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1、第二章第二章第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分什么是导数、微分？什么是导数、微分？如何计算导数、微分？如何计算导数、微分？第二章第二章第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分第一节第一节第一节第一节 导数的概念导数的概念导数的概念导数的概念主要内容：导数的定义主要内容：导数的定义 导数的几何意义导数的几何意义 可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系问题的提出问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题如图如图,取极限得取极限得2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置
2、切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT
3、,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即如图如图,导导数数的的定定义义关于导数的说明：关于导数的说明：关于导数的说明：关于导数的说明：导导数数的的定定义义关于导数的说明：关于导数的说明：关于导数的说明：关于导数的说明：导导数数的的定定义义关于导数的说明：关于导数的说明：关于导数的说明：关于导数的说明：左导数左导数:右导数右导数:判定：分段判定：分段函数在分段函数在分段点处是否可点处是否可导导例例解解导导数数的的定定义义关于导数的说明：关于导数的说明：关于导数的说明：关于导数的说明：左导数左导数:右导数右导数:判定：分段判定：分段函数在分段函数在分段点
4、处是否可点处是否可导导导导数数的的定定义义注意注意注意注意:导数与导函数的关系导数与导函数的关系由定义求导数由定义求导数步骤步骤:例例基本初等函数或常数基本初等函数或常数的导数的导数导导数数的的定定义义导数的几导数的几导数的几导数的几何意义与何意义与何意义与何意义与物理意义物理意义物理意义物理意义导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为法线方程为法线方程为导导数数的的定定义义导数的几导数的几导数的几导数的几何意义与何意义与何意义与何意义与物理意义物理意义物理意义物理意义切线的斜率切线的斜率例例7 7解解由导
5、数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.导导数数的的定定义义导数的几
6、导数的几导数的几导数的几何意义与何意义与何意义与何意义与物理意义物理意义物理意义物理意义可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系函数可导一定连函数可导一定连函数可导一定连函数可导一定连续，但连续不一续，但连续不一续，但连续不一续，但连续不一定可导定可导定可导定可导0切线的斜率切线的斜率可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.0例如例如,注意注意注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.01例如例如,例例解解导导数数的的定定
7、义义导数的几导数的几导数的几导数的几何意义与何意义与何意义与何意义与物理意义物理意义物理意义物理意义可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系函数可导一定连函数可导一定连函数可导一定连函数可导一定连续，但连续不一续，但连续不一续，但连续不一续，但连续不一定可导定可导定可导定可导0切线的斜率切线的斜率小结小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可
8、导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.求导数求导数?练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(0 xf；2 2、)(0 xf-；3 3、6533161,2,32-xxx；3 3、24x,22x；5 5、01=+-yx.二、二、1 1、)(0 xf；2 2、)0(f；3 3、)(20 xf.四、四、(1)(1)当当0 k时时,)(xf在在0=x处连续；处连续；(2)(2)当当1 k时时,)(xf在在0=x处可导处可导,且且0)0(=f；(3)(3)当当2 k及及0 x时时,)(xf 在在0=x处连续处连续.五、五、1,2-=ba.六、六、=0,10,cos)(xxxxf.