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1、要点梳理要点梳理1.1.等比数列的定义等比数列的定义 如果一个数列如果一个数列 ，那那么么这这个个数数列列叫叫做做等等比比数数列列，这这个个常常数数叫叫做做等等比比数数列列的的 ，通常用字母，通常用字母 表示表示.2.2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式 设设等等比比数数列列 a an n 的的首首项项为为a a1 1，公公比比为为q q，则则它它的的通通项项a an n=.6.3 6.3 等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和从第二项起，后项与相邻前项的比是从第二项起，后项与相邻前项的比是一个确定的常数（不为零）一个确定的常数（不为零）公比公比q qa a1 1q qn n-1-1基
2、础知识基础知识 自主学习自主学习3.3.等比中项等比中项 若若 ，那么，那么G G叫做叫做a a与与b b的等比中项的等比中项.4.4.等比数列的常用性质等比数列的常用性质（1 1）通项公式的推广：）通项公式的推广：a an n=a am m ,(,(n n，m mN N*).).（2 2）若若 a an n 为为等等比比数数列列，且且k k+l l=m m+n n，（k k，l l，m m，n nN N*），则），则 .（3 3）若若 a an n，b bn n（项项数数相相同同）是是等等比比数数列列，则则 a an n（0 0），），a an nb bn n，仍是等比数列仍是等比数列.G
3、G2 2=a ab bq qn n-m ma ak ka al l=a am ma an n5.5.等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 等等比比数数列列 a an n 的的公公比比为为q q（q q00），其其前前n n项项和和为为S Sn n，当，当q q=1=1时，时，S Sn n=nana1 1；当；当q q11时，时，S Sn n=6.6.等比数列前等比数列前n n项和的性质项和的性质 公公比比不不为为-1-1的的等等比比数数列列 a an n 的的前前n n项项和和为为S Sn n，则则S Sn n，S S2 2n n-S Sn n，S S3 3n n-S S2 2n n
4、仍成等比数列，其公比为仍成等比数列，其公比为 .q qn n基础自测基础自测1.1.设设a a1 1=2,=2,数数列列 a an n+1+1是是以以3 3为为公公比比的的等等比比数数列列，则则a a4 4的值为的值为（）A.80A.80B.81B.81C.54C.54D.53D.53 解析解析 由已知得由已知得a an n+1=(+1=(a a1 1+1)+1)q qn n-1-1,即即a an n+1=3+1=33 3n n-1-1=3=3n n,a an n=3=3n n-1-1，a a4 4=3=34 4-1=80.-1=80.A2.2.等比数列等比数列 a an n 中，中，a a4
5、 4=4,=4,则则a a2 2a a4 4a a6 6等于（等于（）A.4 B.8 C.32 D.64A.4 B.8 C.32 D.64 解析解析 a a4 4是是a a2 2与与a a6 6的等比中项，的等比中项，a a2 2a a6 6=16.=16.a a2 2a a4 4a a6 6=64.=64.D3.3.（20092009广东）广东）已知等比数列已知等比数列 a an n 的公比为正数，的公比为正数，且且a a3 3a a9 9=2 ,=2 ,a a2 2=1,=1,则则a a1 1=（）A.2 B.C.D.A.2 B.C.D.解解析析 设设公公比比为为q q,由由已已知知得得a
6、 a1 1q q2 2a a1 1q q8 8=2(=2(a a1 1q q4 4)2 2,即即q q2 2=2.=2.因因为为等等比比数数列列 a an n 的的公公比比为为正正数数,所所以以q q=,故故a a1 1=C4.4.在在等等比比数数列列 a an n 中中，前前n n项项和和为为S Sn n，若若S S3 3=7=7，S S6 6=63=63，则公比，则公比q q的值是的值是（）A.2A.2B.-2B.-2C.3C.3D.-3D.-3 解析解析 方法一方法一 依题意，依题意，q q1,1,=7 =7，=63.=63.得得1+1+q q3 3=9,=9,q q3 3=8,=8,q
7、 q=2.=2.方法二方法二 (a a1 1+a a2 2+a a3 3)q q3 3=a a4 4+a a5 5+a a6 6,而而a a4 4+a a5 5+a a6 6=S S6 6-S S3 3=56,=56,7 7q q3 3=56,=56,q q3 3=8,=8,q q=2.=2.A5.5.已知已知 a an n 是等比数列是等比数列,a a2 2=2,=2,a a5 5=,则则a a1 1a a2 2+a a2 2a a3 3+a an na an n+1+1等于等于 （）A.16(1-4A.16(1-4-n n)B.16(1-2B.16(1-2-n n)C.(1-4 C.(1-
8、4-n n)D.(1-2D.(1-2-n n)解析解析 a an na an n+1+1=4=4（）n n-1-14 4（）n n=2=25-25-2n n,故故a a1 1a a2 2+a a2 2a a3 3+a a3 3a a4 4+a an na an n+1+1 =2 =23 3+2+21 1+2+2-1-1+2+2-3-3+2+25-25-2n nC题型一题型一 等比数列的基本运算等比数列的基本运算【例例1 1】已知已知 a an n 为等比数列，为等比数列，a a3 3=2=2，a a2 2+a a4 4=，求求 a an n 的通项公式的通项公式.解解 方法一方法一 设等比数列
9、设等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，则，则 q q00，a a2 2=a a4 4=a a3 3q q=2=2q q，+2+2q q=解得解得q q1 1=，q q2 2=3.=3.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析当当q q=时，时，a a1 1=18=18，a an n=18=18（）n n-1-1=2=23 33-3-n n.当当q q=3=3时，时，a a1 1=，a an n=3 3n n-1-1=2=23 3n n-3-3.综上所述，综上所述，a an n=2=23 33-3-n n或或a an n=2=23 3n n-3-3.方法二方法二 由由a a3 3=2,=2
10、,得得a a2 2a a4 4=4=4，又，又a a2 2+a a4 4=，则则a a2 2，a a4 4为方程为方程x x2 2-x x+4=0+4=0的两根，的两根，a a2 2=a a2 2=6=6a a4 4=6 =6 a a4 4=解得解得或或.当当a a2 2=时时,q q=3,=3,a an n=a a3 3q qn n-3-3=2=23 3n n-3-3.当当a a2 2=6=6时，时，q q=,=,a an n=2=23 33-3-n na an n=2=23 3n n-3-3或或a an n=2=23 33-3-n n.（1 1）等比数列）等比数列 a an n 中中，a
11、an n=a a1 1q qn n-1-1,S Sn n=中有五个量，可以知三求二；（中有五个量，可以知三求二；（2 2）注意分）注意分类讨论的应用类讨论的应用.探究提高探究提高知知能能迁迁移移1 1 已已知知等等比比数数列列 a an n 中中，a a1 1=2,=2,a a3 3+2+2是是a a2 2和和a a4 4的等差中项的等差中项.（1 1）求数列）求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；（2 2）记）记b bn n=a an nloglog2 2a an n,求数列求数列 b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n.解解 （1 1）设数列）设数列 a an n 的公比
12、为的公比为q q,由题意知：由题意知：2(2(a a3 3+2)=+2)=a a2 2+a a4 4,q q3 3-2-2q q2 2+q q-2=0-2=0，即，即(q q-2)(-2)(q q2 2+1)=0.+1)=0.q q=2=2，即，即a an n=2=22 2n n-1-1=2=2n n.（2 2）b bn n=a an nloglog2 2a an n=n n2 2n n,S Sn n=1=12+22+22 22 2+3+32 23 3+n n2 2n n.2 2S Sn n=1=12 22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+（n n-1-1）2 2n n+n n2
13、2n n+1+1.-得得-S Sn n=2=21 1+2+22 2+2+23 3+2+24 4+2+2n n-n n2 2n n+1+1=-2-(=-2-(n n-1)-1)2 2n n+1+1.S Sn n=2+=2+（n n-1-1）2 2n n+1+1.题型二题型二 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明【例例2 2】已知数列已知数列 a an n 和和 b bn n 满足：满足：a a1 1=,=,a an n+1+1=a an n+n n-4,-4,b bn n=(-1)=(-1)n n(a an n-3-3n n+21),+21),其中其中 为为 实数，实数，n n为正整数为正整
14、数.（1 1）证明：对任意实数）证明：对任意实数 ,数列数列 a an n 不是等比数列不是等比数列;（2 2）证明：当）证明：当 -18-18时，数列时，数列 b bn n 是等比数列是等比数列.证明证明 （1 1）假设存在一个实数）假设存在一个实数 ,使使 a an n 是等比数列是等比数列,则有则有 =a a1 1a a3 3,即即 9=0,9=0,矛盾矛盾.所以所以 a an n 不是等比数列不是等比数列.（2 2）b bn n+1+1=(-1)=(-1)n n+1+1a an n+1+1-3(-3(n n+1)+21+1)+21=(-1)=(-1)n n+1+1(a an n-2-2
15、n n+14)+14)=-(-1)=-(-1)n n(a an n-3-3n n+21)=-+21)=-b bn n.又又 -18-18，所以，所以b b1 1=-(+18)0.=-(+18)0.由上式知由上式知b bn n0,0,所以所以 (n nN N*).).故当故当 -18-18时，数列时，数列 b bn n 是以是以-(+18)-(+18)为首项，为首项，为公比的等比数列为公比的等比数列.证明一个数列是等比数列的主要方法有证明一个数列是等比数列的主要方法有 两种：一是利用等比数列的定义，即证明两种：一是利用等比数列的定义，即证明 (q q0,0,n nN N*)，二是利用等比中项法，
16、即证明，二是利用等比中项法，即证明 =a an na an n+2+20(0(n nN N*).).在解题中，要注意根据欲证明在解题中，要注意根据欲证明 的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构 造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论.探探究究提提高高知能迁移知能迁移2 2 （20092009全国全国)设数列设数列 a an n 的前的前n n项和项和 为为S Sn n,已知已知a a1 1=1=1，S Sn n+1+1=4=4a an n+2.+2.（1 1）设）设b bn n=a an n+1+1
17、-2-2a an n，证明数列，证明数列 b bn n 是等比数列；是等比数列；（2 2）求数列）求数列 a an n 的通项公式的通项公式.（1 1）证证明明 由由已已知知有有a a1 1+a a2 2=4=4a a1 1+2,+2,解解得得a a2 2=3=3a a1 1+2=5,+2=5,故故b b1 1=a a2 2-2-2a a1 1=3.=3.又又a an n+2+2=S Sn n+2+2-S-Sn n+1+1 =4 =4a an n+1+1+2-(4+2-(4a an n+2)=4+2)=4a an n+1+1-4-4a an n,于是于是a an n+2+2-2-2a an n
18、+1+1=2(=2(a an n+1+1-2-2a an n)，即，即b bn n+1+1=2=2b bn n.因此数列因此数列 b bn n 是首项为是首项为3,3,公比为公比为2 2的等比数列的等比数列.(2)(2)解解 由（由（1 1）知等比数列）知等比数列 b bn n 中中b b1 1=3,=3,公比公比q q=2,=2,所以所以a an n+1+1-2-2a an n=3=32 2n n-1-1,于是于是因此数列因此数列 是首项为是首项为 ,公差为公差为 的等差数列的等差数列,所以所以a an n=(3=(3n n-1)-1)2 2n n-2-2.题型三题型三 等比数列的性质及应用
19、等比数列的性质及应用【例例3 3】在等比数列在等比数列 a an n 中，中，a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4+a a5 5=8=8且且 =2,=2,求求a a3 3.解解知能迁移知能迁移3 3 (1)(1)已知等比数列已知等比数列 a an n 中中,有有a a3 3a a1111=4=4a a7 7，数列数列 b bn n 是等差数列，且是等差数列，且b b7 7=a a7 7,求求b b5 5+b b9 9的值的值;(2)(2)在等比数列在等比数列 a an n 中，若中，若a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4=1,=1,a a1313a a1414a
20、a1515a a1616=8,8,求求a a4141a a4242a a4343a a4444.解解 （1 1）a a3 3a a1111=4=4a a7 7，a a7 700，a a7 7=4=4，b b7 7=4=4，b bn n 为等差数列，为等差数列，b b5 5+b b9 9=2=2b b7 7=8.=8.(2)(2)方法一方法一 a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4=a a1 1a a1 1qaqa1 1q q2 2a a1 1q q3 3=q q6 6=1.=1.a a1313a a1414a a1515a a1616=a a1 1q q1212a a1 1q q13
21、13a a1 1q q1414a a1 1q q1515=q q5454=8.=8.：=q q4848=8=8q q1616=2=2，又又a a4141a a4242a a4343a a4444=a a1 1q q4040a a1 1q q4141a a1 1q q4242a a1 1q q4343=q q166166=q q6 6q q160160=(=(q q6 6)(q q1616)1010=1=12 21010=1 024.=1 024.方法二方法二 由性质可知，依次由性质可知，依次4 4项的积为等比数列，项的积为等比数列，设公比为设公比为p p，设，设T T1 1=a a1 1a a
22、2 2a a3 3a a4 4=1=1，T T4 4=a a1313a a1414a a1515a a1616=8=8，T T4 4=T T1 1p p3 3=1=1p p3 3=8=8，p p=2.=2.T T1111=a a4141a a4242a a4343a a4444=T T1 1p p1010=2=21010=1 024.=1 024.题型四题型四 等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用【例例4 4】（1212分分）已已知知等等差差数数列列 a an n 的的首首项项a a1 1=1,=1,公公差差d d0 0，且且第第2 2项项、第第5 5项项、第第1414项项分分别别
23、是是等等比比数数列列 b bn n 的第的第2 2项、第项、第3 3项、第项、第4 4项项.（1 1）求数列）求数列 a an n 与与 b bn n 的通项公式；的通项公式；（2 2）设设数数列列 c cn n 对对n nN N*均均有有 =a an n+1+1成成立，求立，求c c1 1+c c2 2+c c3 3+c c2 0102 010.（1 1）可可用用基基本本量量法法求求解解；（2 2）作作差差a an n+1+1-a an n=思维启迪思维启迪解解 （1 1）由已知有）由已知有a a2 2=1+=1+d d,a a5 5=1+4=1+4d d,a a1414=1+13=1+13
24、d d,（1+41+4d d）2 2=(1+=(1+d d)(1+13)(1+13d d).).解得解得d d=2(=2(d d0).20).2分分a an n=1+(=1+(n n-1)-1)2=22=2n n-1.3-1.3分分又又b b2 2=a a2 2=3,=3,b b3 3=a a5 5=9,=9,数列数列 b bn n 的公比为的公比为3,3,b bn n=3=33 3n n-2-2=3=3n n-1-1.5.5分分（2 2）由）由 得得当当n n22时时,两式相减得两式相减得:n n22时时,=,=a an n+1+1-a an n=2.8=2.8分分c cn n=2=2b b
25、n n=2=23 3n n-1-1(n n2).2).又当又当n n=1=1时，时，=a a2 2,c c1 1=3.=3.3 3(n n=1)=1)2 23 3n n-1-1(n n2).2).10 10分分c c1 1+c c2 2+c c3 3+c c2 0102 010=3+=3+(-3+3=3+=3+(-3+32 0102 010)=3)=32 0102 010.12.12分分 在解决等差、等比数列的综合题时，重在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前通项公式及前n n项和公式项和公式.
26、本题第（本题第（1 1）问就是用基本量）问就是用基本量公差、公比求解；第（公差、公比求解；第（2 2）问在作差）问在作差a an n+1+1-a an n时要注意时要注意n n2.2.探究提高探究提高c cn n=知能迁移知能迁移4 4 已知数列已知数列 a an n 中，中，a a1 1=1,=1,a a2 2=2,=2,且且a an n+1+1=(1+=(1+q q)a an n-qaqan n-1-1(n n2,2,q q0).0).（1 1）设）设b bn n=a an n+1+1-a an n(n nN N*),),证明：证明：b bn n 是等比数是等比数列；列；（2 2）求数列）
27、求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；（3 3）若）若a a3 3是是a a6 6与与a a9 9的等差中项，求的等差中项，求q q的值，并证明：的值，并证明：对任意的对任意的n nN N*,a an n是是a an n+3+3与与a an n+6+6的等差中项的等差中项.（1 1）证明证明 由题设由题设a an n+1+1=（1+1+q q）a an n-qaqan n-1-1 （n n22），），得得a an n+1+1-a an n=q q(a an n-a an n-1-1),),即即b bn n=qbqbn n-1-1,n n2.2.由由b b1 1=a a2 2-a a1
28、1=1,=1,q q0,0,所以所以 b bn n 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为q q 的等比数列的等比数列.（2 2）解解 由（由（1 1），），a a2 2-a a1 1=1,=1,a a3 3-a a2 2=q q,a an n-a an n-1-1=q qn n-2-2(n n2).2).将以上各式相加，得将以上各式相加，得a an n-a a1 1=1+=1+q q+q qn n-2-2(n n2)2)，即即a an n=a a1 1+1+1+q q+q qn n-2-2(n n2).2).所以当所以当n n22时，时，（3 3）解解 由（由（2 2），当），当q q=1=
29、1时，显然时，显然a a3 3不是不是a a6 6与与a a9 9的的等差中项，故等差中项，故q q1.1.由由a a3 3-a a6 6=a a9 9-a a3 3可得可得q q5 5-q q2 2=q q2 2-q q8 8,由由q q00得得q q3 3-1=1-1=1-q q6 6,上式上式对对n=n=1 1显显然然成立成立.整理得（整理得（q q3 3）2 2+q q3 3-2=0,-2=0,解得解得q q3 3=-2=-2或或q q3 3=1=1（舍去）（舍去）.于是于是q q=.=.另一方面，另一方面，a an n-a an n+3+3=a an n+6+6-a an n=由由可
30、得可得a an n-a an n+3+3=a an n+6+6-a an n,即即2 2a an n=a an n+3+3+a an n+6+6,n nN N*.所以对任意的所以对任意的n nN N*,a an n是是a an n+3+3与与a an n+6+6的等差中项的等差中项.方法与技巧方法与技巧1.1.等比数列的判定方法有以下几种：等比数列的判定方法有以下几种：(1)(1)定义：定义：=q q(q q是不为零的常数，是不为零的常数，n nN N*)a an n 是等比数列是等比数列.(2)(2)通项公式：通项公式：a an n=cqcqn n(c c、q q均是不为零的常数均是不为零的
31、常数,n nN N*)a an n 是等比数列是等比数列.(3)(3)中项公式中项公式:=a=an na an n+2+2(a an na an n+1+1a an n+2+20,0,n nN N*)a an n 是等比数列是等比数列.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.方程观点以及基本量（首项和公比方程观点以及基本量（首项和公比a a1 1,q q）思想仍）思想仍 然是求解等比数列问题的基本方法：在然是求解等比数列问题的基本方法：在a a1 1,q q,n n,a an n,S Sn n 五个量中，知三求二五个量中，知三求二.3.3.分类讨论的思想：当分类讨论的思想：当a a1 10,
32、0,q q 1 1或或a a1 10,00,0q q 1 1时，时，a an n 为递增数列；当为递增数列；当a a1 10,0,q q1 1或或a a1 10,0,0 0q q1 1时，时，a an n 为递减数列；当为递减数列；当q q0 0时，时，a an n 为摆动数列；当为摆动数列；当q q=1=1时，时，a an n 为常数列为常数列.失误与防范失误与防范1.1.特别注意特别注意q q=1=1时，时，S Sn n=nana1 1这一特殊情况这一特殊情况.2.2.由由a an n+1+1=qaqan n,q q0,0,并不能立即断言并不能立即断言 a an n 为等比数为等比数 列，还要验证列，还要验证a a1 10.0.3.3.S Sn n+m m=S Sn n+q qn nS Sm m.返回返回