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1、有有 理理 数数 加加 减减 法法一、基础知识精讲一、基础知识精讲(一一)有理数的两个运算法则解析有理数的两个运算法则解析有理数的加法法则有理数的加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)绝绝对对值值不不相相等等的的异异号号两两数数相相加加，取取绝绝对对值值较较大大的的加加数数符符号号，其其绝绝对对值值是是用用较较大大的的绝绝对对值值减减去去较较小小的的绝对值，互为相反数的两个数相加得绝对值，互为相反数的两个数相加得0；(3)一个数同一个数同0相加，仍得这个数相加，仍得这个数有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数有理数
2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数两两个个法法则则都都是是课课堂堂上上老老师师通通过过举举例例引引导导同同学学们们归归纳纳总总结结的，应该在理解的基础上进行记忆的，应该在理解的基础上进行记忆减减法法运运算算可可以以转转化化为为加加法法运运算算，而而在在有有理理数数的的加加、减减、乘乘除除、乘乘方方等等各各种种运运算算法法则则中中也也以以加加法法法法则则最最为为复复杂杂，所以对加法法则的准确理解是解决问题的前提所以对加法法则的准确理解是解决问题的前提(二二)灵活运用有理数的两个运算法则灵活运用有理数的两个运算法则做做有有理理数数加加法法的的题题目目时时，应应注注意意遵遵循循“一一定定、二
3、二求求”的的步步骤，骤，即即先先要要判判断断两两个个加加数数是是同同号号还还是是异异号号，是是否否有有一一个个加加数数为零；为零；再再根根据据两两个个加加数数符符号号的的具具体体情情况况，选选用用某某一一条条加加法法法法则则进进行行计计算算时时，通通常常应应该该先先确确定定“和和”的的符符号号，再再计计算算“和和”的绝对值的绝对值例如，计算下列各式：例如，计算下列各式：(1)(4)(5)；(2)(8)(3)运算过程如下：运算过程如下：(1)(4)(5)(两个加数同号，用加法法则的第两个加数同号，用加法法则的第1条计算条计算)=(45)(和取负号，把绝对值相加和取负号，把绝对值相加)(1)=9(
4、2)(8)(3)(两两个个加加数数异异号号，用用加加法法法法则则的的第第2条条计计算算)=(83)(和取负号，因为和取负号，因为8绝对值大，绝对值再相减绝对值大，绝对值再相减)=5 注注意意：在在第第2个个小小题题中中，不不能能只只顾顾计计算算83，而而丢丢掉掉“”号号，应应该该按按照照法法则则逐逐步步思思考考，先先确确定定符符号号再再计计算算绝绝对对值值有理数减法运算的一般步骤是：有理数减法运算的一般步骤是：把减号变为加号；把减号变为加号；将减数变为其相反数作为加数；将减数变为其相反数作为加数；运用有理数的加法法则求出结果运用有理数的加法法则求出结果.二、重难点解析二、重难点解析1有有理理数
5、数加加减减运运算算的的重重点点是是对对两两个个法法则则的的理理解解和和灵灵活运用，难点是加减混合运算的技巧解析活运用，难点是加减混合运算的技巧解析.2在在进进行行有有理理数数的的加加减减混混合合运运算算时时，先先把把减减法法统统一一成成加加法法，再再应应用用加加法法交交换换律律和和结结合合律律，采采用用不不同同的的技技巧巧处处理理，这这样样可可以以使使计计算算简简便便有有理理数数加加法法要要做做到到“四先四先”：(1)有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；(2)分母相同或易于通分的分数，可以先行相加；分母相同或易于通分的分数，可以先行相加；(3
6、)有相反数可以互相消去得有相反数可以互相消去得0时，可以先行相加；时，可以先行相加；(4)有有许许多多正正数数和和负负数数相相加加时时，可可以以把把符符号号相相同同的的数数先先相相加加，即即正正数数与与正正数数相相加加，负负数数与与负负数数相相加加，最最后再把一个正数与一个负数相加后再把一个正数与一个负数相加例如，计算：例如，计算：(6)(5)(9)(4)(9)；3除除以以上上运运算算技技巧巧外外，还还有有凑凑整整、拆拆分分相相加加等等方方法法，采取何种方法要视具体情况而定采取何种方法要视具体情况而定4进进行行有有理理数数的的加加减减混混合合运运算算，首首先先应应利利用用有有理理数数的的减减法
7、法法法则则把把减减法法转转换换成成加加法法，然然后后再再考考虑虑运运用用加加法法运运算算律律简简化化运运算算(注注意意，运运用用加加法法交交换换律律交交换换负负数数的的位置时，必须连同前面的负号一起进行交换位置时，必须连同前面的负号一起进行交换).具具体体计计算算时时，一一般般应应考考虑虑符符号号相相同同的的数数先先加加，互互为为相相反反数数的的数数先先加加，同同分分母母分分数数先先加加，和和为为整整数数的的几几个个数数先先加加.对对于于较较为为复复杂杂的的计计算算题题，先先观观察察分分析析各各数数间间的的联系，然后再选择合适的解题方法进行求解联系，然后再选择合适的解题方法进行求解.三、例题精
8、选精析三、例题精选精析有理数加减法运算技巧归类精析有理数加减法运算技巧归类精析1同号结合同号结合例例1 计算计算(4)8(5)7.解：原式解：原式=(87)(4)(5)=159=6评评析析：把把正正数数与与负负数数分分组组结结合合相相加加减减，可可例例计计算算简便，同时也可以避免符号处理过程中产生错误简便，同时也可以避免符号处理过程中产生错误.2凑凑0结合结合例例2 计算计算 解：原式解：原式=评评析析：把把互互为为相相反反数数的的两两个个数数相相加加或或把把相相等等的的两两个数相减，可以减小计算量，使计算简便个数相减，可以减小计算量，使计算简便.3凑整结合凑整结合例例3 计算计算解：原式解：
9、原式=86=2评评析析：分分数数(或或小小数数)相相加加减减，把把和和为为整整数数的的几几个个数数先先结结合合相相加加减减，可可以以避避免免复复杂杂的的通通分分操操作作，使使计计算简便算简便.4拆数变形拆数变形例例4 计算计算19199199919999.解：原式解：原式=(19199199919999)评评析析：根根据据算算式式特特点点，对对数数字字进进行行适适当当的的分分拆拆变变形形，然然后后再再运运用用律律进进行行计计算算，可可以以避避开开烦烦琐琐的的数数字运算，使计算简便字运算，使计算简便.=(201)(2001)(20001)(200001)=(222204)=222165分数和小数
10、统一形式分数和小数统一形式例例5 计算计算 解：原式解：原式=3.1252.252.751.875 =(3.1251.875)(2.252.75)=50.5=4.5评评析析：当当同同一一个个算算式式中中既既有有分分数数，又又有有小小数数时时，一一般般应应先先统统一一成成同同一一种种形形式式.至至于于统统一一成成分分数数还还是是小小数数，应应依依据哪一种形式计算更简便来确定据哪一种形式计算更简便来确定.6整数、分数、小数分组结合整数、分数、小数分组结合例例6 计算计算解：原式解：原式=评评析析：运运用用加加法法交交换换律律和和结结合合律律，将将整整数数、分分数数、小小数数分分组组结结合合相相加加
11、减减，可可以以减减小小不不必必要要的的数字转换，同样能使计算简便数字转换，同样能使计算简便.7带分数（或小数）分离整数带分数（或小数）分离整数例例7 计算计算解：原式解：原式=评析：带分数（或小数）相加减，先把整数部分和分数评析：带分数（或小数）相加减，先把整数部分和分数（小数）部分分离，然后再分组结合相加减，可以简化（小数）部分分离，然后再分组结合相加减，可以简化运算运算.不过，带分数（或小数）在分离时，一定要注意分不过，带分数（或小数）在分离时，一定要注意分离后的符号，如离后的符号，如 ，而不能写成，而不能写成 .8同分母（或便于通分的）分数结合同分母（或便于通分的）分数结合例例8 计算计
12、算 解：原式解：原式=评评析析：多多个个分分数数相相加加减减，如如果果整整体体通通分分，则则运运算算量量较较大大，如如果果将将同同分分母母或或便便于于通通分分的的分分数数分分组组结结合相加减，则可使问题简化，减少运算量合相加减，则可使问题简化，减少运算量.例例1：两两个个加加数数的的和和一一定定大大于于其其中中一一个个加加数数，这这种种说说法法正确吗？正确吗？有的同学可能会误答为有的同学可能会误答为“正确正确”由由于于引引入入了了负负数数，数数的的范范围围从从正正数数和和零零扩扩大大到到有有理理数数，当当两两个个加加数数都都是是负负数数，或或其其中中一一个个为为0时时，两两数数的的和和一一定定
13、不不大大于于某某一一个个加加数数，如如6+(-3)=3,(6)+(7)=13,(4.5)+0=4.5因因此此上上述述说说法法是是错错误误的的这这种种“举举反反例法例法”是说明错误的常用方法之一是说明错误的常用方法之一所所以以，要要注注意意克克服服在在小小学学学学习习中中形形成成的的某某种种思思维维定定势势，它会影响现在的学习它会影响现在的学习例例2：计算：计算:19.3+0.7;错解错解:19.3+0.7=20;分分析析:这这是是没没有有掌掌握握有有理理数数加加法法法法则则的的常常见见错错误误对对于于绝绝对对值值不不同同的的异异号号两两数数相相加加，如如何何定定符符号号和和取取和的绝对值，初学
14、时要特别小心和的绝对值，初学时要特别小心.正解正解:19.3十十0.7=18.6;例例3：计算：计算：错解错解:原式原式分分析析:绝绝对对值值符符号号有有括括号号的的功功能能，但但不不是是括括号号.绝绝对对值值符符号号的的展展开开必必须须按按绝绝对对值值意意义义进进行行;特特别别是是绝绝对对值值号号内内是是负负值值时时，展展开开后后应应取取它它的的相相反反数数.这这是是一一个个难难点点，应分外小心应分外小心.正解：正解：例例4:出出租租车车司司机机小小李李某某天天下下午午的的营营运运全全是是在在东东西西方方向向的的大大街街上上进进行行的的，如如果果规规定定向向东东为为正正，向向西西为为负负，他
15、他这这天天下下午午行行车车里里程程(单单位位:千千米米)如如下下：+15，2，+5，1，+10，3，2，+12，+4，5，+6.将将最最后后一一名名乘乘客客送送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远?错错 解解:|+15|+|-2|+|+5|+|-1|+|+10|+|-3|+|-2|+|+12|+|+4|+|-5|+|+6|=65.答：小李最后距离出发点答：小李最后距离出发点65千米千米.排排因因:错错解解的的原原因因是是不不理理解解有有理理数数加加法法的的意意义义，此此时时应应考虑出租车行进方向考虑出租车行进方向.正解正解:(+15)+(-2)+
16、(+5)+(-1)+(+10)+(-3)+(-2)+(+12)+(+4)+(-5)+(+6)=39.小李最后距离出发点小李最后距离出发点39千米千米.例例5:出出租租车车司司机机小小李李某某天天下下午午的的营营运运全全是是在在东东西西方方向向的的大大街街上上进进行行的的，如如果果规规定定向向东东为为正正，向向西西为为负负，他他这这天天下下午午行车里程行车里程(单位单位:千米千米)如下：如下：+15，2，+5，1，+10，3，2，+12，+4，5，+6.若若汽汽车车耗耗油油量量为为：m升升/千千米米，这这天天下下午午小小李李共共耗耗油油多多少少升升?错错解解:(+15)+(-2)+(+5)+(-
17、1)+(+10)+(-3)+(-2)+(+12)+(+4)+(-5)+(+6)=39.答：答：小李共耗油小李共耗油39m升升.排排因因:错错解解的的原原因因是是不不理理解解有有理理数数加加法法的的意意义义，此此时时不不应应考考虑虑出出租租车车行行进进方方向向.因因为为计计算算耗耗油油量量只只考考虑虑出出租租车车行行驶驶的路程的路程.不考虑行驶的方向不考虑行驶的方向.正正解解:|+15|+|-2|+|+5|+|-1|+|+10|+|-3|+|-2|+|+12|+|+4|+|-5|+|+6|=65.答：答：小李共耗油小李共耗油65m升升.小李行驶的路程小李行驶的路程65千米千米.例例5:出出租租车车司司机机小小李李某某天天下下午午的的营营运运全全是是在在东东西西方方向向的的大大街街上上进进行行的的，如如果果规规定定向向东东为为正正，向向西西为为负负，他他这这天天下下午午行车里程行车里程(单位单位:千米千米)如下：如下：+15，2，+5，1，+10，3，2，+12，+4，5，+6.若若汽汽车车耗耗油油量量为为：m升升/千千米米，这这天天下下午午小小李李共共耗耗油油多多少少升升?例例6：计算：计算：错解：错解：分分析析：错错解解的的原原因因是是对对带带分分数数的的意意义义不不清清楚楚，有有两两个个错误：错误：正解：正解：