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1、2020 年高考数学（理）一轮复习讲练测专题 2.4 函数的图象1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知识点一利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.知识点二利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y f(x)的图象关于 x轴对称y f(x)的图象；y f(x)的图象关于 y轴对称
2、yf(x)的图象；y f(x)的图象关于原点对称y f(x)的图象；y ax(a0，且 a 1)的图象 关于直线 yx对称y logax(a0，且 a 1)的图象.(3)伸缩变换y f(x)纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍yf(ax).y f(x)横坐标不变各点纵坐标变为原来的A(A0)倍yAf(x).(4)翻折变换y f(x)的图象 x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y|f(x)|的图象；y f(x)的图象 y轴右侧部分翻折到左侧原 y轴左侧部分去掉，右侧不变yf(|x|)的图象.【特别提醒】记住几个重要结论(1)函数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线xa 对称.
3、(2)函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数 y f(x)对定义域内任意自变量x 满足：f(ax)f(ax)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称.考点一由函数式判断图像【典例1】【2019年高考全国卷理数】函数f(x)=2sincosxxxx在,的图像大致为（）ABCD【答案】D【解析】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxf xxxxx，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称又221422()1,2()2f2()01f，可知应为D 选项中的图象故选 D【方法技巧】解决此类问题常有以下策略：(1)从函数的定义
4、域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象【变式 1】【2019 年高考全国卷理数】函数3222xxxy在6,6的图像大致为（）ABCD【答案】B【解析】设32()22xxxyf x，则332()2()()2222xxxxxxfxf x，所以()f x是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又34424(4)0,22f排除选项D；36626(6)722f，
5、排除选项A，故选 B考点二助动点探究函数图象【典例 2】（2019江西临川一中模拟）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图，是由一个半径为2 的大圆和两个半径为1 的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P 从点 A 出发，按路线AOBCADB运动(其中 A，O，O1，O2，B 五点共线)，设 P 的运动路程为x，y|O1P|2，y 与 x 的函数关系式为yf(x)，则 yf(x)的大致图象为()【答案】A【解析】根据题图中信息，可将x 分为 4 个区间，即 0，)，2)，2 ，4)，4 ，6，当x0，)时，函数值不变，yf(x)
6、1；当 x ，2)时，设 O2P与O2O1的夹角为，|O2P|1，|O2O1|2，x，y(O2PO2O1)25 4cos 54cos x，yf(x)的图象是曲线，且单调递增；当x2 ，4)时，O1P OP OO1，设 OP与 OO1的夹角为，|OP|2，|OO1|1，x 222 12x，y|O1P|2(OP OO1)254cos 54cos x2，函数 yf(x)的图象是曲线，且单调递减结合选项知选A.【方法技巧】求解因动点变化而形成的函数图象问题，既可以根据题意求出函数解析式后判断图象，也可以将动点处于某特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择【变式 2】（2019福建仙游一中模拟）如图，长方
7、形ABCD 的边 AB2，BC1，O 是 AB的中点，点P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记 BOPx.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为x的函数 f(x)，则 yf(x)的图象大致为()【答案】B【解析】当x 0，4时，f(x)tan x4tan2x，图象不会是直线段，从而排除A、C。当x4，34时，f4f3415，f222.22 15，f2f4f34，从而排除D，故选 B.考点三考查图象变换【典例 3】（2019安徽安庆一中模拟）已知函数yf(1x)的图象如图，则y|f(x 2)|的图象是()【答案】A【解析】(1)把函数 yf(1x)的图象向左平移1 个单位得yf(x)的图
8、象；(2)作出 f(x)关于y 轴对称的函数图象得yf(x)的图象；(3)将 f(x)向左平移2 个单位得yf(x2)的图象；(4)将 yf(x2)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折到x 轴上方得到|f(x2)|的图象【方法技巧】解决函数图象的识别问题，注意“三点”：(1)根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满足则排除；(2)根据选项中的图象特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项；(3)应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果。【变式 3】（2019浙江杭州高级中学模拟）已知函数f(x)logax(0 a1)，则函数yf(|x|1)的图象大致为()【
9、答案】A【解析】先作出函数f(x)logax(0a1)的图象，当x0 时，yf(|x|1)f(x 1)，其图象由函数 f(x)的图象向左平移1 个单位得到，又函数 yf(|x|1)为偶函数，所以再将函数yf(x1)(x0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x0 时的图象，故选A.考点四利用函数图像研究函数的性质【典例 4】（2019江苏盐城中学模拟）已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)【答案】C【解析】将函数f(x)x
10、|x|2x 去掉绝对值得f(x)x22x，x0，x2 2x，x0，画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减【方法技巧】利用函数图象研究函数性质，常从以下几个角度分析：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性【变式 4】（2019黑龙江双鸭山一中模拟）已知 f(x)2x1，g(x)1 x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则 h(x)()A有最小值1
11、，最大值1 B有最大值1，无最小值C有最小值1，无最大值D有最大值 1，无最小值【答案】C【解析】如图，画出 y|f(x)|2x1|与 yg(x)1 x2的图象，它们交于A，B 两点由“规定”，在 A，B 两侧，|f(x)|g(x)，故 h(x)|f(x)|；在 A，B 之间，|f(x)|g(x)，故 h(x)g(x)综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值 1，无最大值。考点五利用函数图像研究不等式的解【典例 5】（2019山西大学附中模拟）设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0fxfxx的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(
12、，1)(1，)D(1,0)(0,1)【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数，所以不等式fxfxx0 可化为fxx0，即 xf(x)0，f(x)的大致图象如图所示所以xf(x)0 的解集为(1,0)(0,1)【方法技巧】利用函数图象研究不等式通过函数图象把不等式问题转化为两函数图象的上下关系或函数图象与坐标轴的位置关系来解决问题。【变式 5】（2019北师大实验中学模拟）已知函数y f(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数 g(x)log2(x1)”，则不等式f(x)g(x)的解集是()A.x|1x 0B.x|1 x 1C.x|1x 1D.x|1x 2【答案】C【解析】令g(x)ylog2(
13、x1)，作出函数g(x)图象如图，由xy2，ylog2（x1），得x1，y1.结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为 x|1m，其中 m0.若存在实数b，使得关于x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_.【答案】(3，)【解析】在同一坐标系中，作yf(x)与 yb 的图象.当 xm 时，x22mx4m(x m)24mm2，要使方程f(x)b 有三个不同的根，则有4mm20.又 m0，解得 m3.【方法技巧】利用图象研究方程根的问题其依据是：方程f(x)0 的根就是函数f(x)图象与 x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与 g(x)图象交点的横坐标。【变式 6】（2019河南郑州一中模拟）已知函数21,01,0 xxfxfxx若方程 f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为()A(，0 B0,1)C(，1)D0，)【答案】C【解析】当x0 时，f(x)f(x1)，所以 f(x)是以 1 为周期的函数又当0 x1时，x10，所以 f(x)f(x1)21x1212x1.方程 f(x)x a 的根的个数可看成是两个函数yf(x)与 yxa 的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a 的取值范围是(，1)