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1、11.按 叫数列，数列中的 都叫 做个数的项；在函数意义下,数列是 .,f(n)是当自变量n从1开始依次取自然 数时所对应的 f(1)，f(2)，f(n).通常用 an代替f(n)，故数列的一般形式为:,简记为an,其中an是数列的第 项.3.1 3.1 数列的概念及简单表示法数列的概念及简单表示法要点梳理要点梳理每一个数定义域为N*（或它的有限子集）的函数一列函数值a1,a2,a3,ann第三章 数 列一定次序排成的一列数22.如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式 an=f(n)来表示，那么an=f(n)叫做数列的 .但并非 每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的.3.如已知
2、数列an的第 项(或 )，且 与它 的 (或 )间的关系可以用一个公式表示，此公式叫数列的递推公式.数列常用表示法有:.、.4.数列按项数来分,分为 、；按项的增减 规律分为 、和 .通项公式1前几项任一项an前一项an-1前几项解析法通项公式或递推公式)列表法图象法有穷数列无穷数列递增数列递减数列摆动数列常数列3 递增数列an+1 an；递减数列an+1 an；常数列an+1 an.递增数列与递减数列通称为 .按任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分,可分为 .和 .5.已知Sn则 .数列an中，若an最大，则 若an最小，则 =单调数列有界数列无界数列 ，n=1n2 .,.an-1an+1
3、an-1an+1S1Sn-Sn-141.下列对数列的理解有四种：数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集1，2，3，n）上的 函数；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的序号是 （）A.B.C.D.解析解析 由数列与函数的关系知对，对，由数列的分类 知不对，数列的通项公式不是惟一的，不对.基础自测基础自测C52.设an=-n2+10n+11，则数列an从首项到第几项的和 最大（）A.10B.11 C.10或11 D.12解析解析 an=-n2+10n+11是关于n的二次函数，它是抛物线 f(x)=-x2+10 x+11上的一些
4、离散的点，从图象可看出前10项 都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大.C63.已知数列an的通项公式是 那么这个数列是 （）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列 D.常数列 解析解析 an+1an,数列an为递增数列.A74.已知数列an的通项公式是 则 a2a3等于 （）A.70 B.28 C.20 D.8 解析解析 易知a2=2,a3=10.5.(2008北京理北京理，6）已知数列an对任意的p,qN*满足 ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10等于 （）A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 解析解析 由ap+q=ap+aq,a2=-6,得a4=a2+a
5、2=-12,同理a8=a4+a4=-24,所以a10=a8+a2=-24-6=-30.n为奇数，n为偶数，CC8 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9；（2）（3）（4）（5）3，33，333，3 333，；【思维启迪思维启迪】先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数的关系及项与前后项的关系.题型一题型一 由数列前几项求数列的通项公式由数列前几项求数列的通项公式9（2）每一项的分子比分母少不1,而分母组成数列21，22，23，24，；所以(3)奇数项为负,偶数项为正，故通项公式中含因子（-1)n；各项绝对值的的分母组成数列1，2，3，4，;而各项绝对值的分子组成的数
6、列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，所以也可以为 .（n为正奇数）（n为正偶数）10(4)偶数项为负,奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1,观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律第1,2两项可改写为 所以（5）将数列各项改写为 分母都是3，分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,所以11探究拓展探究拓展 （1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化成一些常见数列的通项公式来求。
7、（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（-1）n或（-1）n+1来调整.（3）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目有，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）建立合理的联想转换而使问题得到解决。12 已知数列的通项公式为（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.【思维启迪思维启迪】（1）令an=0.98,看能否求出正整数n;(2)判断an+1-an的正负.解解（1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足 n
8、2=0.98n2+0.98.n=7时成立，0.98是它的项.题型二题型二 已知通项公式，判断数列性质已知通项公式，判断数列性质13（2）此数列为递增数列.探究拓展探究拓展 （1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程an=k是否有正整数解.（2）判断数列的单调性就是比较an与an+1的大小.14 （12分）已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1 =0(n2),求an.【思维启迪思维启迪】由已知条件可将an=Sn-Sn-1（n2)代入等 式，得关于Sn与Sn-1的一个等式，经变形推得数列 具有等差数列的特征，进而求得Sn，再得an.解解 当n2时，an=Sn-Sn-1,Sn-S
9、n-1+2SnSn-1=0，即题型三题型三 由由a an n与与S Sn n的关系求的关系求a an n或或S Sn n15数列 是公差为2的等差数列.6分又当n2时，12分n=1n2.16探究拓展探究拓展 数列的通项an与前n项和Sn的关系是 ，此公式经常使用，应引起足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却是高度统一，当n2时求出an也适合n=1时的情形，可直接写成an=Sn=Sn-1,否则分段表示.n=1n217方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法（对于交错数列一般用 （-1）n来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求
10、通项可用归纳、猜想 和转化的方法.2.3.已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度 较难把握.一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；（n=1）（n2）18(2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+=p(an+)由 待定系数法求出，再化为等比数列；（3）逐差累加或累乘法.4.创新内容：体现新情境，体现与其它知识的交汇.失误与防范1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数 集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对 应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要 注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.2.根据所给数列的前几
11、项求其通项时，需仔细观察分析，抓 住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻 项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进 行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.191.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）（2）（3）5，55，555，5 555，55 555，（4）5，0，-5，0。5，0，-5，0，（5）1，3，7，15，31，解析解析（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分 母可分角成13,35,57,79,911，每一项都是 两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式20（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项
12、 都统一成分数再观察：可得通项公式（3）联想则21即(4)数列的各项都具有周期性,联想其本教列1,0,-1,0，则（5）1=2-1，3=22-1，7=23-1，an=2n-1故所求数列的通项公式为an=2n-1.222.已知函数f（x）=2x-2-x，数列an满足f（log2an）=-2n（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列an是递减数列.（1）解解 f（x）=2x-2-x，f（log2an）=2log2an-2-log2an=-2 即 23（2）证明 an0，an+10，an-an-1=2，当n=1时，a1=1,an是以1为首项，2为公差的等差数列.an=2n-1(nN*).251.
13、A 2.A3.数列 的一个通项公式an是 ()A.B.C.D.解析解析将数列中的各项变为 故其通项D264.D 5.B6.若数列an的通项公式 记f（n）=2(1-a1)(1-a2)(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)为 （）A.B.C.D.解析解析 可猜测C277.8.（2009武汉武昌区调研测试武汉武昌区调研测试）数列an中，a3=2,a7=1 数列 是等差数列，则a11 .9.已知数列an的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列 的通项公式.解解 Sn满足log2(1+Sn)=n+1,1+Sn=2n+1Sn=2n+1-1.a1=3,a
14、n=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n(n2),an的通项公式为n=1,n1,2810.已知数列an中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n2,3Sn-4,an,总成等差数列.（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通项公式an.解解 （1）当n2时，3Sn-4,an,成等差数列，an=3Sn-4（n2）.由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,29（2）当n2时，an=3Sn-4,3Sn=an+4,可得:3an+1=an+1-an,a2，a3，an成等比数列，(n=1),（n2）3011.（1）证明证明 an+3=an.(2)12.(1)f(x)=x2-4x+4.(2)(n=1)（n2）.返回