通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差常是通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差称为观测误差.截断误差
4、截断误差 求解数学模型所用求解数学模型所用(su yn)的数值的数值方法通常是一种近似方法，这种因方法产生的误差称方法通常是一种近似方法，这种因方法产生的误差称为截断误差或方法误差为截断误差或方法误差.第7页/共44页第七页，共44页。8实际实际(shj)计算时只能截取有限项代数和计算，如取前计算时只能截取有限项代数和计算，如取前5项有：项有：这里产生这里产生(chnshng)误差误差(记作记作R5)截断误差截断误差例如，利用例如，利用 ln(x+1)的的Taylor公式公式(gngsh)计算计算 ln2,第8页/共44页第八页，共44页。9 舍入误差舍入误差 由于计算机只能对有限位数进由于计
5、算机只能对有限位数进行行原则保留有限位，这时产生的误差称为原则保留有限位，这时产生的误差称为舍入误舍入误差差。等都要按舍入等都要按舍入运算，在运算中像运算，在运算中像在数值在数值(shz)分析中，均假定数学模型是准确的，因而分析中，均假定数学模型是准确的，因而不考虑模型误差和观测误差，只讨论截断误差和舍入误差不考虑模型误差和观测误差，只讨论截断误差和舍入误差对计算结果的影响对计算结果的影响.第9页/共44页第九页，共44页。10 设设x*是准确值是准确值x 的一个的一个(y)近似值，记近似值，记e=x x*称称 e为近似值为近似值 x*的绝对误差，简称误差的绝对误差，简称误差.绝对误差一般很难
6、准确计算绝对误差一般很难准确计算(j sun),但可以估计上界但可以估计上界.绝对误差绝对误差(ju du w ch)0 0 0 0 不唯一不唯一不唯一不唯一，当然当然当然当然 越小越具有参考价值越小越具有参考价值越小越具有参考价值越小越具有参考价值.则称则称 为近似值为近似值 x*的的绝对误差限绝对误差限，简称误差，简称误差限限.若若 满足满足 2 绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字第10页/共44页第十页，共44页。11例例 用毫米用毫米(ho m)刻度的米尺测量一长度刻度的米尺测量一长度 x,如读如读出的长度是出的长度是 x*=765 mm,由于误差限是由于误差限是
7、 0.5 mm,故准确值故准确值 精确精确(jngqu)值值x,近似值近似值 x*和误差限和误差限 之间之间满足：满足：通常通常(tngchng)记为记为 第11页/共44页第十一页，共44页。12 绝对误差绝对误差(ju du w ch)有时并不能完全地反有时并不能完全地反映近似值的好坏，如测量映近似值的好坏，如测量 100 m 和和 10 m 两个长度，两个长度，若它们的绝对误差若它们的绝对误差(ju du w ch)都是都是 1 cm，显，显然前者的测量结果比后者的准确然前者的测量结果比后者的准确.因此，决定一个量的近似值的精确度，除了要因此，决定一个量的近似值的精确度，除了要看绝对误差
8、看绝对误差(ju du w ch)外，还必须考虑该量外，还必须考虑该量本身的大小本身的大小.第12页/共44页第十二页，共44页。13称称 er 为近似值为近似值 x*的的相对误差相对误差.记记由于由于 x 未知，实际使用时总是未知，实际使用时总是(zn sh)将将 x*的的相对误差取为相对误差取为 相对误差相对误差(xin du w ch)称为近似值称为近似值x*的的相对误差限相对误差限.第13页/共44页第十三页，共44页。14例例 设设 x*=1.24是由精确值是由精确值 x 经过经过(jnggu)四舍五入四舍五入得到的近似值得到的近似值,求求x*的绝对误差限和相对误差限的绝对误差限和相
9、对误差限.由已知可得由已知可得:所以所以(suy)=0.005,解解 一般地一般地,凡是由准确值经过四舍五入得到的近似凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值值,其绝对误差限等于其绝对误差限等于(dngy)该近似值末位的半该近似值末位的半个单位个单位.第14页/共44页第十四页，共44页。15有有 位有效数字，精确到小数点后第位有效数字，精确到小数点后第 位位 有效数字有效数字(yu xio sh z)若近似值若近似值 x*满足满足 则称则称 x*准确到小数点后第准确到小数点后第n位位.并把从第一个非并把从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为零数字到这一位的所有数字均称为有效数字有效数字.例例：
10、问：问：有几位有效数字？有几位有效数字？解：解：43第15页/共44页第十五页，共44页。16例例 已知下列近似值的绝对误差限都是已知下列近似值的绝对误差限都是0.005,问问它们它们(t men)具有几位有效数字具有几位有效数字?a=12.175,b=0.10,c=0.1,d=0.0032由于由于(yuy)0.0050.5102,解解所以所以(suy)a 有有4位有效数字位有效数字1,2,1,7;b 有有2位有效数字位有效数字1,0;c 有有1位有效数字位有效数字1;d 没有有效数字没有有效数字.第16页/共44页第十六页，共44页。17数数x*总可以写成如下形式总可以写成如下形式x*作为作
11、为x的近似值的近似值,具有具有n位有效数字当且仅当位有效数字当且仅当其中其中m是整数是整数,ai是是0到到9中的一个数字中的一个数字,由此可见由此可见,近似值的有效数字近似值的有效数字(yu xio sh z)越多越多,其绝其绝对误差越小对误差越小.有效数字的另一等价有效数字的另一等价(dngji)定义定义第17页/共44页第十七页，共44页。18故取故取 n=6，即取，即取 6 位有效数字位有效数字(yu xio sh z).此时此时 x*=1.41421.解解则近似值则近似值x*可写为可写为由于由于 令令例例 为了为了(wi le)使使 的近似值的绝对误的近似值的绝对误差小于差小于105，
12、问应取几位有效数字？，问应取几位有效数字？第18页/共44页第十八页，共44页。19 相对误差限与有效数字相对误差限与有效数字(yu xio sh z)之间的关系之间的关系.有效数字有效数字(yu xio sh z)相对误差限相对误差限已知已知 x*=0.a1a2an10m有有 n 位有效数字位有效数字(yu xio sh z)，则其相对误差限为，则其相对误差限为第19页/共44页第十九页，共44页。20 相对误差相对误差(xin du w ch)限限 有效数字有效数字已知已知 x*的的相对误差限相对误差限可写为可写为则则可见可见 x*至少至少(zhsho)有有 n 位有效数字位有效数字.第2
13、0页/共44页第二十页，共44页。21 基本运算基本运算(yn sun)中中()的误差估计的误差估计问问3 数值计算数值计算(j sun)中误差中误差的传播的传播如如第21页/共44页第二十一页，共44页。22例例 计算计算 A=f(x1,x2).如果如果x1,x2的近似值为的近似值为 x1*,x2*,则则A的近似值为的近似值为 A*=f(x1*,x2*),用多元用多元函数函数(hnsh)微分近似公式可以得到微分近似公式可以得到 绝对误差绝对误差(ju du w ch)e 运算可近似看成微分运算运算可近似看成微分运算.第22页/共44页第二十二页，共44页。23由此可以得到由此可以得到(d d
14、o)基本运算中基本运算中()的误差估计的误差估计,和差的误差和差的误差(wch)限不超过各数的误限不超过各数的误差差(wch)限之和限之和.第23页/共44页第二十三页，共44页。24 乘法相对误差乘法相对误差(xin du w ch)限不超过各数相对误差限不超过各数相对误差(xin du w ch)限之和限之和.第24页/共44页第二十四页，共44页。25 乘除相对误差乘除相对误差(xin du w ch)限不超过各数相对误差限不超过各数相对误差(xin du w ch)限之和限之和.第25页/共44页第二十五页，共44页。26例例 设设 y=xn,求求 y 的相对误差的相对误差(xin d
15、u w ch)与与 x 的相对误差的相对误差(xin du w ch)之间的关系之间的关系.解解所以所以(suy)xn 的相对误差是的相对误差是 x 的相对误差的的相对误差的n倍倍.x2的相对误差是的相对误差是 x 的相对误差的的相对误差的 2 倍倍,的相对误差的相对误差(xin du w ch)是是 x 的相对误差的相对误差(xin du w ch)的的 1/2 倍倍.第26页/共44页第二十六页，共44页。27 算法算法(sun f)的数值稳定性的数值稳定性 一种数值算法一种数值算法,如果如果(rgu)其计算舍入误差积其计算舍入误差积累是可控制的累是可控制的,则称其为数值稳定的则称其为数值
16、稳定的,反之称为数反之称为数值不稳定的值不稳定的.第27页/共44页第二十七页，共44页。28利用分部积分法可得计算利用分部积分法可得计算(j sun)In的递推公式的递推公式例例 计算计算(j sun)积分积分算法算法(sun f)1：由此递推计算由此递推计算 I1,I2,I9.解解第28页/共44页第二十八页，共44页。29取近似值取近似值由此计算由此计算(j sun)I8,I7,I0.并将计算公式改写并将计算公式改写(gixi)为为算法算法(sun f)2：此时此时第29页/共44页第二十九页，共44页。30InI0I1I2I3I4I5I6I7I8I9算法算法(sun f)10.6321
17、0.36790.26420.20740.17040.14800.11200.21600.72807.5520算法算法(sun f)20.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11210.10350.0684真值真值0.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11240.10090.0916第30页/共44页第三十页，共44页。31 对任何对任何 n都应有都应有In0,但算法但算法1的计算结果显示的计算结果显示I8(n+1)n!当当n=25时时,在每秒百亿次乘除运算计算机上求解时间为在每秒百亿次乘除运算计算
18、机上求解时间为 首先首先,若算法计算量太大若算法计算量太大,实际计算无法完成实际计算无法完成(亿亿年年)第40页/共44页第四十页，共44页。41 其次，即使是可行算法，则计算量越大积累的误差其次，即使是可行算法，则计算量越大积累的误差(wch)也越大也越大.因此，算法的计算量越小越好因此，算法的计算量越小越好.若直接逐项计算，大约需要乘法若直接逐项计算，大约需要乘法(chngf)运运算次数为算次数为例例 计算计算(j sun)n次多项式：次多项式：第41页/共44页第四十一页，共44页。42一般一般(ybn)地，对于地，对于n次多项式将它改次多项式将它改写为写为如果利用如果利用(lyng)分配律，则能使计算量大为降低分配律，则能使计算量大为降低2次乘法次乘法(chngf)+2次加法次加法3次乘法次乘法+3次加法次加法则只需则只需n次乘法和次乘法和n次加法运算次加法运算.第42页/共44页第四十二页，共44页。431 计算积分计算积分(jfn)(要求计算结果具有要求计算结果具有6位有效数字位有效数字)作业题作业题2 第第10页页:8第43页/共44页第四十三页，共44页。44感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第44页/共44页第四十四页，共44页。