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1、刘敬喜，刘敬喜，2008 Methods of Analysis of Statically Indeterminate StructuresMethods of Analysis of Statically Indeterminate Structures MechanicsMechanics刘敬喜，刘敬喜，2008静力特征静力特征:仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力.超静定问题的求解要同时考虑结构的超静定问题的求解要同时考虑结构的“变形、本构、变形、本构、平衡平衡”.几何特征几何特征:有多余约束的几何不变体系。有多余约束的几何不变体系。超静定结构是
2、相对于静定结构而言的。静定结构超静定结构是相对于静定结构而言的。静定结构是几何不变而又没有多余约束的体系，其反力和内力是几何不变而又没有多余约束的体系，其反力和内力只需静力平衡方程即可求得。只需静力平衡方程即可求得。所谓几何不变体系是指所谓几何不变体系是指如果不考虑材料应变所产生的变形，体系在受到任何如果不考虑材料应变所产生的变形，体系在受到任何载荷作用后能够保持其固有的几何形状和位置的体系载荷作用后能够保持其固有的几何形状和位置的体系。超静定结构有以下几个特征：超静定结构有以下几个特征：概述概述刘敬喜，刘敬喜，2008 拱拱 组合结构组合结构 1）超静定结构的类型 桁架桁架 超静定梁超静定梁
3、 刚架刚架 桁架桁架刘敬喜，刘敬喜，2008（1）超静定次数结构多余约束或多余未知力的数结构多余约束或多余未知力的数 目，即为超静定次数目，即为超静定次数。（2）确定超静定次数的方法通过去掉多余约束来通过去掉多余约束来 确定。（去掉确定。（去掉n个多余约束，即为个多余约束，即为n次超静定）。次超静定）。（3）去掉（解除）多余约束的方式2）超静定次数确定 a、撤去一个活动铰支座、去掉或切断一根链杆去去掉掉1 1个约束（联系）；个约束（联系）；X1刘敬喜，刘敬喜，2008 b、去掉一个单铰或一个固定铰支座 去掉去掉2 2个约束；个约束；c、切断刚性联系（梁式杆）或去掉一个固定端 去掉去掉3 3个约
4、束；个约束；X1X2X1X2X3X1X2X3刘敬喜，刘敬喜，2008 d、将刚性连接改为单铰 去掉去掉1 1个约束。个约束。注意事项注意事项（1 1）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余 约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的 总个数应相同。总个数应相同。（2 2）去去掉掉多多余余约约束束后后的的体体系系，必必须须是是几几何何不不变变的的体体系系，因因此，某些约束是不能去掉的。此，某些约束是不能去掉的。X1刘敬喜，刘敬喜，2008几何可变体系不能几何可变体系不能作为基本体系作为基本体
5、系刘敬喜，刘敬喜，2008X X1 1X X1 1X X2 2X X2 2X X3 3X X3 3X X1 1X X2 2X X3 3平衡方程个数：2816 未知数个数：16+3=19多余约束力：19-163计算桁架超静定次数的简单公式(m+r)-2j=16+3-28=3 m（杆个数）；r（支反力数目）；j（节点数）刘敬喜，刘敬喜，2008一个无铰封闭框有一个无铰封闭框有三个多余约束三个多余约束.33封闭框数单铰数目封闭框数单铰数目=33=334=5 4=5 33封闭框数单铰数目封闭框数单铰数目=33=333=6 3=6 刘敬喜，刘敬喜，2008此两链杆任一根都不能去掉此两链杆任一根都不能去掉
6、此链杆不能去掉此链杆不能去掉刘敬喜，刘敬喜，2008 力法的基本思想力法的基本思想:1.找出未知问题不能求解的原因找出未知问题不能求解的原因,2.将其化成能求解的问题将其化成能求解的问题,3.找出改造后的问题与原问题的差别找出改造后的问题与原问题的差别,4.消除差别后消除差别后,改造后的问题的解即为原问题改造后的问题的解即为原问题的的 解解 解除多余约束，转化为静定结构。将多余解除多余约束，转化为静定结构。将多余约束以多余未知力代替。这种把多余约束力约束以多余未知力代替。这种把多余约束力作为基本量的计算方法作为基本量的计算方法力法。力法。刘敬喜，刘敬喜，2008看下面简单的例子：看下面简单的例
7、子：llq123 如如图图3-6所示的双所示的双跨梁，它是二次超静跨梁，它是二次超静定结构。在用力法计定结构。在用力法计算时，可将其两个多算时，可将其两个多余联系去掉。余联系去掉。llR1R2qllM1M2M2(2)122图3-6a图3-6c图3-6b刘敬喜，刘敬喜，2008 为了求出基本结构中多余的约束力，必须考虑原为了求出基本结构中多余的约束力，必须考虑原结构在多余联系处的已知变形条件。下面以求结构在多余联系处的已知变形条件。下面以求M1和和M2（图（图3-6b）为例来说明。原结构（图）为例来说明。原结构（图3-6a）在均布载）在均布载荷荷q作用下在固定端处的转角为零，在中间支座处转角作用
8、下在固定端处的转角为零，在中间支座处转角连续。为使基本结构的受力和变形与原结构完全一致，连续。为使基本结构的受力和变形与原结构完全一致，就应使基本结构在多余约束力就应使基本结构在多余约束力M1、M2 载荷载荷q作用下在作用下在支座支座1处的转角为零，在支座处的转角为零，在支座2处的转角连续，即：处的转角连续，即：支座1处的转角支座2处的转角刘敬喜，刘敬喜，2008 上式即为变形协调条件。利用两端自由支持单跨上式即为变形协调条件。利用两端自由支持单跨梁的弯曲要素表，可以得到转角与弯矩和外载荷之间梁的弯曲要素表，可以得到转角与弯矩和外载荷之间的关系式，并将他们代入到上式，得到：的关系式，并将他们代
9、入到上式，得到：根据变形条件根据变形条件求解：求解：刘敬喜，刘敬喜，2008 求出基本未知量求出基本未知量M1和和M2后，就可分别对两个静定后，就可分别对两个静定单跨梁进行计算，并用叠加法画出梁单跨梁进行计算，并用叠加法画出梁1-2和和2-3的弯矩图的弯矩图和剪力图，此即原双跨梁的弯矩图和剪力图。和剪力图，此即原双跨梁的弯矩图和剪力图。0.071ql20.107ql2-0.125ql2-0.125ql20.5ql-0.5ql0.036ql0.036ql-0.5ql0.5ql-0.107ql-0.107ql0.393ql0.464ql0.607ql0.536ql0.713ql20.107ql2刘
10、敬喜，刘敬喜，2008第二种等效方法第二种等效方法固定端支反力固定端支反力在均布载荷在均布载荷q作用下作用下:变形变形条件条件求解：求解：0.464ql0.536ql0.607ql0.393ql0.713ql20.107ql2在集中载荷在集中载荷R1作用下作用下:在集中载荷在集中载荷R2作用下作用下:刘敬喜，刘敬喜，2008 力法基本原理：力法基本原理：把去掉原结构上的多余联系后所得的静定结构作为基本结构，以多余约束力作为基本未知量，根据原结构在多余联系处的变形条件列力法方程，解之即得多余约束力；而以后的计算与静定结构相同。必须指出，基本结构的选取虽然可以不同，但它必须是几何不变的。否则不能用
11、作计算超静定结构的计算图形。上述基本原理可以用于分析任何类型的超静上述基本原理可以用于分析任何类型的超静定结构，例如连续梁，刚架和桁架等。定结构，例如连续梁，刚架和桁架等。刘敬喜，刘敬喜，2008 如果把图如果把图3-6b中的中的M1称为第一个多余约束力，记称为第一个多余约束力，记做做X1；M2称为第二个多余约束力，记做称为第二个多余约束力，记做X2。并且把。并且把力法方程组改写成力法方程组改写成：式中式中：(a)刘敬喜，刘敬喜，2008 与图与图3-6b对照，可以看出：力法方程组对照，可以看出：力法方程组(c)中的系中的系数数 11就是当就是当X1=1单独作用于基本结构时，在单独作用于基本结
12、构时，在X1作用点作用点沿沿X1方向的转角（广义位移），而方向的转角（广义位移），而 21就是在就是在X2作用点作用点沿沿X2方向的转角；方向的转角；22就是当就是当X2=1单独作用于基本结单独作用于基本结构时，在构时，在X2作用点沿作用点沿X2方向的转角（注意基本结构有方向的转角（注意基本结构有一对一对X2），而），而 12在在X1作用点沿作用点沿X1方向的转角；方向的转角；1p就就是当外载荷单独作用于基本结构时在是当外载荷单独作用于基本结构时在X1作用点沿作用点沿X1方方向的转角；而向的转角；而 2p就是当外载荷单独作用于基本结构时就是当外载荷单独作用于基本结构时在在X2作用点沿作用点沿X
13、2方向的转角方向的转角刘敬喜，刘敬喜，2008 对于对于n次超静定结构，其力法方程组可写为。次超静定结构，其力法方程组可写为。（3-1）注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等于已知位移（沉降量），而不等于零。于已知位移（沉降量），而不等于零。刘敬喜，刘敬喜，2008（1 1）系数（柔度系数）、自由项）系数（柔度系数）、自由项 主系数主系数iiii(i(i 1,2,n)1,2,n)单位多余未知单位多余未知力力 单独作用于基本结构时，所引起的沿其单独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上的位移，恒为正；本身方向上的位移，恒为正；Xi1 副系数副系数
14、i i j j(i j)i j)单位多余未知力单位多余未知力 单独作用于基本结构时，所引起的沿单独作用于基本结构时，所引起的沿X Xi i方向的位移，方向的位移，可为正、负或零，且由位移互等定理：可为正、负或零，且由位移互等定理：i i j j=j j i iX j1 自由项自由项iPiP 荷载荷载FPFP单独作用于基本体系时，单独作用于基本体系时，所引起所引起Xi方向的位移，可正、可负或为零。方向的位移，可正、可负或为零。ii和和iP的计算，一般可用的计算，一般可用材料力学中的位移计算方材料力学中的位移计算方法，如单位力法法，如单位力法刘敬喜，刘敬喜，2008（3 3）最后弯矩）最后弯矩（2
15、 2）典型方程的矩阵表示）典型方程的矩阵表示刘敬喜，刘敬喜，2008力法基本思路小结力法基本思路小结 解除多余约束，转化为静定结构。多余约解除多余约束，转化为静定结构。多余约束代以多余未知力束代以多余未知力基本未知力基本未知力。分析基本结构在单位基本未知力和外界因分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立素作用下的位移，建立位移协调条件位移协调条件力力法方程法方程。从力法方程解得基本未知力，由从力法方程解得基本未知力，由叠加原理叠加原理获得结构内力。获得结构内力。超静定结构分析通过转化为超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。静定结构获得了解决。刘敬喜，刘敬喜，2008刘敬喜
16、，刘敬喜，20081）刚性支座上连续梁与三弯距方程 1i-12I1l1n-1ii+1nIi-1IiIn-1li-1liln-1qi-1qiM1l1M2I1Mi-1li-1MiIi-1qi-1Mi+1MiliIiqiMn-1ln-1MnIn-1图3-1(a)图3-1(b)刘敬喜，刘敬喜，2008 图图(3.1a)所示的为所示的为n-1跨的刚性支座上的连续梁，跨的刚性支座上的连续梁，其两端刚性固定。首先判断它是一个其两端刚性固定。首先判断它是一个n次超静定梁次超静定梁（无轴向载荷，故无轴向约束反力），将连续梁两（无轴向载荷，故无轴向约束反力），将连续梁两端的刚性固定端改为固定铰支座，并以相应的多余
17、端的刚性固定端改为固定铰支座，并以相应的多余约束力（端面弯距）代替，在每个中间支座处将梁约束力（端面弯距）代替，在每个中间支座处将梁切断，并以相应的约束反力（梁截面上的弯距）代切断，并以相应的约束反力（梁截面上的弯距）代替。得到如图（替。得到如图（3.1b）所示的基本结构）所示的基本结构单跨梁。它单跨梁。它会使得力法方程简化会使得力法方程简化。刘敬喜，刘敬喜，2008 根据原结构在刚性固定端转角为零和在支座处根据原结构在刚性固定端转角为零和在支座处转角连续性条件，列出方程转角连续性条件，列出方程：（3-2a）i=2,3,n-1刘敬喜，刘敬喜，2008 将上式整理后得到将上式整理后得到：（3-2
18、b）刘敬喜，刘敬喜，2008 式中，式中，i2,3,n-1；i(qi-1)第第i-1跨梁上所跨梁上所有外荷引起得在支座有外荷引起得在支座i处的梁右端的转角；处的梁右端的转角；i(qi)表表示第示第i跨梁上所有外荷引起的在支座跨梁上所有外荷引起的在支座i处梁左端的转角；处梁左端的转角；1(q1)、n(qn-1)同理，并规定沿顺时针方向的转角同理，并规定沿顺时针方向的转角为正，反之为负。由式（为正，反之为负。由式（3-2）可见，每个方程中最）可见，每个方程中最多含三个未知弯距，故式（多含三个未知弯距，故式（3-2）称为三弯距方程，）称为三弯距方程，改写为矩阵形式为：改写为矩阵形式为：刘敬喜，刘敬喜
19、，2008（3-3）刘敬喜，刘敬喜，2008式中系数矩阵是对称矩阵，式中系数矩阵是对称矩阵，ij=ji,且且（3-4）刘敬喜，刘敬喜，2008 式中，式中，i2,3,n-1。（3-5）式中，式中，i2,3,n-1。式（式（3-3）在数学上称为三对角方程。当连续梁）在数学上称为三对角方程。当连续梁上支座数目较多时，可以采用追赶法在计算机上求上支座数目较多时，可以采用追赶法在计算机上求解。解。刘敬喜，刘敬喜，2008 例题例题 1：计算图：计算图3.2所示的等截面三跨连续梁。已所示的等截面三跨连续梁。已知知l8m，P=ql/2=40kN,q=10kN/m 解：取其基本结构如图解：取其基本结构如图(
20、b)所示。根据基本结构在所示。根据基本结构在支座支座1处的转角为零，在中间支座处转角连续的条件，处的转角为零，在中间支座处转角连续的条件，列出三个力法方程。列出三个力法方程。M3M1M2M2M3q(b)l/2l/2llPq1234图3-2(a)刘敬喜，刘敬喜，2008 将以上三个方程两边同乘以将以上三个方程两边同乘以6EI/l，整理得，整理得：解得解得：刘敬喜，刘敬喜，2008 得到固定端和各截面的弯距后，就可以采用叠加得到固定端和各截面的弯距后，就可以采用叠加法绘制剪力图和弯距图。法绘制剪力图和弯距图。刘敬喜，刘敬喜，2008 对于仅受到均布载荷的等截面、等跨度的连续梁，对于仅受到均布载荷的
21、等截面、等跨度的连续梁，则连续梁每一跨度的变形均相同，中间支座处的转角则连续梁每一跨度的变形均相同，中间支座处的转角为零。这种连续梁可作简化计算，只需取出一跨，将为零。这种连续梁可作简化计算，只需取出一跨，将其作为两端刚性固定的单跨梁计算，无需对整个连续其作为两端刚性固定的单跨梁计算，无需对整个连续梁进行计算。目前，船体结构中的甲板纵骨及船体纵梁进行计算。目前，船体结构中的甲板纵骨及船体纵骨大都满足以上条件，所以都可以作为两端刚性固定骨大都满足以上条件，所以都可以作为两端刚性固定的单跨梁处理。的单跨梁处理。刘敬喜，刘敬喜，2008 回顾：回顾：超静定结构超静定结构静定结构静定结构多余联系多余联
22、系多余约束力多余约束力力法方程力法方程连续性条件连续性条件力法力法刘敬喜，刘敬喜，2008 船体结构中的甲板纵骨、舷侧纵船体结构中的甲板纵骨、舷侧纵骨和船底纵骨这些纵向构件（超静定骨和船底纵骨这些纵向构件（超静定结构）可以采用三弯矩方程得以解决。结构）可以采用三弯矩方程得以解决。对于由横梁、肋骨和肋板组成的横向对于由横梁、肋骨和肋板组成的横向框架结构？框架结构？刘敬喜，刘敬喜，20082）不可动节点简单刚架计算 船体结构中的刚架大都是由横梁、肋骨和肋板组船体结构中的刚架大都是由横梁、肋骨和肋板组成的横向框架结构。刚架中杆件的相交点叫作刚架的成的横向框架结构。刚架中杆件的相交点叫作刚架的节点。节
23、点。多个杆件（多余两根）汇交于一个节点复杂刚架两根杆件汇交于一个节点简单刚架图3.3刘敬喜，刘敬喜，2008 实际结构中，大多数刚架受力变形后节点位移可实际结构中，大多数刚架受力变形后节点位移可以不计，于是计算强度时在节点处加上固定铰支座，以不计，于是计算强度时在节点处加上固定铰支座，称为不可动节点刚架。少数情况，对于大开口船舶，称为不可动节点刚架。少数情况，对于大开口船舶，舱口端横梁在载荷作用下会有较大线位移，因此在计舱口端横梁在载荷作用下会有较大线位移，因此在计算强度时只能加弹性支座或给定一个已知线位移，这算强度时只能加弹性支座或给定一个已知线位移，这种刚架称为可动节点刚架。种刚架称为可动
24、节点刚架。可动节点刚架刘敬喜，刘敬喜，2008 例题例题 2：计算图：计算图3.3所示的单甲板船在舱口部位的所示的单甲板船在舱口部位的肋骨刚架肋骨刚架l1l2l3q1q1q2q2q3I1I1I2I2I3q1q1q2q2q3M2M2M3M3M4M2M4M5M5图3.4a图3.4b刘敬喜，刘敬喜，2008 解：对图解：对图3.4a所示的刚架，可将其作为刚性支座所示的刚架，可将其作为刚性支座上连续梁上连续梁“折合折合”的结果的结果,可以按照连续梁的方法求可以按照连续梁的方法求解。取其基本结构形式如图解。取其基本结构形式如图3.4b所示，另由于此刚架所示，另由于此刚架结构为左右载荷对称、结构形式对称结
25、构，所以结构为左右载荷对称、结构形式对称结构，所以M2=M5、M3=M4,这样就可以根据原结构在刚性支座这样就可以根据原结构在刚性支座处转角的连续性条件，列出两个力法方程：处转角的连续性条件，列出两个力法方程：刘敬喜，刘敬喜，2008刘敬喜，刘敬喜，2008 求出节点弯距后，就可以绘制刚架的弯距图。求出节点弯距后，就可以绘制刚架的弯距图。由上式可见，刚架的内力与各杆的截面惯性距的由上式可见，刚架的内力与各杆的截面惯性距的比值有关，因而并不需要给出各杆件的惯性距，只要比值有关，因而并不需要给出各杆件的惯性距，只要给出各杆件之间惯性距的比值即可。此外，当肋板的给出各杆件之间惯性距的比值即可。此外，
26、当肋板的刚度远远大于肋骨的刚度时，即刚度远远大于肋骨的刚度时，即I3I2时，时，20，故，故可得：可得：刘敬喜，刘敬喜，2008l1l3q1q2I1I2 这说明肋板可以作为肋骨的刚性支撑，肋骨相当这说明肋板可以作为肋骨的刚性支撑，肋骨相当于刚性固定在肋板上，这也就是如图于刚性固定在肋板上，这也就是如图3.5所示的肋骨刚所示的肋骨刚架的计算结果架的计算结果。图3.5刘敬喜，刘敬喜，2008 例题例题3：计算图：计算图3.6所示的刚架，画出弯距图，不所示的刚架，画出弯距图，不计各杆的拉压变形。已知计各杆的拉压变形。已知P=16kN，l=1m,I2/I1=61243l/2l/2lI1I2I2I1PP
27、图3.6a图3.6b1443I1I2PI112I22P3M1M2M2M3M3M4M1M4刘敬喜，刘敬喜，2008 解：图解：图3.6a所示的刚架，自身处于平衡状态，在所示的刚架，自身处于平衡状态，在不计刚架各杆件拉压变形的情况下，节点不计刚架各杆件拉压变形的情况下，节点1、2、3、4处的线位移为零。因此，刚架属于不可动节点刚架，处的线位移为零。因此，刚架属于不可动节点刚架，取其基本结构如图取其基本结构如图3.6b所示。所示。由于刚架为几何对称结构，载荷也完全对称，所由于刚架为几何对称结构，载荷也完全对称，所以由以由M1=M2=M3=M4。因此未知弯距只有一个，只。因此未知弯距只有一个，只需根据
28、一个节点的转角连续性条件，列出一个力法方需根据一个节点的转角连续性条件，列出一个力法方程即可。程即可。刘敬喜，刘敬喜，20082.2861.7141.7142.286弯距图刘敬喜，刘敬喜，20081）弹性支座 上一章我们曾经对弹性支座和弹性固定端下了定上一章我们曾经对弹性支座和弹性固定端下了定义，那么弹性支座和弹性固定端的实际概念是从何而义，那么弹性支座和弹性固定端的实际概念是从何而来的呢？来的呢？我们看一下这个结构。我们看一下这个结构。12345II1图3.7a图3.7bRl1/2l1/2Rl/2l/2l/2l/2A2图3.7c刘敬喜，刘敬喜，2008 我们采用力法对其进行求解，取原结构的基
29、本结我们采用力法对其进行求解，取原结构的基本结构如图构如图3.7b所示。根据在节点所示。根据在节点2处的位移连续条件，建处的位移连续条件，建立立法方程立立法方程：上式与图上式与图3.7c所示的梁节点所示的梁节点2的挠度算式：的挠度算式：完全相同。这说明原结构中的梁完全相同。这说明原结构中的梁1-3相当于梁相当于梁4-5的弹的弹性支座，其柔性系数性支座，其柔性系数A=l31/(48EI1)：柔性系数：柔性系数A仅与仅与梁的尺寸和两端支座形式有关。当梁梁的尺寸和两端支座形式有关。当梁1-3为刚性固定时，为刚性固定时，A=l31/(192EI1)。刘敬喜，刘敬喜，2008注意：梁注意：梁1-31-3
30、之所以可以作为梁之所以可以作为梁4-54-5的弹性支座，是因的弹性支座，是因为梁为梁1-31-3仅受到两梁之间的相互作用力，而且，此力仅受到两梁之间的相互作用力，而且，此力的方向与梁挠度的方向相同，力的大小与挠度的大小的方向与梁挠度的方向相同，力的大小与挠度的大小成正比，即成正比，即vR。这也与上一章讲到的弹性支座定义这也与上一章讲到的弹性支座定义相同。显然如果梁上还有其他载荷，那么挠度就不单相同。显然如果梁上还有其他载荷，那么挠度就不单仅取决于仅取决于R了。了。因此一根梁之所以能作为其他梁的弹因此一根梁之所以能作为其他梁的弹性支座的条件是，此梁没有外荷重复作用。性支座的条件是，此梁没有外荷重
31、复作用。刘敬喜，刘敬喜，2008 在计算弹性支座的柔性系数时，只需把受外载荷在计算弹性支座的柔性系数时，只需把受外载荷的梁和不受外荷的梁在相交点处拆开，并在拆开处加的梁和不受外荷的梁在相交点处拆开，并在拆开处加上相互作用力上相互作用力R，计算无外荷重作用的梁在，计算无外荷重作用的梁在R作用处沿作用处沿R方向的挠度方向的挠度v，v与与R的比值就是柔性系数的比值就是柔性系数A。事实上，。事实上，由于由于vR，所以，只需假定，所以，只需假定R=1，求出挠度，求出挠度v，求出挠求出挠度度v该挠度就是柔性系数该挠度就是柔性系数A。例：如图例：如图3.8所示一空间刚架结构，试求杆所示一空间刚架结构，试求杆
32、1-2刚性刚性固定端处的弯距。已知各杆截面惯性矩均相同。固定端处的弯距。已知各杆截面惯性矩均相同。刘敬喜，刘敬喜，2008图3.8al/2l/2lq123456lR34562l/2l/2lq12l图3.8b图3.8c刘敬喜，刘敬喜，2008解：因杆解：因杆5-3、3-4、4-6组成的平面刚架上无外荷重作组成的平面刚架上无外荷重作用，故它可作为杆用，故它可作为杆1-2的一个弹性支座，于是杆的一个弹性支座，于是杆1-2就就变成一端刚性固定一端自由支持在弹性支座上的单跨变成一端刚性固定一端自由支持在弹性支座上的单跨梁梁3.7b。弹性支座的柔性系数。弹性支座的柔性系数A，可通过计算图，可通过计算图3.
33、7c所所示刚架求得。示刚架求得。534634R刘敬喜，刘敬喜，2008 利用上一节的方法可以计算得到节点利用上一节的方法可以计算得到节点3和和4的弯的弯距距M3=M4=Rl/2,再由两端自由支持单跨梁弯曲要素再由两端自由支持单跨梁弯曲要素表，求出在表，求出在M3、M4和和R共同作用下杆共同作用下杆3-4中点的挠度：中点的挠度：v=Rl3/96EI,即即A=l3/96EI。既而利用第二章介绍的既而利用第二章介绍的初参数法初参数法求出梁在刚求出梁在刚性固定端处的弯距。可以计算得到节点性固定端处的弯距。可以计算得到节点3和和4的弯的弯距距M1=3ql3/22,刘敬喜，刘敬喜，20082）弹性固定端
34、如图如图3.8所示的刚架结构（船舶上，双甲板船结构，所示的刚架结构（船舶上，双甲板船结构，上甲板横梁与甲板间肋骨组成的刚架），选取其基本上甲板横梁与甲板间肋骨组成的刚架），选取其基本结构如图结构如图3.8b。根据原结构在节点。根据原结构在节点2处相邻两杆转角连处相邻两杆转角连续性条件，列出力法方程续性条件，列出力法方程。3l1I1M12图3.8Alq1l1I1I12alq1Ilq1I23bcM刘敬喜，刘敬喜，2008 图图c所示的弹性固定端表达式为：所示的弹性固定端表达式为：这两个式子完全相同。由此可见，原结构中甲板这两个式子完全相同。由此可见，原结构中甲板间肋骨（杆间肋骨（杆1-2）相当于横
35、梁（杆）相当于横梁（杆2-3）的弹性固定端。）的弹性固定端。弹性固定端的柔性系数弹性固定端的柔性系数A=l1/3EI1,：A 仅与杆仅与杆1-2尺尺寸及其支座形式有关。若杆寸及其支座形式有关。若杆1-2下端为刚性固定，则下端为刚性固定，则A=l1/4EI1。刘敬喜，刘敬喜，2008注意几点：注意几点：（1）甲板间肋骨（）甲板间肋骨（1-2杆）能够作为横梁（杆杆）能够作为横梁（杆2-3）的弹性固定端是因为将它们拆开后，）的弹性固定端是因为将它们拆开后，1-2杆的杆的1端仅端仅受未知弯距受未知弯距M作用，且此弯距与该端的转角作用，且此弯距与该端的转角 始终同始终同方向成正比，即有方向成正比，即有
36、M。这也与上一章讲到的弹性这也与上一章讲到的弹性固定端定义相同。显然如果梁上还有其他载荷，那么固定端定义相同。显然如果梁上还有其他载荷，那么转角就不单仅取决于转角就不单仅取决于M了。了。由此可知，实际结构中杆件的弹性固定端是与其由此可知，实际结构中杆件的弹性固定端是与其相邻的不受外载荷的杆件作用的结果；换言之，受载相邻的不受外载荷的杆件作用的结果；换言之，受载杆件与不受载杆件相连时，不受载杆件是受载杆件的杆件与不受载杆件相连时，不受载杆件是受载杆件的弹性固定端。弹性固定端。刘敬喜，刘敬喜，2008 （2）为了计算弹性固定端的柔性系数）为了计算弹性固定端的柔性系数A，我们只，我们只需把受外载荷杆
37、与不受外载荷杆在他们相连处切开并需把受外载荷杆与不受外载荷杆在他们相连处切开并加上相互作用的未知弯距加上相互作用的未知弯距M，计算无外载杆在弯距，计算无外载杆在弯距M作用处的转角作用处的转角，与与M的比值就是柔性系数的比值就是柔性系数A 。由于在计算柔性系数时由于在计算柔性系数时M的大小不需知道，所以的大小不需知道，所以只需假定只需假定M1，求出转角，求出转角 ，该转角就是柔性系数，该转角就是柔性系数A 的值。的值。（3）柔性系数的数值主要取决于无载杆件的长度）柔性系数的数值主要取决于无载杆件的长度与断面惯性距，而与无载杆件端点的固定情况关系不与断面惯性距，而与无载杆件端点的固定情况关系不大。
38、大。刘敬喜，刘敬喜，2008 （4）在实际船体结构中，甲板间肋骨的下端还与在实际船体结构中，甲板间肋骨的下端还与下甲板横梁及主肋骨相连接，如图下甲板横梁及主肋骨相连接，如图3.9所示。它们将影所示。它们将影响甲板间肋骨下端的固定程度。实际上甲板间肋骨下响甲板间肋骨下端的固定程度。实际上甲板间肋骨下端的固定是介于自由支持和刚性固定之间的某种情况。端的固定是介于自由支持和刚性固定之间的某种情况。数值介于数值介于l1/3EI1,和和l1/4EI1之间之间。数值范围不大，。数值范围不大，在在近似计算时，近似计算时，可不必考虑下甲板横梁及主肋骨对上甲可不必考虑下甲板横梁及主肋骨对上甲板横梁的影响。板横梁
39、的影响。结论：在杆系结构计结论：在杆系结构计算中，如果要计算受外载算中，如果要计算受外载荷的杆件，则可以只考虑荷的杆件，则可以只考虑与它直接相连的不受外载与它直接相连的不受外载荷的杆件对它的影响，无荷的杆件对它的影响，无须考虑不与它直接相连的须考虑不与它直接相连的不受外载荷的杆件对它的不受外载荷的杆件对它的影响。影响。图3.9l1l2l1l212345II1I2I3q刘敬喜，刘敬喜，2008例：将图例：将图3-10所示的刚架中杆所示的刚架中杆1-2化为单跨梁来计算，化为单跨梁来计算，试确定其弹性固定端的柔性系数试确定其弹性固定端的柔性系数A。1234ll2l1II2I1lIqq234l2l1M
40、1234l2l1M2M1（a）（b）图3.10（c）M2M3刘敬喜，刘敬喜，2008解：由前所述，将原结构在节点解：由前所述，将原结构在节点2处拆开为杆处拆开为杆1-2（受（受外载荷杆）和杆外载荷杆）和杆3-2-4（不受外载杆），并假定拆开处（不受外载杆），并假定拆开处的弯距的弯距M=1（图（图(b)所示）。在将杆所示）。在将杆3-2-4从节点从节点2处拆处拆开为两根单跨梁，在拆开处分别加上未知弯距开为两根单跨梁，在拆开处分别加上未知弯距M1和和M2（图（图(c)所示）。现以图所示）。现以图b、c为研究对象，节点为研究对象，节点2处有弯距处有弯距M=1的作用，依据节点的作用，依据节点2处弯距平
41、衡条件，处弯距平衡条件，得：得：刘敬喜，刘敬喜，2008根据节点根据节点2处转角连续性条件，列力法方程：处转角连续性条件，列力法方程：根据节点根据节点3处转角为处转角为0，列力法方程：，列力法方程：刘敬喜，刘敬喜，2008这说明弹性固定端的刚性系数等于杆这说明弹性固定端的刚性系数等于杆3-2单独作用时的单独作用时的刚性系数和杆刚性系数和杆2-4单独作用时的刚性系数之和单独作用时的刚性系数之和刘敬喜，刘敬喜，20083）弹性固定端的固定系数 由上面的分析可知，如果杆系结构所有的杆件上都有由上面的分析可知，如果杆系结构所有的杆件上都有外载荷作用，那么其中任一根杆件都不能作为其他杆外载荷作用，那么其
42、中任一根杆件都不能作为其他杆件的弹性固定端。因为柔性系数无法求出。这时为了件的弹性固定端。因为柔性系数无法求出。这时为了实际结构的分析需要，人们又引入了一个关于弹性固实际结构的分析需要，人们又引入了一个关于弹性固定端固定程度的新定义，叫定端固定程度的新定义，叫“固定系数固定系数”，它是弹性，它是弹性固定端断面的弯距与假想为刚性固定时的断面弯距之固定端断面的弯距与假想为刚性固定时的断面弯距之比，常用比，常用 表示表示：（3-6）刘敬喜，刘敬喜，20083）弹性固定端的固定系数 根据此定义根据此定义 0，即，即Melastic0；表示自由支持；表示自由支持端，若端，若 1，即即 Melastic
43、Mrigid；表示刚性固定端。；表示刚性固定端。因此因此 在在0到到1变化变化。虽然虽然 和和A 都用来表示弹性固定端的系数，但是都用来表示弹性固定端的系数，但是在定义在定义 时，并没有要求固定端的转角一定与其弯距时，并没有要求固定端的转角一定与其弯距成正比。因此用定义的弹性固定端固定系数和用成正比。因此用定义的弹性固定端固定系数和用A 定定义的弹性固定端的意义并不相同。换言之，如果一根义的弹性固定端的意义并不相同。换言之，如果一根梁的固定端的转角与弯距不成正比，则梁的固定端的转角与弯距不成正比，则A 无意义，但无意义，但 存在。存在。刘敬喜，刘敬喜，2008 上一节应用弹性支座的概念可将某些
44、板架结构化为上一节应用弹性支座的概念可将某些板架结构化为具有弹性支座的连续梁。在船体结构计算中，还会遇到具有弹性支座的连续梁。在船体结构计算中，还会遇到弹性支座上连续梁的的计算问题。比如，船舶在建造过弹性支座上连续梁的的计算问题。比如，船舶在建造过程中，将船体搁置在船坞内的墩木上，图程中，将船体搁置在船坞内的墩木上，图3-11a所示，墩所示，墩木对船体的支持就相当于弹性支座。由于墩木的柔性系木对船体的支持就相当于弹性支座。由于墩木的柔性系数可能不相同，船体横截面的惯性距沿船长又是变化的，数可能不相同，船体横截面的惯性距沿船长又是变化的，因此船体搁置在墩木上就可近似地化为图因此船体搁置在墩木上就
45、可近似地化为图3-11b所示的弹所示的弹性支座上的连续梁。性支座上的连续梁。刘敬喜，刘敬喜，2008a1a2P1P2(a)刘敬喜，刘敬喜，2008M1=P1a1M2=P2a2I1A1I2A2I3A3I4A4I5A5I6A6I7A7I8A8I9A9(b)(图3-11)一般起见，我们讨论如图一般起见，我们讨论如图3-12a所示的弹性支座梁，它是所示的弹性支座梁，它是n次超静定结构。次超静定结构。A1I1A1i-1A2Ii-1Ai-1IiAii+1Ai+1In-1An-1InAnq1q1q1q1l112in-1nli-1liln-1An(图3-12a)刘敬喜，刘敬喜，2008 选取用力法计算的基本结
46、构如图选取用力法计算的基本结构如图3-12b3-12b所示，它所示，它与弹性支座上连续梁的基本结构不同之处在于各支座与弹性支座上连续梁的基本结构不同之处在于各支座处还存在挠度处还存在挠度v1、v2，vn。故在建立支座处转角连续。故在建立支座处转角连续方程时，应考虑因相邻支座处的挠度不同而引起的转方程时，应考虑因相邻支座处的挠度不同而引起的转角。角。1A1A1M1q1v1v2A22A33i-1Ai-1vi1qi-1viqii+1Ai+1Aiivi+1vn-1vnAn-1n-1InAn1AnAn(图3-12b)刘敬喜，刘敬喜，2008 由各支座处转角连续性，列力法方程：由各支座处转角连续性，列力法
47、方程：支座支座1 1(3-8)中间支座：中间支座：式中式中i=2,3,=2,3,n-1：支座支座n(3-8)(3-8)刘敬喜，刘敬喜，2008 式中在红框内的为挠度引起的转角项。其他各项式中在红框内的为挠度引起的转角项。其他各项与刚性支座上连续梁相同：与刚性支座上连续梁相同：由以上由以上n个方程并不能求解未知弯距个方程并不能求解未知弯距M1，M2,Mn，因为方程中各支座处挠度，因为方程中各支座处挠度v1、v2，vn也是也是未知的。但是我们可以通过支座的柔性系数和支反力未知的。但是我们可以通过支座的柔性系数和支反力来求解。支座反力与支座处梁的剪力有关，而剪力又来求解。支座反力与支座处梁的剪力有关
48、，而剪力又与梁上的载荷和未知弯距有关。下面就来寻求这些关与梁上的载荷和未知弯距有关。下面就来寻求这些关系。系。刘敬喜，刘敬喜，2008 将单跨梁取出，去掉支座以截面处剪力代之如图将单跨梁取出，去掉支座以截面处剪力代之如图3-133-13所示，所示，根据静力平衡条件，列静力平衡方程。根据静力平衡条件，列静力平衡方程。M1M2q1N1,1N2,1l1Mi-1Miqi-1Ni-1,i-1Ni,i-1l-1qi+1MiMi+1Ni,iNi1,iliMn-1Mnqn-1Nn-1,n-1Nn-1,nln-1(图3-13)左端面上剪力左端面上剪力 右端面上剪力右端面上剪力 (3-9)刘敬喜，刘敬喜，2008
49、 Ni(qi)表示第表示第i跨梁上所有外载荷引起的梁左端截面上的剪跨梁上所有外载荷引起的梁左端截面上的剪力力(向下为正向下为正)；Ni(qi-1)表示第表示第i-1跨梁上所有外载荷引起的梁跨梁上所有外载荷引起的梁右端截面上的剪力右端截面上的剪力(向上为正向上为正)；弹性支座上连续梁的支反力（向上为正）与该支座处梁截弹性支座上连续梁的支反力（向上为正）与该支座处梁截面上剪力的关系为：面上剪力的关系为：(3-10)根据弹性支座的定义可知：根据弹性支座的定义可知：(3-11)刘敬喜，刘敬喜，2008 将式将式(3-9)(3-9)代入到式代入到式(3-10),(3-10),在代入到在代入到(3-11)
50、(3-11)，得：，得：(3-12)式式(3-8)(3-8)和和(3-12)(3-12)共有共有2n2n个方程，可解出个方程，可解出2n2n个未知量个未知量M1M1，M2M2，,M3,M3。和。和v1,v2,vn 利用式利用式(3-12)(3-12)消去式消去式(3-8)(3-8)中所有的挠度，便可得到用矩中所有的挠度，便可得到用矩阵表示的方程：阵表示的方程：刘敬喜，刘敬喜，2008(3-13)式中系数矩阵是对称矩阵，式中系数矩阵是对称矩阵，ij=ji,每个每个 ji和和 ip（j,i=1,2,.,n）的具体表达式见课本的具体表达式见课本P47和和P47页。页。刘敬喜，刘敬喜，2008式（式（