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1、一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义四、导数的几何意义四、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系第一节第一节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 导数的概念导数的概念 第二章第二章 三、求导数举例三、求导数举例一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为则则 到到 的平均速度为的平均速度为而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为自由落体运动自由落体运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线曲线在在 M 点处
2、的切线点处的切线割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T(当当 时时)割线割线 M N 的斜率的斜率切线切线 MT 的斜率的斜率机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 两个问题的两个问题的共性共性:瞬时速度瞬时速度切线斜率切线斜率所求量为所求量为函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限.类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是是速度增量速度增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是转角增量转角增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是质量增量质量增量与与长度增量长度增量之比的极限之比的极限是是电量
3、增量电量增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限变变化化率率问问题题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数设函数在点在点存在存在,并称此极限为并称此极限为记作记作:则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义,在点在点处处可导可导,在点在点的的导数导数.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若上述极限不存在若上述极限不存在,在点在点 不可导不可导.若若也称也称在在若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数
4、值构成的新函数称为此时导数值构成的新函数称为导函数导函数.记作记作:注意注意:就说函数就说函数就称函数就称函数在在 I 内可导内可导.的导数为的导数为无穷大无穷大.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 导数反映导数反映y随随x变换而变化的快慢程度，称为函数的变化率变换而变化的快慢程度，称为函数的变化率运动质点的位置函数运动质点的位置函数在在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度曲线曲线在在 M 点处的切线斜率点处的切线斜率机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点的某个的某个右右 邻域内邻域内有些情况下只能考虑有些情况下只能考虑“增量比增量比”的的单侧单
5、侧极限，即单侧导极限，即单侧导数数若极限若极限则称此极限值为则称此极限值为在在 处的处的右右 导数导数,记作记作即即(左左)(左左)设函数设函数有定义有定义,存在存在,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理.函数函数在点在点且且存在存在简写为简写为若函数若函数与与都存在都存在,则称则称在开区间在开区间 内可导内可导,在闭区间在闭区间 上可导上可导.可导的可导的充分必要条件是充分必要条件是且且机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由极限和单侧极限的关系马上可以得到：由极限和单侧极限的关系马上可以得到：例例1.讨论函数讨论函数在在 x=0 的导数
6、的导数.证证:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.求函数求函数(C 为常数为常数)的导数的导数.解解:即即例例3.求函数求函数解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、求导数举例三、求导数举例说明：说明：对一般幂函数对一般幂函数(为常数为常数)例如，例如，（以后将证明）（以后将证明）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4.求函数求函数的导数的导数.解解:则则即即类似可证得类似可证得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5.求函数求函数的导数的导数.解解:即即机动机动 目录目录 上页
7、上页 下页下页 返回返回 结束结束 特别地：特别地：的导数的导数.解解:即即或或机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 类似可得类似可得：例例6.求函数求函数例例7.设设求求解解:利用导数定义利用导数定义.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 原式原式是否可按下述方法作是否可按下述方法作:例例8.设设存在存在,求极限求极限解解:原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例9.设设,问问 a 取何值时取何值时,在在都都存在存在,并求出并求出解解:当当x 0时，时，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当
8、x 0时，时，故故时时此时此时在在都都存在存在,四、四、导数的几何意义导数的几何意义曲线曲线在点在点的切线斜率为的切线斜率为若若曲线过曲线过上升上升;若若曲线过曲线过下降下降;若若切线与切线与 x 轴平行轴平行,称为称为驻点驻点;若若切线与切线与 x 轴垂直轴垂直.曲线在点曲线在点处的处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例10.问曲线问曲线哪一点有垂直切线哪一点有垂直切线?哪一点处哪一点处的切线与直线的切线与直线平行平行?写出其切线方程写出其切线方程.解解:令令得得对应对应则在点则在点(1,1),(1,1)处与直线处与直线平行的
9、切线方程分别为平行的切线方程分别为即即故在原点故在原点(0,0)有垂直切线有垂直切线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 五、五、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设设在点在点 x 处可导处可导,存在存在,因此必有因此必有其中其中故故所以函数所以函数在点在点 x 连续连续.注意注意:函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在在 x=0 处连续处连续,但不可导但不可导.即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点处处右右 导数存在导数存在 函数函数在点在点必必 右右 连续连续.(左左)(左左)
10、在闭区间在闭区间 a,b 上可导上可导显然显然:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例11.设设,问问 a,b取何值取何值时时,在在可导。可导。解解:要使函数在要使函数在 x=0可导，必使函数可导，必使函数在在x=0连续连续,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故故即即而而例例11.设设,问问 a,b取何值取何值时时,在在可导。可导。要使函数在要使函数在x=0可导，必有可导，必有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故故而而综上可知，当综上可知，当a=b=1时，函数在时，函数在x=0处可导处可导.内容小结内容小结1.导数的
11、实质导数的实质:3.导数的几何意义导数的几何意义:4.可导必连续可导必连续,但连续不一定可导但连续不一定可导;5.已学求导公式已学求导公式:6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限增量比的极限;切线的斜率切线的斜率;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习1.函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数区别区别:是是函数函数,是是数值数值;联系联系:注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系?？与导函数与导函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.设设存在存在,则则3.已知已知则则4.若若时时,恒有恒有问问是否在是否在可导可导?解解:由题设由题设由由夹逼准则夹逼准则故故在在可导可导,且且机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业 P82 1（1，3）,2，4，6（2），8，9 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 解解:因为1.设存在,且求所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 处连续,且存在，证明:在处可导.证证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设故机动 目录 上页 下页 返回 结束