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1、2020 年高考数学（理）一轮复习讲练测专题 2.8 函数与方程1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.知识点一函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程 f(x)0 有实数根?函数 yf(x)的图象与x 轴有交点?函数 yf(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 b24ac 0 0 0)的图象与 x 轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无
2、交点零点个数2 1 0【特别提醒】1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)0 的实根.2.由函数 yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间 a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以 f(a)f(b)0 是 yf(x)在闭区间 a，b上有零点的充分不必要条件.考点一函数零点所在区间【典例 1】（2019 河北正定中学模拟）若x0是方程12x x13的解，则x0属于区间()A.23，1B.12，23C.13，12D.0，13【答案】C【解析】令g(x)12x，f(x)x13，则 g(0)1f(0)0，g
3、121212 f121213，g131213f131313，结合图象可得13x012.【方法技巧】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间 a，b上的图象是否连续，再看是否有 f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断【变式 1】（2019 山西忻州一中模拟）函数 f(x)ln x2x2的零点所在的区间为()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)【答案】B【解析】易知f(x)ln x2x2在定义域(0，)上是增函数，
4、又f(1)20.根据零点存在性定理，可知函数f(x)ln x2x2有唯一零点，且在区间(1，2)内.考点二判断函数零点个数【典例 2】(2018 全国卷)函数 f(x)cos 3x6在0，的零点个数为_【答案】3【解析】由题意可知，当3x6k 2(k Z)时，f(x)0.x0，3x66，196，当 3x6取值为2，32，52时，f(x)0，即函数 f(x)cos 3x6在0，的零点个数为3.【方法技巧】(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间 a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)
5、利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数【变式 2】（2019 北京牛栏山一中模拟）已知函数f(x)2|x|，x2，x22，x2，函数 g(x)3f(2x)，则函数 yf(x)g(x)的零点个数为()A2 B3 C4 D5【答案】A【解析】由已知条件可得g(x)3 f(2x)|x2|1，x0，3x2，x0.函数 yf(x)g(x)的零点个数即为函数yf(x)与 yg(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数yf(x)与 yg(x)的图象如图所示由图可知函数yf(x)与 yg(x)的图象有2 个交点，所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2，选A.考点三根据函数零点个数
6、或存在情况求参数范围【典例 3】【2019 年高考浙江】已知,a bR，函数32,0()11(1),032x xf xxaxax x若函数()yfxaxb恰有 3 个零点，则（）Aa 1，b0 Ba0Ca 1，b 1，b0【答案】C【解析】当x0 时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得 x，则 yf（x）ax b最多有一个零点；当 x0 时，yf（x）axbx3（a+1）x2+ax axbx3（a+1）x2b，2(1)yxax，当 a+10，即 a 1 时，y0，yf（x）axb在 0，+）上单调递增，则 yf（x）ax b最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0
7、 得 x(a+1，+），此时函数单调递增，令 y0 得 x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2 个零点.根据题意，函数yf（x）axb 恰有 3 个零点?函数 y f（x）axb 在（，0）上有一个零点，在 0，+）上有 2 个零点，如图：0 且，解得 b0，1 a0，b（a+1）3，则 a 1，b0.故选 C【方法技巧】解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解【变式 3】(2018 全国卷)已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2个零点，则 a 的取值范围是()A1,0)B0，)C1，)D1，)【
8、答案】C【解析】令 h(x)x a，则 g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)的示意图，如图所示若g(x)存在 2 个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2 个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线y xa 过点(0,1)时，有 2 个交点，此时1 0a，a 1.当 y xa 在 y x 1上方，即a 1 时，仅有1 个交点，不符合题意当y xa 在 y x1 下方，即a 1 时，有 2 个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选 C.考点四根据函数零点的范围求参数范围【典例 4】（2019 辽宁抚顺一中模拟）若函数 f(x)(m2)x2mx(2m1)的两
9、个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则 m 的取值范围是 _【答案】14，12【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m 需满足m2，f 1 f 0 0，f 1 f 2 0，即m2，m2m 2m1 2m1 0，m2m 2m1 4 m2 2m 2m1 0，解得14m12.【方法技巧】解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围。【变式 4】（2019 河北保定一中模拟）设函数f(x)x，0 x1，1x11，1x0，g(x)f(x)4mxm，其中 m0.若函数 g(x)在区间(1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取
10、值范围是()A1 14，B.14，C1 15，D.15，【答案】C【解析】作出函数yf(x)的大致图象，如图所示函数g(x)的零点个数?函数 yf(x)的图象与直线 y4mxm 的交点个数直线y4mxm 过点 14，0，当直线y 4mxm 过点(1,1)时，m15；当直线y4mxm 与曲线 y1x11(1 x0)相切时，设切点为x0，1x011，由 y1x 12得切线的斜率为1x012，则1x0121x0110 x014，解得 x012，所以 4m11212 4，得 m 1.结合图象可知当m15或 m 1 时，函数 g(x)在区间(1,1)上有且仅有一个零点考点五求函数多个零点(方程根)的和【
11、典例 5】(2019 石家庄质量检测)已知 M 是函数 f(x)|2x3|8sin x(xR)的所有零点之和，则 M 的值为 _【答案】12【解析】将函数f(x)|2x3|8sin x 的零点转化为函数h(x)|2x3|与 g(x)8sin x 图象交点的横坐标在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与 g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与 g(x)的图象都关于直线x32对称，两个函数的图象共有8 个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M83212.【方法技巧】求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程的根以及直线ym 与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等)。【变式 5】（2019 浙江诸暨中学模拟）已知函数f(x)2x21，x0，x2，x0，g(x)x22x，x0，1x，x0，则函数 f(g(x)的所有零点之和是_【答案】123【解析】由f(x)0，得 x2 或 x 2，由 g(x)2，得 x 13，由 g(x)2，得 x12，所以函数 f(g(x)的所有零点之和是1213123.