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1、导数的应用2021/8/11 星期三1一、复习目标一、复习目标 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导并会用导数求多项式函数的单调区间、极值及闭区间上的最值数求多项式函数的单调区间、极值及闭区间上的最值.会利用导数求最大值和最小值的方法会利用导数求最大值和最小值的方法,解决某些简单实际解决某些简单实际问题问题.二、重点解析二、重点解析 (4)用用 f(x)=0 的根的根将将 f(x)的定义域分成若干个区间的定义域分成若干个区间,列表列表考查各区间上考查各区间上 f(x)的的符号符号,进而确定进而确定 f(x)的单调区间的单调区间.注意若注意若
2、 f(x)在在(a,b),(b,c)单调递增单调递增(减减),且且 f(x)在在 x=b 处连续处连续,则则 f(x)在在(a,c)单调递增单调递增(减减).1.利用导数判断单调性的一般步骤利用导数判断单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域确定函数的定义域;(2)求导数求导数 f(x);(3)求求 f(x)=0 的的根根;2021/8/11 星期三22.求函数极值的步骤求函数极值的步骤:(3)检查上面求出的检查上面求出的 x 的两侧导数的符号的两侧导数的符号,如果左正右负如果左正右负,那么那么 f(x)在该点处取极大值在该点处取极大值,如果左负右正如果左负右正,那么那么 f(x)在该点在该点
3、处取极小值处取极小值.(1)求导数求导数 f(x);(2)求出求出 f(x)=0 或或 f(x)不存在的所有不存在的所有的点的点;3.连续函数连续函数 f(x)在在 a,b 上有最大值和最小值上有最大值和最小值,求最值的求最值的一一 般步骤般步骤:4.解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把把“问题情景问题情景”译为数学语言译为数学语言,找出问题的主要关系找出问题的主要关系,并把问并把问题的主要关系近似化、形式化题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题抽象成数学问题,再化归为常再化归为常规问题规问题,选择合适的数学方法求解选择合适的
4、数学方法求解.(1)求极值求极值;(2)把极值和把极值和 f(a),f(b)相比较相比较,最大的一个为最大值最大的一个为最大值,最小最小的一个为最小值的一个为最小值;2021/8/11 星期三31.函数的单调性函数的单调性三、知识要点三、知识要点(1)(函数单调性的充分条件函数单调性的充分条件)设函数设函数 y=f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导,如果如果 f(x)0,则则 y=f(x)为为增增函数函数,如果如果 f(x)0(x 0).显然显然 f(x)=x3 在在(-1,1)上仍旧是增函数上仍旧是增函数.2021/8/11 星期三4 极大值与极小值极大值与极小值统称为统称为极值极值.是
5、函数是函数 f(x)的一个的一个极小值极小值,记作记作:y极小值极小值=f(x0),如果对如果对 x0附近的所有点附近的所有点,都有都有 f(x)f(x0),就说就说 f(x0)2.函数极值的定义函数极值的定义 设函数设函数 f(x)在点在点 x0 及其附近有定义及其附近有定义,如果对如果对 x0 附近的所有点附近的所有点,都有都有 f(x)0,右侧右侧 f(x)0,那么那么 f(x0)是是极大值极大值;(2)如果在如果在 x0 附近的左侧附近的左侧 f(x)0,那么那么 f(x0)是是极小值极小值.一般地一般地,当函数当函数 f(x)在点在点 x0 处连续时处连续时4.求可求可导导函数函数
6、f(x)的极的极值值的步的步骤骤:(1)确定函数的定确定函数的定义义域域;2021/8/11 星期三5(3)求方程求方程 f(x)=0 的根的根;5.函数的函数的最大值与最小值最大值与最小值 在闭区间在闭区间 a,b 上连续的函数上连续的函数 f(x)在在 a,b 上必有最大值与上必有最大值与最小值最小值.但在开区间但在开区间(a,b)内连续的函数内连续的函数 f(x)不一定有最大值与不一定有最大值与最小值最小值,例如例如 f(x)=x,x(-1,1).6.设函数设函数 f(x)在在 a,b 上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,求求 f(x)在在 a,b上的上的最大值与最小值的最大值与最
7、小值的步骤如下步骤如下:(1)求求 f(x)在在(a,b)内的极值内的极值;(2)将将 f(x)的各极值与的各极值与 f(a),f(b)比较比较,其中最大的一个是其中最大的一个是最大最大值值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.(2)求求导导数数 f(x);(4)检查检查 f(x)在方程在方程 f(x)=0 的根左右的的根左右的值值的符号的符号,如果左正如果左正右右负负,那么那么 f(x)在在这这个根个根处处取得极大取得极大值值;如果左如果左负负右正右正,那么那么 f(x)在在这这个根个根处处取得极小取得极小值值.2021/8/11 星期三6典型例题典型例题 1 已知函数已知函数 f(x)=
8、ax3+3x2-x+1 在在 R 上是减函数上是减函数,求求 a 的取值范的取值范围围.解解:由已知由已知,f(x)=3ax2+6x-1.而而 3ax2+6x-10(x R)当当 f(x)0(x R)时时,f(x)是减函是减函数数.由由 y=x3 在在 R 上为增函数知上为增函数知,a=-3 时时,f(x)(x R)是减函数是减函数.a-3 时时,在在 R 上存在一个区间上存在一个区间,其上有其上有 f(x)0,当当 a-3 时时,f(x)不是减函数不是减函数.综上所述综上所述,a 的取值范围是的取值范围是(-,-3.a0,=36+12a0 恒成立恒成立,(2)y=x3-3x+3,x-,.32
9、52f(x)在在-1,1 上单调递增上单调递增.f(x)min=f(-1)=-12,f(x)max=f(1)=2.(2)y=3x2-3.令令 y=0,得得 x=-1 或或 1.-1,1-,3252且当且当 x 取取-,-1,1,时的函数值分别为时的函数值分别为 3252 ,5,1,.833889当当 x=1 时时,ymin=1,当当 x=时时,ymax=.528892021/8/11 星期三8典型例题典型例题 3 已知已知 a 为实数为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数求导函数 f(x);(2)若若 f(-1)=0,求求 f(x)在在-2,2 上的最大值和最小值上的最大值和
10、最小值;(3)若若 f(x)在在(-,-2和和 2,+)上都是递增的上都是递增的,求求 a 的取值范围的取值范围.解解:(1)由已知由已知 f(x)=x3-ax2-4x+4a,f(x)=3x2-2ax-4.(2)由由 f(-1)=0 得得,a=.12f(x)=3x2-x-4.由由 f(x)=0 得得,x=-1 或或 .43f(-2)=0,f(-1)=,f()=-,f(2)=0,92432750 f(x)在在-2,2 上的最大值为上的最大值为 ,最小值为最小值为-.922750(3)f(x)的图象为开口向上的抛物线且过点的图象为开口向上的抛物线且过点(0,-4),由题设得由题设得 f(-2)0
11、且且 f(2)0.8+4a0 且且 8-4a0.-2a2.故故 a 的取值范围是的取值范围是-2,2.2021/8/11 星期三9典型例题典型例题 4 又又 f(x)的图象过点的图象过点 P(0,1),此时此时 f(x)=ax4+cx2+1,偶函数偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点的图象过点 P(0,1),且在且在 x=1 处的切线方程为处的切线方程为 y=x-2,(1)求求 y=f(x)的解析式的解析式;(2)求求 y=f(x)的极的极大大(小小)值值.函数函数在在 x=1 处的切线方程为处的切线方程为 y=x-2,切线的斜率为切线的斜率为 1.解解:(1)f(x
12、)是偶函数是偶函数,b=d=0.e=1.f(x)=4ax3+2cx.1=f(1)=4a+2c.即即 4a+2c=1.切线的切点在曲线上切线的切点在曲线上,a+c+1=-1.由由,得得:a=,c=-.52929252f(x)=x4-x2+1.2021/8/11 星期三10典型例题典型例题 4 由由 f(x)=0 得得:当当 x 变化时变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:解解:(2)由由(1)知知,f(x)=10 x3-9x.当当 x=0 时时,f(x)极大值极大值=1.x=0 或或 .3 10 10 由上表可知由上表可知:当当 x=时时,f(x)极小值极小值=-;3 10
13、 10 1110 x f(x)f(x)103(-,-)103 103 103 103 103-(-,0)0(0,)(,+)-0+0-0+极小值极小值极大值极大值极小值极小值 偶函数偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点的图象过点 P(0,1),且在且在 x=1 处的切线方程为处的切线方程为 y=x-2,(1)求求 y=f(x)的解析式的解析式;(2)求求 y=f(x)的极的极大大(小小)值值.2021/8/11 星期三11典型例题典型例题 5 设设 t 0,点点 P(t,0)是函数是函数 f(x)=x3+ax与与 g(x)=bx2+c 的图象的一的图象的一个公共点个公共
14、点,两函数的图象在点两函数的图象在点 P 处有相同的切线处有相同的切线.(1)用用 t 表示表示 a,b,c;(2)若函数若函数 y=f(x)-g(x)在在(-1,3)上单调递减上单调递减,求求 t 的取的取值范围值范围.解解:(1)函数函数 f(x)的图象过点的图象过点 P(t,0),f(t)=0t3+at=0.t 0,a=-t2.又又函数函数 g(x)的图象也过点的图象也过点 P(t,0),g(t)=0bt2+c=0.c=ab.两函数的图象在点两函数的图象在点 P 处有相同的切线处有相同的切线,f(t)=g(t).而而 f(x)=3x2+a,g(x)=2bx,3t2+a=2bt.将将 a=
15、-t2 代入上式得代入上式得 b=t.c=ab=-t3.综上所述综上所述,a=-t2,b=t,c=-t3.(2)方法一方法一 y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当当 y=(3x+t)(x-t)0 时时,y=f(x)-g(x)为减函数为减函数.2021/8/11 星期三12由由 y 0,则则-xt;若若 t0,则则 tx-.3t 3t 函数函数 y=f(x)-g(x)在在(-1,3)上单调递减上单调递减,(-1,3)(-,t)或或(-1,3)(t,-).3t 3t t3 或或-3.3t t3 或或 t-9.t 的取值范围是的取值
16、范围是(-,-93,+).(2)方法二方法二 y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.y=(3x+t)(x-t).函数函数 y=f(x)-g(x)在在(-1,3)上单调递减上单调递减,y=(3x+t)(x-t)的图象是开口向上的抛物线的图象是开口向上的抛物线,y=(3x+t)(x-t)0 对于对于 x(-1,3)恒成恒成立立.则则 y|x=-10 且且 y|x=30.即即(-3+t)(-1-t)0 且且(9+t)(3-t)0.解得解得 t3 或或 t-9.t 的取值范围是的取值范围是(-,-93,+).2021/8/11 星期三13典型例题典型例题 6 已知函数已知函数 f(x)=
17、ax3+cx+d(a 0)是是 R 上的奇函数上的奇函数,当当 x=1 时时,f(x)取得极值取得极值-2.(1)求求 f(x)的单调区间和极大值的单调区间和极大值;(2)证明证明:对对任意任意x1,x2(-1,1),不等式不等式|f(x1)-f(x2)|4 恒成立恒成立.(1)解解:函数函数 f(x)是是 R 上的奇函数上的奇函数,f(-x)=-f(x),即即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d 对对 x R 恒成立恒成立.d=0.f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.当当 x=1 时时,f(x)取得极值取得极值-2,f(1)=-2 且且 f(1)=0.a+c=-2 且且 3a+
18、c=0.a=1,c=-3.f(x)=3x2-3.由由 f(x)0 得得-1x0 得得 x1.f(x)在在(-,-1)上是增函数上是增函数,在在(-1,1)上是减函数上是减函数,在在(1,+)上是增函数上是增函数.当当 x=-1 时时,f(x)取得极取得极大大值值 f(-1)=2.故故函数函数 f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是单调递增区间是(-,-1)和和(1,+);f(x)的极大值为的极大值为 2.2021/8/11 星期三14典型例题典型例题 6 已知函数已知函数 f(x)=ax3+cx+d(a 0)是是 R 上的奇函数上的奇函数,当当 x=1 时时,f(
19、x)取得极值取得极值-2.(1)求求 f(x)的单调区间和极大值的单调区间和极大值;(2)证明证明:对对任意任意x1,x2(-1,1),不等式不等式|f(x1)-f(x2)|4 恒成立恒成立.(2)证证:由由(1)知知 f(x)=x3-3x 在在-1,1 上是减函数上是减函数,且且 f(x)在在-1,1 上的最大值上的最大值 M=f(-1)=2,f(x)在在-1,1 上的最小值上的最小值 m=f(1)=-2,对任意对任意x1,x2(-1,1),不等式不等式|f(x1)-f(x2)|4 恒成恒成立立.2021/8/11 星期三15解解:(1)由已知由已知 f(x)=3ax2+2bx-3,依题意得
20、依题意得 f(-1)=f(1)=0.解得解得 a=1,b=0.3a-2b-3=0 且且 3a+2b-3=0.f(x)=3x2-3.由由 f(x)0 得得-1x0 得得 x1.f(x)在在(-,-1)上是增函数上是增函数,在在(-1,1)上是减函数上是减函数,在在(1,+)上是增函数上是增函数.f(-1)=2 是极大值是极大值,f(1)=-2 是极小值是极小值.点点 A(0,16)不在曲线上不在曲线上.设切设切点为点为 M(x0,y0),则则 y0=x03-3x0.f(x0)=3x02-3.切线方程为切线方程为 y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0).点点 A(0,16)在切线上在
21、切线上,16-(x03-3x0)=(3x02-3)(-x0).化简得化简得 x03=-8.x0=-2.切线方程为切线方程为 y-(-8+6)=9(x+2),即即 9x-y+16=0.2021/8/11 星期三16课后练习课后练习 2 已知向量已知向量 a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若若函数函数 f(x)=a b 在区间在区间(-1,1)是增函数是增函数,求求 t 的取值范围的取值范围.解解:由题设由题设 f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t.f(x)=-3x2+2x+t.函数函数 f(x)在区间在区间(-1,1)是增函数是增函数,f(x)0,即即-3x2+
22、2x+t0,亦即亦即 t3x2-2x 对对 x(-1,1)恒成立恒成立.考虑函数考虑函数 g(x)=3x2-2x,x(-1,1).g(x)的图象是开口向上的抛物线的图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线对称轴为直线 x=,13故故 t3x2-2x 对对 x(-1,1)恒成立等价于恒成立等价于 tg(-1),即即 t5.而当而当 t5 时时,f(x)在在(-1,1)上满足上满足 f(x)0,故故 t 的取值范围是的取值范围是 5,+).即即 f(x)在在(-1,1)是增函数是增函数,2021/8/11 星期三17课后练习课后练习 3 已知函数已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点的
23、图象过点 P(0,2),且在点且在点 M(-1,f(-1)处的切线方程为处的切线方程为 6x-y+7=0,(1)求函数求函数 y=f(x)的解析式的解析式;(2)求函数求函数 y=f(x)的单调区间的单调区间.解解:(1)函数函数 f(x)的图象过点的图象过点 P(0,2),f(0)=2d=2.f(x)=x3+bx2+cx+2,f(x)=3x2+2bx+c.f(x)图象在点图象在点 M(-1,f(-1)处的切线方程为处的切线方程为 6x-y+7=0,-6-f(-1)+7=0,即即 f(-1)=1,且且 f(-1)=6.3-2b+c=6,且且-1+b-c+2=1.即即 2b-c=-3,且且 b-
24、c=0.b=c=-3.f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)由由(1)知知 f(x)=3x2-6x-3.令令 f(x)0 得得 x1+2.令令 f(x)0 得得 1-2 x1+2;f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-,1-2)和和(1+2,+).f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(1-2,1+2);2021/8/11 星期三18课后练习课后练习 4 解解:(1)由已知由已知 f(x)=3ax2+2bx-2,函数函数 f(x)在在 x=-2,x=1 处取得极值处取得极值,12a-4b-2=0 且且 3a+2b-2=0.由由 f(x)0 得得-2x0 得得 x1.y=f(x)的单调
25、递减区间是的单调递减区间是(-2,1);单调递增区间是单调递增区间是(-,-2)和和(1,+).f(-2)=f(1)=0.(2)由由(1)知知 f(x)=x2+x-2.解得解得 a=,b=.1213f(x)=x3+x2-2x.12132021/8/11 星期三19课后练习课后练习 5 设函数设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象如图所示的图象如图所示,且与且与 x 轴在原轴在原点相切点相切,若函数极小值为若函数极小值为-4,(1)求求 a,b,c 的值的值;(2)求函数的递求函数的递减区间减区间.解解:(1)函数函数 f(x)的图象的图象过原点过原点,c=0.函数函数 f(x)的图象
26、的图象与直线与直线 y=0 相切相切,f(x)=3x2+2ax+b,0=f(0)=3 02+2a 0+b.b=0.f(x)=3x2+2ax.令令 f(x)=0 得得,x=0 或或 x=-a.23故由已知可得当故由已知可得当 x=-a 时时,函数有极小值函数有极小值-4.23-4=(-a)3+a(-a)2.2323解得解得 a=-3.故故 a,b,c 的值分别为的值分别为-3,0,0.(2)由由(1)知知 f(x)=3x2-6x=3x(x-2).令令 f(x)0 得得 0 x2.函数的递减区间函数的递减区间为为(0,2).xy o2021/8/11 星期三20课后练习课后练习 6 解解:(1)f
27、(x)=-3x2+2ax+b,又当又当 x=-2 时时,f(-2)=2,即即(-2,2)在曲线上在曲线上,切线斜率切线斜率 k=f(-2)=-8.故所求切线方程为故所求切线方程为 y-2=-8(x+2).已知函数已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx 在区间在区间(-2,1)内内,当当 x=-1 时取得时取得极小值极小值,x=时取得极大值时取得极大值.(1)求函数求函数 y=f(x)在在 x=-2 时的对时的对应点的切线方程应点的切线方程;(2)求函数求函数 f(x)在在-2,1 上的最大值与最小上的最大值与最小值值.23函数函数 f(x)当当 x=-1 时取得极小值时取得极小值,x=时取得
28、极大值时取得极大值,23-1 和和 为方程为方程-3x2+2ax+b=0 的两根的两根.23-1+=a,-1 =-.232323b3解得解得:a=-,b=2.12f(x)=-x3-x2+2x.12即即 8x+y+14=0.2021/8/11 星期三21课后练习课后练习 6 当当 x=-2 时时,函数函数 f(x)在在-2,1 上取得最大值上取得最大值 2;解解:(2)由由(1)知函数知函数 f(x)在在-2,1 上的最值只可能在点上的最值只可能在点-2,-1,和和 1 处取得处取得.2332f(-2)=2,f(-1)=-,f()=,f(1)=,其中其中 2 最大最大,-3223122732最小最小,32当当 x=-1 时时,函数函数 f(x)在在-2,1 上取得最小值上取得最小值-.已知函数已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx 在区间在区间(-2,1)内内,当当 x=-1 时取得时取得极小值极小值,x=时取得极大值时取得极大值.(1)求函数求函数 y=f(x)在在 x=-2 时的对时的对应点的切线方程应点的切线方程;(2)求函数求函数 f(x)在在-2,1 上的最大值与最小上的最大值与最小值值.232021/8/11 星期三22