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1、试卷第 1页，总 11页2021 届高三数学（理）“大题精练”17在平面四边形ABCD中，3ABC，2ADC，2BC.（1）若ABC的面积为3 32，求AC；（2）若2 3AD，3ACBACD，求 tanACD.18如图，等腰梯形ABCD中，/ABCD，1ADABBC，2CD，E为CD中点，以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）.（）证明：AEPB；（）若直线PB与平面ABCE所成的角为4，求二面角APEC的余弦值.试卷第 2页，总 11页19为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为
2、了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100 人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一1班学生有6 名，其中 3 名对游泳感兴趣，现在从这6 名学生中随机抽取3 人，求至少有2 人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一8班和高一9班获奖学生中随机各抽取2 人进行跟踪调查，记选中的4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.班级一1一2一3一4一5一6一7一8一9一10市级比赛获奖人数2233443342市级以上比赛获奖人数221
3、023321220在平面直角坐标系xOy中，已知过点4,0D的直线l与椭圆22:14xCy交于不同的两点11,A x y，22,B xy，其中120y y.（1）若10 x，求OAB的面积；（2）在 x 轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形.试卷第 3页，总 11页21已知实数0a，设函数eaxfxax（1）求函数fx的单调区间；（2）当12a时，若对任意的1,x，均有212afxx，求a的取值范围注：e2.71828为自然对数的底数22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为2cos，若极坐标
4、系内异于O的三点1,A，2,6B，3123,06,C都在曲线M上.（1）求证：1233；（2）若过 B，C两点直线的参数方程为32212xtyt（t为参数），求四边形OBAC的面积.23已知函数()24f xxx.（1）求不等式()3f xx的解集；（2）若()(1)f xk x对任意xR恒成立，求k的取值范围.试卷第 4页，总 11页2021 届高三数学（理）“大题精练”（答案解析）17在平面四边形ABCD中，3ABC，2ADC，2BC.（1）若ABC的面积为3 32，求AC；（2）若2 3AD，3ACBACD，求 tanACD.【解】（1）在ABC中，因为2BC，3ABC，13 3 sin
5、22ABCSAB BCABC，所以33 322AB，解得：3AB.在ABC中，由余弦定理得：2222 cos7ACABBCAB BCABC所以7AC（2）设ACD，则33ACBACD如图，在Rt ACD中，因为2 3AD，所以2 3sinsinADAC在ABC中，3BACACBABC，由正弦定理，得sinsinBCACBACABC，即22 33sinsin32所以2sinsin3试卷第 5页，总 11页所以312cossinsin22，即3cos2sin所以3tan2，即3tan2ACD18如图，等腰梯形ABCD中，/ABCD，1ADABBC，2CD，E为CD中点，以AE为折痕把ADE折起，使
6、点D到达点 P 的位置（P平面ABCE）.（）证明：AEPB；（）若直线PB与平面ABCE所成的角为4，求二面角APEC的余弦值.【解】（I）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD，交 AE 于点 O，AB|CE,AB=CE，四边形ABCE 为平行四边形，AE=BC=AD=DE，ADE 为等边三角形，在等腰梯形ABCD 中，3CADE，23DABABC,在等腰ADB中，6ADBABD2362DBC,即 BD BC，BDAE，翻折后可得：OPAE,OB AE，又,OPPOB OBPOB OPOBO平面平面，AEPOB平面，,PBPOBAEPB平面；（II）解：在平面POB 内作 PQOB,垂足为
7、 Q，因为 AE平面 POB，AEPQ，试卷第 6页，总 11页因为 OB平面 ABCE,AE平面 ABCE,AE OB=O PQ平面 ABCE，直线PB 与平面 ABCE 夹角为4PBQ，又因为 OP=OB，OPOB，O、Q 两点重合，即OP平面 ABCE，以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(0,0,),(,0,0),(0,0),(,0,),(,0)2222222PECPEEC,设平面 PCE 的一个法向量为1(,)nx y z，则11130022,013022xzPE nEC nxy设3x，则 y=-
8、1,z=1，1(3,-1,1)n，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n，设二面角A-EP-C 为，1212|15|cos|=5|5nnnn.易知二面角A-EP-C 为钝角，所以5cos=-5.19为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100 人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一1班学生有6 名，其中 3 名对游泳感兴趣，现在从这试卷第 7页，总 11页6 名学生中随机抽取3 人，求至少有2 人对游泳感兴趣的概率；（2）
9、该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一8班和高一9班获奖学生中随机各抽取2 人进行跟踪调查，记选中的4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.班级一1一2一3一4一5一6一7一8一9一10市级比赛获奖人数2233443342市级以上比赛获奖人数2210233212【解】（1）记事件iA从 6 名学生抽取的3 人中恰好有i 人有兴趣，i0，1，2，3；则2A与3A互斥，故所求概率为2323P2P AAP AP A至少 人感兴趣213033333366CCCCCC101202；（2）由题意
10、知，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3；22342255CC9P 0CC5011221234342255CCCCC12P 1CC2522111243242255CCCCC3P 2CC1021242255CC1P 3CC25则的分布列为：试卷第 8页，总 11页0123p9501225310125数学期望为9241526E 012350505050520在平面直角坐标系xOy中，已知过点4,0D的直线l与椭圆22:14xCy交于不同的两点11,A x y，22,B xy，其中120y y.（1）若10 x，求OAB的面积；（2）在 x 轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB 与 y 轴围成的
11、三角形始终为等腰三角形.【解】（1）当10 x时，代入椭圆方程可得A点坐标为0,1或0,1若A点坐标为0,1，此时直线l：440 xy联立2244044xyxy，消 x 整理可得25830yy解得11y或235y，故 B8 3,5 5所以OAB的面积为18412550,1A若 点坐标为，由对称性知OAB的面积也是45，综上可知，当10 x时，OAB的面积为45.（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l：4xmy联立22444xmyxy，消去 x 整理得2248120mymy由22644 1240mm，得212m则12284myym，122124y ym,因为直线TA、TB 与 y 轴围成的三角
12、形始终为等腰三角形，试卷第 9页，总 11页所以0TATBkk设,0T t，则122112121212111224TATByxtyxtmy ytyyyykkxtxtxtxtxtxt,即1212222848124240444m tm tmmy ytyymmm,解得1t.故 x 轴上存在定点1,0T，使得直线TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形21已知实数0a，设函数eaxfxax（1）求函数fx的单调区间；（2）当12a时，若对任意的1,x，均有212afxx，求a的取值范围注：e2.71828为自然对数的底数【解】(1)由()(1)=0axaxfxa eaa e,解得0 x若0a
13、,则当(0,)x时,()0fx,故()f x 在(0,)内单调递增；当(,0)x时,()0fx,故()f x 在(,0)内单调递减若0a,则当(0,)x时,()0fx,故()f x 在(0,)内单调递增；当(,0)x时,()0fx,故()f x 在(,0)内单调递减综上所述,()f x 在(,0)内单调递减,在(0,)内单调递增(2)2()(1)2af xx,即2(1)2axaex令0 x,得12a,则122a当1x时,不等式2(1)2axaex显然成立,当(1,)x时,两边取对数,即2ln(1)ln2aaxx恒成立令函数()2ln(1)ln2aF xxax,即()0F x在(1,)内恒成立由
14、22(1)()=011a xFxaxx,得211xa试卷第 10页，总 11页故当2(1,1)xa时,()0Fx,()F x单调递增；当2(1+)xa，时,()0Fx,()F x单调递减.因此22()(1)2ln2ln2ln22aaF xFaaaa令函数()2ln2ag aa,其中122a,则11()10ag aaa,得1a,故当1(,1)2a时,()0g a,()g a单调递减；当(1,2a时,()0g a,()g a单调递增又13()ln 4022g,(2)0g,故当122a时,()0g a恒成立,因此()0F x恒成立,即当122a时,对任意的 1,)x,均有2()(1)2afxx成立2
15、2在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为2cos，若极坐标系内异于O的三点1,A，2,6B，3123,06,C都在曲线M上.（1）求证：1233；（2）若过 B，C两点直线的参数方程为32212xtyt（t为参数），求四边形OBAC的面积.【解】（1）由122cos,2cos,632cos6，则232cos2cos6612 3cos3；（2）由曲线M的普通方程为：2220 xyx，联立直线BC的参数方程得：230tt解得120,3tt；平面直角坐标为：13,2,022BC试卷第 11页，总 11页则231,2,6；又得13.即四边形面
16、积为1213113 3sinsin26264OBACS为所求.23已知函数()24f xxx.（1）求不等式()3f xx的解集；（2）若()(1)f xk x对任意xR恒成立，求k的取值范围.【解】（1）当4x时，原不等式等价于243xxx，解得2x，所以4x；当2x时，原不等式等价于243xxx，解得25x，所以此时不等式无解；当24x时，原不等式等价于243xxx，解得2x，所以24x；综上所述，不等式解集为2,.（2）由1fxk x，得241xxk x当1x时，60恒成立，所以kR；当1x时，24131 333111111xxxxkxxxx因为3333111121111xxxx当且仅当3311|011xx即4x或2x时，等号成立所以，2k综上，k的取值范围是,2.