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1、三、曲线的极坐标方程三、曲线的极坐标方程在直角坐标平面上，曲线可以用在直角坐标平面上，曲线可以用 x、y 的二元方程的二元方程F（x,y）0来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。同理，在极坐标平面上，曲线也可以用关于同理，在极坐标平面上，曲线也可以用关于、的二元方程的二元方程G（，）0来表示，这种方程称为曲线的极坐标方程。来表示，这种方程称为曲线的极坐标方程。类似于曲线直角坐标方程的求法，可以求曲线的极坐标方程。类似于曲线直角坐标方程的求法，可以求曲线的极坐标方程。设设P（，）是曲线上的任意一点，把曲线看）是曲线上的任意一点，把曲线看作适合某种条件
2、的点的轨迹，根据已知条件，求出作适合某种条件的点的轨迹，根据已知条件，求出关于关于、的关系式，并化简整理得的关系式，并化简整理得G（，）0，即为曲线的，即为曲线的极坐标方程极坐标方程。2021/8/11 星期三1例题：求圆心在例题：求圆心在C（a，0），半径为），半径为 a 的圆的的圆的极坐标方程。极坐标方程。解：如图所示，解：如图所示，|OP|OA|cosPOA所以所以 所求圆的极坐标方程为所求圆的极坐标方程为2acos设设P（，）为圆上任意一点，）为圆上任意一点，由于由于OPAP即即 2acos|OA|=2a，POA则则2021/8/11 星期三2思考：求圆心在思考：求圆心在C（r,/2)
3、、半径为、半径为r的圆的极坐标方程？的圆的极坐标方程？解：解：如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上，而圆周经过极点。极轴上方的射线上，而圆周经过极点。设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则，则A点的极坐标为点的极坐标为（r,/2)。设圆上任意一点为设圆上任意一点为P（，），连结），连结PA，则，则OP，POx在在RtPOA中，由于中，由于cosPOA=|OP|/|OA|，所以所以所以所以 2rsin为所求圆的极坐标方程。为所求圆的极坐标方程。2021/8/11 星期三3 例例
4、2 求过点求过点A(2,0)且垂直于极轴的直线且垂直于极轴的直线的极坐标方程。的极坐标方程。解：解：如图所示，在所求直线如图所示，在所求直线 l 上任取一点上任取一点P（，），连结），连结OP，则则 OP，POA在在RtPOA中，由于中，由于OA/OP=cos，所以所以 2/cos,所以所以 cos=2为所求直线的极坐标方程。为所求直线的极坐标方程。OxP(,)A(2,0)2021/8/11 星期三4特别地特别地 我们知道我们知道,在直角坐标系中，在直角坐标系中，x=k(k为常数为常数)表示一条平行于表示一条平行于y轴的直线；轴的直线；y=k(k为常数为常数)表示一条平行于表示一条平行于x轴的
5、直线。轴的直线。我们可以证明（具体从略），在极坐标系中，我们可以证明（具体从略），在极坐标系中，k(k为常为常数数)表示圆心在极点、半径为表示圆心在极点、半径为k的圆；的圆；k(k为常数为常数)表示极角为表示极角为k的一条直线（过极点）。的一条直线（过极点）。返回返回2021/8/11 星期三5课堂练习课堂练习1 1、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程：、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程：、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程：、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1 1）解：）解：）解：）解：把把把把代入上式，得它的直角坐标方程代入上式，得它的直角坐标方程代入上式，得它的直角坐标方
6、程代入上式，得它的直角坐标方程（2）解：）解：两边同时平方，得两边同时平方，得把把代入上式，得它的直角坐标方程代入上式，得它的直角坐标方程2021/8/11 星期三6解：解：解：解：两边同时乘以，得两边同时乘以，得两边同时乘以，得两边同时乘以，得把把把把代入上式，得它的直角坐标方程代入上式，得它的直角坐标方程代入上式，得它的直角坐标方程代入上式，得它的直角坐标方程2021/8/11 星期三7小小 结结 在极坐标系中，我们可以用一个角度和一个距离来确定在极坐标系中，我们可以用一个角度和一个距离来确定点的位置。点的位置。极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示，这样就需要掌可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示，这样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法。握两种坐标在一定条件下的互化方法。在极坐标系中，求曲线的极坐标方程与在直角坐标系中求在极坐标系中，求曲线的极坐标方程与在直角坐标系中求曲线的直角坐标方程的方法是类似的。曲线的直角坐标方程的方法是类似的。返回返回2021/8/11 星期三8