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1、有有 理理 数数一、基础知识精讲一、基础知识精讲1.有理数有理数 整整数数可可以以看看作作分分母母为为1的的分分数数正正整整数数、0、负负整整数数、正正分分数数、负负分分数数、都都可可以以写写成成分分数数的的形形成成，这这样样的的数数称称为为有有理理数数在在上上节节正正数数和和负负数数中中对有理数的概念做了详解对有理数的概念做了详解.注意：注意：有理数的两种分类及其在集合中的应用有理数的两种分类及其在集合中的应用受受小小学学阶阶段段的的影影响响，整整数数很很容容易易被被认认为为只只包包括括正正整整数和数和02.数轴数轴 规规定定了了原原点点、正正方方向向、单单位位长长度度的的直直线线叫叫数数轴
2、轴.利利用用数数轴轴可可直直观观地地理理解解相相反反数数、绝绝对对值值，以以及及有有理理数数的的加加法法则与乘法法则法法则与乘法法则.这是数学上常用的数形结合思想这是数学上常用的数形结合思想.注注意意：任任意意一一个个有有理理数数可可以以用用数数轴轴上上的的一一个个点点表表示示，但数轴上的点却未必都表示有理数但数轴上的点却未必都表示有理数.3.相反数相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数其本质只有符号不同的两个数叫做互为相反数其本质是是(1)两个数符号相反；两个数符号相反；(2)两个数的绝对值相等两个数的绝对值相等注注意意：0的的相相反反数数仍仍是是0在在任任意意一一个个数数前前面面添添上
3、上“”号，新的数就表示原数的相反数号，新的数就表示原数的相反数4.绝对值绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值做该数的绝对值.正数的绝对值是它本身，负数的绝正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，对值是它的相反数，0的绝对值是的绝对值是0.注注意意：绝绝对对值值的的几几何何意意义义上上面面已已提提到到代代数数意意义义是是正正数数的的绝绝对对值值是是它它本本身身，负负数数的的绝绝对对值值是是它它的的相反数，相反数，0的绝对值是的绝对值是0二、重难点解析二、重难点解析1重重点点是是有有理理数数的的分分类类及及其其在在相相关关数
4、数的的集集合合中中的的表表示示；数数轴轴的的“三三要要素素”及及作作用用；绝绝对对值值的的意意义义和和表表示示；相相反反数数的的概概念念和和应应用用难难点点是是相相反反数数的的概概念念和和绝对值的意义和应用绝对值的意义和应用2绝绝对对值值的的几几何何意意义义和和代代数数意意义义上上面面已已提提到到为为进一理解和应用可掌握以下几个结论：进一理解和应用可掌握以下几个结论：(1)绝绝对对值值大大的的数数不不一一定定大大两两个个负负数数相相比比较较，绝绝对值大的反而小对值大的反而小(2)绝绝对对值值相相等等的的两两个个数数相相等等或或互互为为相相反反数数即即若若|x|=|y|，则，则x=y或或x=y(
5、3)若若一一个个数数的的绝绝对对值值等等于于它它本本身身，则则这这个个数数必必为为非非负负数数即即若若|a|=a，a0;若若一一个个数数的的绝绝对对值值等等于于它它的的相相反反数数，则则这这个个数数必必是是非非正正数数即即若若|a|=a，则则a0;不不能能只只得得a0，而漏掉，而漏掉a=0，因为，因为0的相反数是的相反数是0(4)任何一个有理数的绝对值都是非负数，即任何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a|03掌掌握握有有理理数数中中比比较较两两数数大大小小的的基基本本方方法法(用用数数进进行比较和借用数轴比较行比较和借用数轴比较)4根根据据有有理理数数大大小小比比较较法法则则“正正数数都都大
6、大于于0；负负数数都都小小于于0；正正数数大大于于一一切切负负数数；两两个个负负数数，绝绝对对值值大大的的反反而而小小”来来进进行行比比较较，这这是是有有理理数数大大小小最最基基本本最常用的方法最常用的方法三、例题精选精析三、例题精选精析1概念不清概念不清例例 下列语句中正确的是下列语句中正确的是()带有负号的数是负数带有负号的数是负数互为相反数的两个数的和是互为相反数的两个数的和是0互为相反数的两个数的积是互为相反数的两个数的积是1一个数的绝对值一定大于一个数的绝对值一定大于0错解：选或或错解：选或或分分析析：带带有有负负号号的的数数不不一一定定是是负负数数，如如(3)=3，因因此此A是是错
7、错误误的的；3和和3互互为为相相反反数数，3(3)=9，因因此此C是是错错误误的的；0的的绝绝对对值值是是0，D也也是错误的是错误的正确：选正确：选B2未掌握有理数的分类未掌握有理数的分类例例2 下列说法正确的是下列说法正确的是()A所有的整数都是正数所有的整数都是正数B正正整整数数、负负整整数数统统称称整整数数C分数一定是有理数分数一定是有理数D有理数包括小数和整数有理数包括小数和整数错解：选错解：选A或或B或或D分分析析：选选A或或B或或D的的同同学学显显然然没没有有掌掌握握有有理理数数的的分分类类，主要表现在：主要表现在：(1)受受小小学学阶阶段段的的影影响响,认认为为整数即整数即0和正
8、整数和正整数;(2)认认为为既既然然整整数数和和分分数数统统称称有有理理数数,而而小小数数和和分分数数又又可可以以相相互互转转化化,所所以以整整数数和和小小数数统称有理数统称有理数.整整数数包包括括负负整整数数,故故A错错;0也也是是整整数数,故故B错错;无无限限不不循循环环小小数不能化成分数数不能化成分数,故故D错错.正解正解:选选C3.未掌握相反数的意义未掌握相反数的意义例例3 有下列说法有下列说法:(1)在数轴上在数轴上,表示表示a的相反数的点一定在原点的左侧的相反数的点一定在原点的左侧;(2)两两个个表示相反意义的数是相反数表示相反意义的数是相反数;(3)符号不同的两个数是相反数符号不
9、同的两个数是相反数;(4)任何一个数的相反数与这个数本身不相同任何一个数的相反数与这个数本身不相同.其中正确的说法有其中正确的说法有()A.3个个 B.2个个 C.1个个D.0个个错解错解:A或或B或或C正解正解:选选D.4.考虑不周考虑不周例例4 已知在数轴上表示数已知在数轴上表示数a的点到原点的距离为的点到原点的距离为3,求求a3的值的值.错解错解:由题意知由题意知a=3,所以所以a3=33=0.分分析析:到到原原点点的的距距离离为为3的的点点有有两两上上,这这两两个个点点分分别别在在原原点点的的两两侧侧,它它们们对对应应的的数数字字应应该该是是3,错错解解只只考考虑虑了了其其中中一种情况
10、一种情况,因此是错误的因此是错误的.正解正解:由题意由题意,得得a=3.当当a=3时时,a3=33=0;当当a=3时时,a3=33=6.1.一个数的绝对值等于本身一个数的绝对值等于本身,则这个数一定是正数则这个数一定是正数.2.一个数的绝对值等于它的相反数一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是负数这个数一定是负数.分分析析正正数数的的绝绝对对值值等等于于其其本本身身,但但0的的绝绝对对值值也也等等于于其其本身本身,所以所以,绝对值等于其本身的数可能是正数绝对值等于其本身的数可能是正数,也可能是也可能是0.正正确确的的说说法法是是:一一个个数数的的绝绝对对值值等等于于本本身身,这这个个数数是
11、是非非负负数数.分分析析正正确确的的回回答答是是:绝绝对对值值等等于于它它的的相相反反数数的的数数是是负负数或数或0(也就是非正数也就是非正数).3.如果两个数的绝对值相等如果两个数的绝对值相等,则这两个数一定相等则这两个数一定相等.4.如果两个数不相等如果两个数不相等,那么这两个数的绝对值一定不等那么这两个数的绝对值一定不等.分析错分析错.两个有理数的绝对值相等两个有理数的绝对值相等,这两个数不一定相等这两个数不一定相等,如如|3|=3,|-3|=3,即即3和和-3的绝对值相等的绝对值相等,但但3不等于不等于-3.分析错分析错.由由3知知,两个数不等两个数不等,它们的绝对值有可能相等它们的绝
12、对值有可能相等.5.有理数的绝对值一定是正数有理数的绝对值一定是正数.6.没有最小的有理数没有最小的有理数,也没有绝对值最小的有理数也没有绝对值最小的有理数.分析错分析错.因因为为0的的绝绝对对值值是是0,0既既不不是是正正数数也也不不是是负负数数,所所以以有有理理数的绝对值是非负数数的绝对值是非负数.分分析析没没有有最最小小的的有有理理数数.但但负负数数与与正正数数的的绝绝对对值值都都是是正正数数,而而0的的绝绝对对值值是是0.0小小于于一一切切正正数数,所所以以绝绝对对值值最最小小的数是的数是0.7.当当|a|=a时时,a 0;当当|a|=-a时时,则则a b,则则|a|b|.10.如果如
13、果|x|=-(-2),则则x=-2.分析错分析错.当当a0,b0时时,则则|a|b|;当当a0,b|b|,如如2-3,而而|2|-3|;当当a0,b b,则则|a|-7,而而|-4|-7|.分析错分析错.因为因为|x|=-(-2),则则|x|=2,由于由于|2|=2,|-2|=2,所以所以x=2或或-2.11.0是最小的整数是最小的整数12.正有理数和负有理数统称为有理数正有理数和负有理数统称为有理数13.没有最大的负整数没有最大的负整数14.a2一定是负数一定是负数分分析析：在在有有理理数数范范围围内内，整整数数包包括括正正整整数数、0、负负整整数数，所以所以0不是最小的整数，有理数中没有最
14、小的整数不是最小的整数，有理数中没有最小的整数 分析分析：有理数除正有理数、负有理数外还包括：有理数除正有理数、负有理数外还包括0分析分析：有最大的负整数，是：有最大的负整数，是1分析分析：不一定当：不一定当a=0时，时，a2=0.分分析：不一定，例如，析：不一定，例如，当当a=0时，；当当a=1时，由于，由于 ,故故 .15.a一定大于一定大于 16.在数轴上，表示在数轴上，表示a的相反数的点一定在原点左边的相反数的点一定在原点左边分析分析：不一定，因为：不一定，因为a的相反数是的相反数是a，当当a为为0或负数时，或负数时，a是是0或正数，或正数，数轴上表示数轴上表示a的点在原点或在原点的右边的点在原点或在原点的右边