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1、第1页（共 18页）2015 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（不等式）一、选择题：1.（2015 安徽文）已知x，y满足约束条件0401xyxyy，则yxz2的最大值是（）（A）-1（B）-2（C）-5 （D）1 2.（2015 北京理）若x，y满足010 xyxyx，则2zxy的最大值为（）A0 B 1 C32 D 2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2zxy，则1122yxz，令0Z，第2页（共 18页）作直线12yx，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值 2.考点：线性规划；3（2015 福建文）若直线1(0,0)xyabab过
2、点(1,1)，则ab的最小值等于（）A2 B3 C4 D5【答案】C 考点：基本不等式4（2015 福建理）若变量,x y满足约束条件20,0,220,xyxyxy则2zxy的最小值等于()A52 B2 C32 D 2【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2yxz，当z最小时，直线2yxz的纵截距最大，故将直线2yx经过可行域，尽可能向上移到过点1(1,)2B时，z取到最小值，最小值为152(1)22z，故选 A考点：线性规划5（2015 福建文）变量,x y满足约束条件02200 xyxymxy，若2zxy的最大值为2，则实数m等于（）A2 B1C1 D 2【答案】
3、C【解析】第3页（共 18页）x123412341234123BOC试题分析：将目标函数变形为2yxz，当z取最大值，则直线纵截距最小，故当0m时，不满足题意；当0m时，画出可行域，如图所示，其中22(,)21 21mBmm显然(0,0)O不是最优解，故只能22(,)21 21mBmm是最优解，代入目标函数得4222121mmm，解得1m，故选 C考点：线性规划6.（2015 广东文）若变量x，y满足约束条件2204xyxyx，则23zxy的最大值为（）A10B8C5D2【答案】C 考点：线性规划第4页（共 18页）7（2015 广东理）若变量x，y满足约束条件2031854yxyx则yxz2
4、3的最小值 为（）A531 B.6 C.523 D.4【答案】C【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，由32zxy得322zyx，依题当目标函数直线l：322zyx经过41,5A时，z取得最小值即min4233 1255z，故选C【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题8.（2015 广东文）不等式2340 xx的解集为（用区间表示）【答案】4,1【解析】试题分析：由2340 xx得：41x，所以不等式2340 xx的解集为4,1，所以答案应填：4,1考点：一元二次不等式9、(2015 湖南文)若变量 x、y 满足约束条件111xyyxx，则 z=2x-y 的最小值为()
5、A、-1 B、0 C、1 D、2【答案】A x y O A l 第5页（共 18页）考点：简单的线性规划10.(2015湖南理)若变量x，y满足约束条件1211xyxyy，则3zxy的最小值为（）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.而可知当2x，1y时，min3(2)17z的最小值是7，故选 A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.11、(2015 湖南文)若实数 a，b 满足12aba
6、b，则 ab 的最小值为()A、2 B、2 C、22 D、4【答案】C 第6页（共 18页）考点：基本不等式12.(2015 山东理)已知,x y满足约束条件020 xyxyy，若zaxy的最大值为4，则a（）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】不等式组020 xyxyy在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解可能为1,1xy或2,0 xy，经检验，2,0 xy是最优解，此时2a；1,1xy不是最优解.故选 B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数a的值，考查学生对线性规划的
7、方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.13.(2015 陕西理)设()ln,0f xxab，若()pfab，()2abqf，1()()2rf af b，则下列关系式中正确的是（）Aqrp Bqrp Cprq Dprq【答案】C 第7页（共 18页）考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性14.(2015 陕西文)设()ln,0fxxab，若()pfab，()2abqf，1()()2rf af b，则下列关系式中正确的是（）AqrpBqrpCprqDprq【答案】C【解析】试题分析：1()lnln2pfababab；()ln22ababqf；11
8、()()ln22rf af bab因为2abab，由()lnf xx是个递增函数，()()2abffab所以qpr，故答案选C考点：函数单调性的应用.15.(2015陕西文)某企业生产甲乙两种产品均需用A，B 两种原料，已知生产1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1 吨甲乙产品可获利润分别为3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A12 万元B16 万元C17 万元D18 万元【答案】D第8页（共 18页）当直线340 xyz过点(2,3)A时，z取得最大值3 24 318z故答案选D考点：线性规划.16.(2015 陕
9、西理)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1 吨甲、乙产品可获利润分别为3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A12 万元 B16 万元 C17 万元 D 18 万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【答案】D【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润34zxy由题意可列32122800 xyxyxy，其表示如图阴影部分区域：当直线340 xyz过点(2,3)A时，z取得最大值，所以max3 24318z，故选 D考点：线性规划17.(2015 上海文)下列不等式中，与不
10、等式23282xxx解集相同的是（）.A.2)32)(8(2xxx B.)32(282xxx第9页（共 18页）C.823212xxx D.218322xxx【答案】B 18、(2015 上海理)记方程：2110 xa x，方程：2220 xa x，方程：2340 xa x，其中1a，2a，3a是正实数当1a，2a，3a成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（）A方程有实根，且有实根 B方程有实根，且无实根C方程无实根，且有实根 D方程无实根，且无实根【答案】B【解析】当方程有实根，且无实根时，22124,8aa，从而4222321816,4aaa即方程：2340 xa x无实根，选B
11、.而 A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C推出有实根【考点定位】不等式性质19.(2015 重庆文)若不等式组2022020 xyxyxym,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则 m的值为（）(A)-3(B)1(C)43(D)3【答案】B【解析】试题分析：如图，第10页（共 18页）；由于不等式组2022020 xyxyxym,表示的平面区域为三角形ABC，且其面积等于43，再注意到直线AB：x+y-2=0 与直线 BC:x-y+2m=0 互相垂直，所以三角形ABC是直角三角形；易知，A（2，0），B（1-m,m+1）,C(2422,33mm);从而112222122223ABCm
12、Smmm=43，化简得：2(1)4m，解得 m=-3,或 m=1；检验知当m=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m=1;故选 B.考点：线性规划.20、(2015 四川文)设实数x，y满足2102146xyxyxy，则xy的最大值为()(A)252 (B)492 (C)12 (D)14【答案】A第11页（共18页）【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xyk，则转化为反比例函数y的曲线与
13、可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.21.(2015 天津文)设变量,yx满足约束条件2020280 xxyxy,则目标函数3yzx的最大值为（）(A)7 (B)8 (C)9 (D)14【答案】C 考点：线性规划22.(2015天津理)设变量,x y满足约束条件2030230 xxyxy，则目标函数6zxy的最大值为（）（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C 第12页（共 18页）864224681510551015AB考点：线性规划.23、
14、(2015 浙江文)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积（单位：2m）分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m）分别为a，b，c，且abc在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）AaxbyczBazbycxCaybzcxDaybxcz【答案】B 考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.二、填空题:1、（2015 北京文）如图，C及其内部的点组成的集合记为D，,x y为D中任意一点，则23zxy的最大值为第13页（共 18页）【答案】7 考点：线性规划.2.（2015 湖北文）若变量,x y满足约束
15、条件4,2,30,xyxyxy则 3xy 的最大值是 _【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.3、(2015 全国新课标卷文)若x,y满足约束条件20210220 xyxyxy,则z=3x+y的最大值为【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l：30 xy，平移直线0l，当直线l:z=3x+y过点 A时，z 取最大值，由2=021=0 xyxy解得 A（1,1），
16、z=3x+y的最大值为4.【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意 义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.4.(2015 全国新课标卷理)若 x,y 满足约束条件10040 xxyxy，则yx的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原第14页（共 18页）点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最
17、大值为 3.考点：线性规划解法5.(2015全国新课标卷文)若 x,y 满足约束条件50210210 xyxyxy,则 z=2x+y 的最大值为【答案】8 考点：线性规划6(2015 全国新课标卷理)若 x，y 满足约束条件1020,220,xyxyxy，则zxy的最大值为_【答案】32【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为yxz，当z取到最大时，直线yxz的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D，则zxy的最大值为32考点：线性规划第15页（共 18页）xy1234123412341234DCBO7.(2015山东文)若 x,y 满足约束条件13,1yxxyy
18、则3zxy的最大值为 .【答案】7【解析】试题分析：画出可行域及直线30 xy，平移直线30 xy，当其经过点(1,2)A时，直线的纵截距最大，所以3zxy最大为13 27z.考点：简单线性规划.8.(2015山东文)定义运算“”：22xyxyxy（,0 xyR xy，）.当00 xy，时，(2)xyyx的最小值是 .【答案】2【解析】试题分析：由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2yxyxyxy xxy，因为，00 xy，所以，222222422 2(2)2222xyyxxyxyxyyxxyxyxyxy，当且仅当2xy时，(2)xyyx的最小值是2.考点：1.新定义运算；2.基本不等
19、式.第16页（共 18页）9.(2015上海文)若yx,满足020yyxyx，则目标函数yxz2的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10.(2015 天津文)已知0,0,8,abab则当a的值为时22loglog2ab取得最大值.【答案】4【解析】试题分析：22222222loglog211loglog2log 2log 164,244ababab当2ab时取等号,结合0,0,8,abab可得4,2.ab考点：基本不等式.11.(2015 重庆文)设,0,5a bab,则1+3ab的最大值为_.【答案】23第17页（共 18页）考点：基本不等式.12、(2015 浙江文)已知实数x，y满足221xy，则2463xyxy的最大值是【答案】15【解析】试题分析：22,2224631034,22xy yxzxyxyxy yx由图可知当22yx时，满足的是如图的AB劣弧，则22zxy在点(1,0)A处取得最大值5；当22yx时，满足的是如图的AB优弧，则1034zxy与该优弧相切时取得最大值，故1015zd，所以15z，故该目标函数的最大值为15.考点：1.简单的线性规划；13.(2015 浙江理)若实数,x y满足221xy，则2263xyxy的最小值是第18页（共 18页）