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1、第 1页（共 20页）2014 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数列）一、选择题：1.(2014 福建理)等差数列na的前n项和nS，若132,12aS，则6a().8A.10BC.12.14D2.(2014 辽宁文、理)设等差数列na的公差为d，若数列12na a为递减数列，则（）A0dB0dC10a dD10a d【答案】C【解析】.0.00;00:.,1111111Cdadadaaaaaaannn选且或且分情况解得即递减由同增异减知，?=?=+=?+?=+=+=?=+=qqqqqqaqaqqaaaaaaqnnnn20(2014 天津理)设na是首项为1a，公差为1-的等差数列，nS
2、为其前n项和若124,SSS成等比数列，则1a的值为 _【答案】12【解析】试题分析：依题意得2214SS S=，()()21112146aaa-=-，解得112a=-页眉页脚换考点：1等差数列、等比数列的通项公式；2等比数列的前n项和公式第 6页（共 20页）123+1+1+12333333(13)31 3(12)332nnnnnnSnnn三、解答题：21.（2014 安徽理）设实数0c，整数1p，*Nn.（I）证明：当1x且0 x时，pxxp1)1(；（II）数列na满足pca11，pnnnapcappa111，证明：pnncaa1122.(2014 安徽文)数列na满足111,(1)(1
3、),nnananan nnN（1）证明：数列nan是等差数列；（2）设3nnnba，求数列nb的前n项和nS22（）证：由已知可得111nnaann，即111nnaann所以nan是以111a为首项，1 为公差的等差数列。（）解：由（）得1(1)1nannn，所以2nan，从而3nnbn1231 32 33 33nnSn234+131 3233 3-1 33nnnSnn（）得：所以+1(21)334nnnS23.(2014 北京文)已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b，且nnba是等比数列.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）求数列nb的前n项和.【解析】
4、设等差数列na的公差为 d，由题意得41123333aad所以11312naandn n，设等比数列nnba的公比为 q，由题意得 344112012843baqba，解得2q所以11112nnnnbabaq从而13212nnbnn，由 知13212nnbnn，数列3n的前 n 项和为312n n，数列12n的前 n项和为1212112nn第 7页（共 20页）所以，数列nb的前 n 项和为31212nn n24.(2014 福建文)在等比数列na中，253,81aa.（）求na；（）设3lognnba，求数列nb的前n项和nS.17.(1)设na的公比为q，依题意得141381a qa q，
5、解得113aq，因此，13nna.（2）因为3log1nnban，所以数列nb的前 n 项和21()22nnn bbnnS.25.(2014 广东文)设各项为正数的数列na的前n和为nS,且nS满足222*(3)3()0,nnSnnSnnnN(1)求1a的值;(2)求数列na的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有11221111(1)(1)(1)3nna aaaa a2211111111122222221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2,2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,2,(1)(1)nnnnnnnnnnnnSSSSSSSSaSnnSnnS
6、SnnanNSSSnnnaSSnnnn解令得即即由得从 而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(nkknnaan nNkkkNkkkkaakkk kkkkkkkaaaaaa又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44nnnnn第 8页（共 20页）26.(2014 广东理)设数列na的前 n 和为nS,满足2*1234,nnSnann nN，且315S.(1)求123
7、,aaa 的值;(2)求数列na的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)23 14 127+=43 2424()204(15)20,+83,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(nnnnaSaaaaSaSaaaaaaaaSaaaaaaSnannnSnann解联立 解得综上当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,32 11,;(),21,21611,22211(21)322411322232(1)11nnnkkknnaannaninaiinkakkknkaakkkkkkkkkkknk并整理得:由猜想以下用数学归纳法
8、证明由知 当时猜想成立假设当时 猜想成立 即则当时这就是说,21.nnNan时 猜想也成立从而对一切27(2014 湖北文)已知等差数列an满足：a12，且 a1，a2，a5成等比数列(1)求数列 an 的通项公式(2)记 Sn为数列 an 的前 n 项和，是否存在正整数n，使得 Sn 60n800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由19 解：(1)设数列 an 的公差为 d，依题意知，2，2d，24d 成等比数列，故有(2 d)22(24d)，化简得 d24d0，解得 d0 或 d4，当 d0 时，an2；当 d4 时，an2(n1)44n2，从而得数列 an 的通项公式为an2
9、或 an4n2.(2)当 an2 时，Sn2n，显然 2n60n800 成立当 an4n2 时，Snn2（4n2）2 2n2.令 2n260n 800，即 n230n4000，解得 n40 或 n60n800 成立，n 的最小值为41.综上，当an2 时，不存在满足题意的正整数n；当 an4n2 时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.28(2014 湖北理)已知等差数列 an 满足：a12，且 a1，a2，a5成等比数列第 9页（共 20页）(1)求数列 an 的通项公式(2)记 Sn为数列 an 的前 n 项和，是否存在正整数n，使得 Sn60n800？若存在，求n 的最小值；若不存在
10、，说明理由28 解：(1)设数列 an 的公差为 d，依题意得，2，2d，24d 成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得 d24d0，解得 d0 或 d4.当 d0 时，an2；当 d4 时，an2(n1)44n2.从而得数列 an 的通项公式为an2 或 an4n2.(2)当 an2 时，Sn2n，显然 2n60n800 成立当 an4n2 时，Snn2（4n2）2 2n2.令 2n260n 800，即 n230n4000，解得 n40 或 n60n800 成立，n 的最小值为41.综上，当an2 时，不存在满足题意的正整数n；当 an4n2 时，存在满足题意的正整数n，其最小值为4
11、1.29.(2014 湖南文)已知数列na的前n项和NnnnSn，22.(1)求数列na的通项公式；(2)设nnanabn12，求数列nb的前n2项和.（16）解：(I)当1n时,111aS;当2n时,22111,22nnnnnnnaSSn故数列na的通项公式为nan.（II）)由(1)可得21nnnbn,记数列nb的前2n项和为2nT,则122212222212342.222,12342,nnnTnABn记则2n212(12)2212(12)(34)(21)2.nABnnn故数列nb的前2n项和2n 1222nTABn.30.(2014 湖南理)已知数列na满足111,nnnaaap,*nN
12、.(1)若na为递增数列,且123,2,3aaa成等差数列,求P的值;(2)若12p,且21na是递增数列,2na是递减数列,求数列na的通项公式.【答案】(1)13p(2)1141,33 241,33 2nnnnan为奇数为偶数或11433 2nnna第 10页（共 20页）【解析】解:(1)因为数列na为递增数列,所以10nnaa,则11nnnnnnaapaap,分别令1,2n可得22132,aap aap2231,1ap app,因为123,2,3aaa成等差数列,所以21343aaa224 113130ppppp13p或0,当0p时,数列na为常数数列不符合数列na是递增数列,所以13
13、p.31(2014 江苏)设数列na的前n项和为nS。若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得nmSa，则称na是“H数列”。（1）若数列na的前n项和 为*2()nnSnN，证明：na是“H数列”。（2）设na是等差数列，其首项11a，公差0d，若na是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任 意的等差数列na，总 存在两个“H数列”nb和nc，使得nnnabc*()nN成立。32.(2014江西文)已知数列na的前n项和NnnnSn，232.（1）求数列na的通项公式；（2）证明：对任意1n，都有Nm，使得mnaaa，1成等比数列.解析：（1）当1n时111aS当2n时22131133222
14、nnnnnnnaSSn检验当1n时11a32nan（2）使mnaaa，1成等比数列.则21nmaa a=23232nm=即满足2233229126mnnn所以2342mnn则对任意1n，都有2342nnN所以对任意1n，都有Nm，使得mnaaa，1成等比数列.33、(2014 江西理)已知首项都是1的两个数列（），满足.(1)令，求数列的通项公式；(2)若，求数列的前 n 项和.【解析】（1）11120,0nnnnnnna babbbb同时除以1nnbb，得到1120nnnnaabb2 分第 11页（共 20页）112nnnnaabb即：12nncc3 分所以，nc是首项为111ab，公差为2
15、 的等差数列4 分所以，12(1)21ncnn5 分(2)21nnnacnb，121 3nnan6 分23411 33 35 3233213nnnSnn3451231 33 35 3233213nnnSnn9分两式相减得：23412223233321318223nnnnSnn11分2913nnSn12分34.(2014 全国大纲文)数列 an满足 a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.（1）设 bn=an+1-an，证明 bn是等差数列；（2）求数列 an的通项公式.解：（1）由 an+2=2an+1-an+2 得 an+2-an+1=an+1-an+2，即 bn+1=bn+2,
16、又 b1=a2-a1=1.所以 bn 是首项为 1，公差为 2 的等差数列；（1）由（1）得 bn=1+2（n-1），即 an+1-an=2n-1.于是111()(21)nnkkkkaak于是 an-a1=n2-2n，即 an=n2-2n+1+a1.又 a1=1，所以 an 的通项公式为an=n2-2n+2.35.(2014 全国大纲理)等差数列na的前 n 项和为nS，已知110a，2a为整数，且4nSS.（I）求na的通项公式；（II）设11nnnba a，求数列nb的前 n 项和nT.解：（I）由110a，2a为整数知，等差数列na的公差d为整数又4nSS，故450,0,aa于是1030
17、,1040dd，解得10532d-，因此3d=-，故数列na的通项公式为133nan=-（II）11111331033 103133nbnnnn，于是1211111111113710471031333 1031010 103nnnTbbbnnnn36.(2014全国新课标文)已知na是递增的等差数列，2a，4a是方程2560 xx的根。（I）求na的通项公式；第 12页（共 20页）（II）求数列2nna的前n项和.【解析】：（I）方程2560 xx的两根为2,3,由题意得22a，43a，设数列na的公差为d,，则422aad，故 d=12，从而132a，所以na的通项公式为：112nan6分
18、()设求数列2nna的前n项和为Sn,由()知1222nnnan，则：23413451222222nnnnnS34512134512222222nnnnnS两式相减得341212131112311212422224422nnnnnnnS所以1422nnnS 12 分37.(2014 全国新课标理)已知数列 na 的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnna aS，其中为常数.()证明：2nnaa；（）是否存在，使得 na为等差数列？并说明理由.【解析】：()由题设11nnna aS，1211nnnaaS，两式相减121nnnnaaaa，由于0na，所以2nnaa 6分（）由题设1a=1，1
19、211a aS，可得211a，由()知31a假设 na 为等差数列，则123,a aa成等差数列，1322aaa，解得4；证明4时，na为等差数列：由24nnaa知数列奇数项构成的数列21ma是首项为1，公差为4 的等差数列2143mam令21,nm则12nm，21nan(21)nm数列偶数项构成的数列2ma是首项为3，公差为4 的等差数列241mam令2,nm则2nm，21nan(2)nm21nan（*nN），12nnaa因此，存在存在4，使得 na为等差数列.12 分38.(2014 全国新课标理)已知数列na满足111,31nnaaa.(I)证明12na是等比数列，并求na的通项公式；第
20、 13页（共 20页）(II)证明2111132naaa.【答案解析】解析：(I)131nnaa11331111)223(22nnnnaaaa1112132aa12na是首项为32，公比为3 的等比数列1*131333,2222nnnnnaanN(II)由(I)知，*13,2nnanN，故121213111111231(13)nnaaa12110331112()3333nn12111()11131331(1().133323213nnn考点：考查等比数列的通项公式,求和公式，考查放缩法证明不等式的技巧.中等题.39.(2014 山东文)在等差数列na中，已知公差2d，2a是1a与4a的等比中项
21、.（）求数列na的通项公式；（II）设(1)2nn nba，记1234(1)nnnTbbbbb，求nT.（19）【解析】：（）由题意知：na为等差数列，设dnaan11，2a为1a与4a的等比中项4122aaa且01a，即daada31121，2d解得：21annan22)1(2.（）由（）知：nan2，)1(2)1(nnabnnn当 n 为偶数时：222222642222624221153431214332212nnnnnnnnnnnTn当 n 为奇数时：第 14页（共 20页）212122112211642212126242212153431214332212nnnnnnnnnnnnnnn
22、nnnnTn综上：为偶数为奇数，nnnnnnTn,222122240.(2014 山东理)已知等差数列na的公差为2，前n项和为nS，且124,S SS成等比数列.（）求数列na的通项公式；（）令114(1)nnnnnba a，求数列nb的前n项和nT.19.解：（I）,64,2,2141211daSdaSaSd4122421,SSSSSS成等比解得12,11naan（II）)121121()1(4)1(111nnaanbnnnnn)121121()121321()7151()5131()311(nnnnTnn为偶数时，当1221211nnnTn)121121()121321()7151()5
23、131()311(nnnnTnn为奇数时，当12221211nnnTn为奇数为偶数nnnnnnTn,1222,12241.已知数列na满足1113,*,13nnnaaa nNa.（1）若2342,9aax a，求x的取值范围；（2）若na是等比数列，且11000ma，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应na的公比；（3）若12100,a aa成等差数列，求数列12100,a aa的公差的取值范围.41【答案】（1）6,3（2）73-10（3）,21992-第 15页（共 20页）【解析】（1）6,3.6x372x3x,972,933n6x328,132,932n.9,61,931n3319
24、2134323212114321xxaaaxaaaaaaaaaaxaaannn所以，解得即时，当解得即时，当此式当然成立即时，当，且，=+（2）.1081010001.8),8,7(01log13lg3131lg3-1lgq3-113110001,3313q3133173-73-78331-1-11=+=+=+xaaaaaaaaaaaaaaxaaaxaaaaaaaaaaxaaakkkkkkkkkkkkkknnn所以，也成立成立也成立成立，现证明时，时，假设，当解得即时，当解得即时，当此式当然成立即时，当，且，（2）.,231(1,21,2023-02)3-(q1q02-q-q321)-q3(q
25、102-q-q30q-13q-1q-1313,1(2-2)1,31)1,31023-02)3-(q1q3102-q-q3,313121)-q3(q0q-13q-1q-1311311-2q-1q-13q-1q-1q-1q-131q-1q-11,123)1(33311,11,3313q31q3312n2n2n1nn2n2nn1nnn1nnn1111时，符合题意综上，当，解得，即后式整理得解得，即前式整理得解得解得即）（）（）（时）当（，解得，即后式整理得解得时时成立；当，显然当前式整理得）（）（）（时）当（时，）当（成立，符合题意时，）当（，即且qqqqqqqqqqqqqqqqqqSqannnSS
26、SnSqaaaannnnnnnn+=?=+=+（3）19991-199919991-1)k-k()-1000(21)k-k(2-2000d199920000,1000)2000-(21)k-k(2-2000d1)1-(22-1)k-k(2-2000d1000,1)dk-k(2211000,2122-d3-22-,122-,2,02)3-2(,)12(201)d-n(13nd11)d-n(1313311,2111，公差是是所以，最大值时，当解得整理得，由上得：解得解得且且即且整理得设公差为kkkkkkkknkaaanndndddndnaaaadknnn=+=+=+=+=+第 17页（共 20页）
27、43、(2014 四川文)设等差数列na的公差为d，点(,)nnab在函数()2xf x的图象上（nN）。（）证明：数列nb为等差数列；（）若11a，函数()f x的图象在点22(,)a b处的切线在x轴上的截距为12ln 2，求数列2nna b的前n项和nS。19、（）证明：由已知得，bn=0，当 n 1 时，数列 bn为首项是，公比为2d的等比数列；（）解：f（x）=2xln2函数 f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y=ln2（xa2），在 x 轴上的截距为21ln 2，a21ln 2=21ln 2，a2=2，d=a2a1=1，an=n，bn=2n，anbn2=n4n，Tn=1
28、?4+2?42+3?43+（n1）?4n1+n?4n，4Tn=1?42+2?43+（n1）?4n+n?4n+1，Tn4Tn=4+42+4nn?4n+1=n?4n+1=，Tn=44(2014 四川理)设等差数列na的公差为d，点(,)nnab在函数()2xf x的图象上（*nN）。（1）若12a，点87(,4)ab在函数()f x的图象上，求数列na的前n项和nS；（2）若11a，函数()f x的图象在点22(,)a b处的切线在x轴上的截距为12ln 2，求数列nnab的前n项和nT。解：（1）点(,)nnab在函数()2xf x的图象上，所以2nanb，又等差数列na的公差为d所以11122
29、22nnnnaaadnanbb因为点87(,4)ab在函数()f x的图象上，所以87842abb，所以8724dbb2d又12a，所以221(1)232nn nSnadnnnnn（2）由()2()2 ln 2xxf xfx函数()f x的图象在点22(,)a b处的切线方程为222(2ln 2)()aybxa所以切线在x轴上的截距为21ln 2a，从而2112ln 2ln 2a，故22a从而nan，2nnb，2nnnanb231232222nnnT2341112322222nnnT第 18页（共 20页）所以23411111112222222nnnnT111211222nnnnn故222nn
30、nT45.(2014天津文)已知q和 n均为给定的大于1的自然数，设集合12,1,0qM，集合niMxqxqxxxxAinn,2,1,121，（1）当3,2 nq时，用列举法表示集合A；（2）设,121121nnnnqbqbbtqaqaasAts其中,2,1,niMbaii证明：若,nnba则ts.46.(2014天津理)已知q和n均为给定的大于1 的自然数.设集合0,1,2,1,qM=-，集合112,1,2,nniAx xxx qx qxM in-+?=+.（）当2q=，3n=时，用列举法表示集合A；（）设,s tA?，112nnsaa qa q-=+，112nntbb qb q-=+，其中
31、【答案】（1）0,1,2,3,4,5,67（2）省略46.本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前n项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法.考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（）解：当2q=，3n=时，0,1M=，12324,1,2,3iAx xxxxMxi=+?=+.可得，0,1,2,3,4,5,6,7A=.（）证明：由,s tA?，112nnsaa qa q-=+，112nntbb qb q-=+，,iia bM?，1,2,in=及nnab，可得()()()()11222111nnnnnnabqabqstabab q-=-+-+-+-()()()21111nn
32、qqqqqq-+-+-()()111 11nnqqqq-=-10=-.所以，st+=+aaNnnaanaaaaaaaabnnnnnnnn，的等差数列，即，首项为是公差为时，当（II）+=+=+=+=NnaacNnaaaaknaaaaaaaaaaknaaaanaaaaaaaNnaaaaaaaaaaabnnnnnnkkkkkkkkkknnnnnnnnnkkkkknnn,41,41,41)3(411,4141,1-241)41041),410 1-2,41(41)2(41411-2,4101)1(.4123-141;41,1-2,01-2,01-22-,1-2,01-2,0,1.1-22-1-122122122322232322222221212212232122112132121使得所以，存在综上，时，即成立即，（，即，成立，则时，假设成立时，当用数学归纳法证明猜测，则令，则令则假设时，当