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1、数学试卷一、选择题1.设11izi,21fxxx,则fz()A.iB.iC.1 iD.1 i2.设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，若coscossinbCcBaA，则ABC的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定3.九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺 .问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”.就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为112V(底面圆的周长的平方高),则由此可推得圆周率的取值为()A.3 B.3.1 C.3.14
2、 D.3.2 4.已知0a且1a,函数2logafxxxb在区间,上既是奇函数又是增函数,则函数logag xxb的图象是()A.B.C.D.5.已知201720162018201721fxxxxL,下列程序框图设计的是求0fx的值,在“”中应填的执行语句是()A.2018niB.2017niC.2018niD.2017ni6.一个几何体的三视图如下图所示,图中小方格是边长为1的正方形,则该几何体的外接球的体积为()A.72B.108C.108 3D.96 37.高考结束后6名同学游览我市包括皇家湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择皇家湖景区的方案有()A.246
3、5AA种B.2465A种C.2465CA种D.2465C种8.二项式1()(0,0)naxabbx的展开式中只有第6项的二项式系数最大,且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍,则ab的值为()A.4B.8C.12D.169.过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于,?A B两点,O为坐标原点,若3AF,则AOB的面积为()A.22B.2C.3 22D.2 210.已知()sin(2017)cos(2017)63f xxx的最大值为A,若存在实数12,x x,使得对任意实数x总有12()()()fxf xfx成立,则12|A xx的最小值为()A.2017B.22017C.42017D.
4、403411.定义在R上的函数()f x满足(2)2()f xfx,且当2,4x时,224,23()2,34xxxf xxxx,()1g xax,对1 2,0 x,2 2,1x,使得21()()g xf x,则实数a的取值范围为()A.11(,),)88UB.11,0)(0,48UC.0,8D.11(,)48U二、填空题12.已知实数x,y满足202501xyxyy,则2xyuxy的取值范围为_.13.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“我没有获奖”,乙说:“是丙获奖”,丙说:“是丁获奖”,丁说:“我没有获奖”.在以上问题中只有一人回答正确,根据以上
5、的判断,获奖的歌手是_.14.若11tan(),tan27,且,0,2=_.15.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右顶点分别为A,B两点,点(0,2)Cb,若线段AC的垂直平分线过点B,则双曲线的离心率为_.16.已知f()x定义域为,?a b,如果12,(,),(0,1)x xa b,都有1212()()()11xxf xf xf,则称f()x为“周函数”.下列函数中,“周函数”有_(填序号)()xf xe,()lnf xx,2()35f xxx,()sinf xx三、解答题17.已知23(1)(1)(1)(1)nxxxxL的展开式中x的系数是数列na的前n项和nS.1.求数
6、列na的通项公式;2.数列nb满足12(21)(21)nnnanaab,记数列nb的前n项和为nT,求证:1nT.18.如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为平行四边形,PD平面ABCD,DPDC,E是PC的中点,过点D作DFPB交PB于点F.1.求证:PA P平面BDE;2.若ADBD,求证:PCDF;3.若四边形ABCD为正方形,在线段PA上是否存在点G,使得二面角EBDG的平面角的余弦值为13?若存在,求PGGA的值;若不存在,请说面理由.19.2.5PM是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国2.5PM标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,
7、即2.5PM日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米 75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的2.5PM监测数据中随机抽取18天的数据作为样本,将监测值绘制成茎叶图如下图所示(十位为茎,个位为叶).1.在这18个数据中随机抽取3个数据,求其中恰有2个数据为空气质量达到一级的概率;2.这18个数据中随机抽取3个数据,用表示其中不超标数据的个数,求的分布列及数学期望;3.以这18天的2.5PM日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中约有多少天的空气质量为二级.20.已知椭圆2222
8、:1(0)xyCabab的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.1.求椭圆C的标准方程;2.设F为椭圆C的左焦点,T为直线3x上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点,?PQ.证明:OT平分线段PQ、(其中O为坐标原点);当TFPQ最小时,求点T的坐标.21.已知函数ln1x mfxex xmx.1.若1?m,求证:fx在0,?上单调递增;2.若=g xfx,试讨论g x零点的个数.22.在平面直角坐标系xOy中,直线2:2xtLyt(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线:2sinC.1.求直线L的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程;2.记射线(0
9、,0)2与直线L和曲线C的交点分别为点M和点N(异于点O),求ONOM的最大值.23.已知函数()211f xxxa的定义域为R.1.求实数a的取值范围;2.若a的最大值为K,且20,0mnK mn,求证:143mn参考答案1.答案：A 解析：2.答案：A 解析：3.答案：A 解析：设圆柱体的底面半径为r,高为h,由圆柱的体积公式得体积为:2Vr h.由题意知21212Vrh.所以221212r hrh,解得3.故选 A.4.答案：D 解析：5.答案：A 解析：6.答案：C 解析：7.答案：D 解析：8.答案：B 解析：9.答案：C 解析：由题意设11,A x y,22,B xy12y0,0y
10、,如图所示,113AFx,112,2 2xy.直线AB过1,0F,设AB的方程为1xty,由241yxxty消去x得2440yty.124y y,2212,2yx,1213 2122AOBSyy.10.答案：B 解析：11.答案：D 解析：12.答案：164,3解析：13.答案：甲解析：14.答案：34解析：15.答案：102解析：16.答案：解析：17.答案：1.23(1)(1)(1)(1)nxxxxL的展开式中x的系数为1111123nCCCCL2111223nCCCCL2211122nCnn,即21122nSnn,所以当2n时,1nnnaSSn;当1n时,11a也适合上式,所以数列na的
11、通项公式为nan2.证明:12(21)(21)nnnnb1112121nn,所以11111113372121nnnTL11121n,所以1nT解析：18.答案：1.证明:如图建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设1DC连结AC,AC交BD于点G,连结EG.依题意得1 11,0,0,0,0,1,0,2 2APE.因为底面ABCD是正方形,所以点G是此正方形的中心,故点G的坐标为1 1,02 2,且111,0,1,0,22PAEGu uu ru uu r.所以2PAEGuu u ruuu r,即PAEGP,而EG平面EDB,且PA平面EDB,因此PA P平面BDE2.略;3.1PGGA解析：19.
12、答案：1.概率21414318768CCPC2.由题意,服从超几何分布:其中18N,10M,3n,的可能取值为0,1,2,3.由3108318()kkCCPkC,得031083187(0)102CCPC,1210831835(1)102CCPC,2110831815(2)34CCPC,3103185(3)34CPC所以的分布列为:0123P7102351021534534得期望7351555()012310210234343E或用公式5()3MnEN3.由题意,一年中空气质量为二级的概率61183P,13601203,所以一年(按360天计算)中约有120天的空气质量为二级解析：20.答案：1
13、.由已知可得22222,224,abbcab解得26a,22b,所以椭圆C的标准方程是221?62xy.2.由 1 可得F点的坐标是2,0,设T点的坐标为3,m,则直线TF的斜率03(2)TFmkm.当0m时,直线PQ、的斜率为1PQkm,直线PQ、的方程是2xmy.当0m时,直线PQ、的方程2x,也符合2xmy的形式.设11,P x y,22,Q xy,将直线PQ、的方程与椭圆C的方程联立,得222,1,62xmyxy,消去x,得223420mymy,其判别式2216830mm,所以12243myym,12223y ym,121221243xxm yym.所以PQ、的中点M的坐标为2262,
14、33mmm.所以直线OM的斜率3OMmk.又直线OT的斜率3OTmk,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ、.由可得21TFm,221212()()PQxxyy221212(1)()4myyy y2222421433mmmm2224(1)3mm.所以2221(3)241TFmPQm221414241mm13(44)243.当且仅当22411mm,即1m时,等号成立,此时TFPQ取得最小值.所以当TFPQ最小时,T点的坐标是3,1或(3,1).解析：21.答案：1.1m时,1lnxfxexx,1ln1xfxex要证fx在0,?上单调递增,只要证0fx对0 x恒成立令1xi xex,则11x
15、ixe,当1x时,0ix;当1x时,0ix故i x在,1单调递减,在1,单调递增所以10i xi,即1exx(当且仅当1x时等号成立)令1ln0j xxx x,则1xjxx当01x时,0jx,当1x时,0jx故j x在0,1上单调递减,在1,上单调递增所以10j xj,即ln1xx(当且仅当1x时等号成立)1ln1ln10 xfxexxx(当且仅当1x时等号成立)故fx在0,?上单调递增2.由lnxmg xexm有10 x mgxexx,显然gx是增函数令0gx,得0000001,lnxmxmeex emxxx则00,xx时,0gx,0,xx时,0gxg x在00,x上是减函数,在0,x上是增
16、函数g x有极小值,0000001ln2lnxmg xexmxxx当1m时,01x,min10,g xgg x有一个零点11m时,001x,011 0 10g xg,g x没有零点当1m时,01x,010 10g x,又0mmmememg eemme又对于函数1,10 xxyexye时,0 x当0 x时,1010y,即1xex33ln321ln31lnln3mgmemmmmmmm令1lnln3t mmm,则111mtmmm1m0tm12ln30t mt30gm又00001,333lnmexmxxxg x有两个零点综上,当1m时,g x没有零点;1m时,g x有一个零点;1m时,g x有两个零点
17、解析：22.答案：1.224,20sincosxyy2.214解析：1.由题意得直线L的普通方程为4xy所以其极坐标方程为:4sincos.由2sin得:22sin,所以222xyy,所以曲线C的直角坐标方程为:2220 xyy.2.由题意2sinON,4sincosOM,所以2sinsincos21sin 22444ONOM,由于02,所以当38时,ONOM取得最大值:21423.答案：1.2110 xxa211axx根据绝对值的几何意义可得211xx的最小值为3232a2.证明:由 1 可知a得最大值为32K3mn14114141414523333nmnmmnmnmnmnmn问题得以证明解析：