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1、1 平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例 1(1)(2014 天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若AE AF 1，则 的值为 _.(2)已知圆 O 的半径为1，PA，PB 为该圆的两条切线，A，B 为切点，那么 PA PB的最小值为()A.42 B.32C.42 2 D.322变式训练1(2015 湖北)已知向量 OA AB，|OA|3，则 OA OB_.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例 2(1)(2015 重庆)若非零向量a，b 满足|a|223|b|，且(a b)(3a2b)，则 a 与 b 的
2、夹角为()A.4B.2C.34D.(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于3，|a|2，|b|3，则 2a b 与 a 2b 的夹角的余弦值等于()A.126B.126C.112D.112变式训练2(2014 课标全国)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为 _.2 题型三利用数量积求向量的模例 3(1)已知平面向量a 和 b，|a|1，|b|2，且 a 与 b 的夹角为120，则|2ab|等于()A.2 B.4C.25 D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD BC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小
3、值为 _.变式训练3(2015 浙江)已知 e1，e2是平面单位向量，且 e1 e212.若平面向量b满足 b e1b e21，则|b|_.高考题型精练1.(2015山东)已知菱形 ABCD的边长为a，ABC60，则 BD CD等于()A.32a2B.34a2C.34a2D.32a22.(2014浙江)记 max x，y x，x y，y，xy，min x，yy，x y，x，xy，设 a，b为平面向量，则()A.min|ab|，|ab|min|a|，|b|B.min|ab|，|ab|min|a|，|b|C.max|a b|2，|ab|2|a|2|b|2D.max|a b|2，|ab|2|a|2|
4、b|23 3.(2015湖南)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0)，则|PAPBPC|的最大值为()A.6 B.7C.8 D.94.如图，在等腰直角ABO 中，OAOB1，C 为 AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作 AB的垂线 l，P 为垂线上任一点，设OAa，OB b，OPp，则 p(ba)等于()A.12B.12C.32D.325.在平面上，AB1AB2，|OB1|OB2|1，APAB1 AB2.若|OP|12，则|OA|的取值范围是()A.(0，52 B.(52，72C.(52，2 D.(72，26.如图所示，ABC 中，ACB90
5、 且 AC BC4，点 M 满足 BM3MA，则CM CB等于()4 A.2 B.3C.4 D.67.(2014安徽)设 a，b 为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和 y1，y2，y3，y4均由2 个 a 和 2 个 b 排列而成.若 x1 y1x2 y2x3 y3x4 y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则 a与 b 的夹角为()A.23B.3C.6D.08.(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB 8，AD5，CP3PD，AP BP2，则AB AD的值是 _.9.设非零向量a，b 的夹角为 ，记 f(a，b)acos bsin .若 e1，e2均
6、为单位向量，且e1 e25 32，则向量 f(e1，e2)与 f(e2，e1)的夹角为 _.10.如图，在 ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB1，AC3，AB，AC 60，则|OA|_.11.已知向量a(sin x，34)，b(cos x，1).当 ab 时，求 cos2xsin 2x 的值；12.在 ABC 中，AC10，过顶点C 作 AB 的垂线，垂足为D，AD5，且满足 AD511DB.(1)求|ABAC|；(2)存在实数t1，使得向量xAB tAC，ytABAC，令 kx y，求 k 的最小值.6 平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例 1(1)(2014 天津)已知
7、菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若AE AF 1，则 的值为 _.(2)已知圆 O 的半径为1，PA，PB 为该圆的两条切线，A，B 为切点，那么 PA PB的最小值为()A.42 B.32C.42 2 D.322答案(1)2(2)D解析(1)如图，AE AF(AB BE)(AD DF)(AB13BC)(AD1DC)AB AD1AB DC13BC AD13BC DC22 cos 120 12213221322cos 120 24432310323，又AE AF 1，103231，2.(2)方法一设|PA|PB|x，APB，7
8、则 tan 21x，从而 cos 1tan221tan22x21x21.PA PB|PA|PB|cos x2x21x21x4x2x21x2 123 x21 2x21x212x21322 3，当且仅当x212，即 x221 时取等号，故 PA PB的最小值为2 23.方法二设APB，0 ，则|PA|PB|1tan 2.PA PB|PA|PB|cos(1tan 2)2cos cos22sin22(12sin22)1sin2212sin22sin22.令 xsin22，0 x1，则PA PB1x12xx2x1x32 23，当且仅当2x1x，即 x22时取等号.故PA PB的最小值为223.8 方法三
9、以 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，则圆 O 的方程为x2y21，设 A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0,0)，则PA PB(x1x0，y1)(x1x0，y1)x21 2x1x0 x20y21.由 OAPA?OA PA(x1，y1)(x1x0，y1)0?x21x1x0y210，又 x21 y21 1，所以 x1x0 1.从而 PA PB x21 2x1x0 x20y21x212x20(1x21)2x21x203 2 23.故PA PB的最小值为223.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意
10、两向量a，b 的数量积 a b 与代数中a，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：ab0 时得不到a0 或 b0，根据平面向量数量积的性质有|a|2a2，但|ab|a|b|.变式训练1(2015 湖北)已知向量 OA AB，|OA|3，则 OA OB_.答案9解析因为 OAAB，所以 OA AB 0.所以 OA OBOA(OAAB)OA2OA AB|OA|20329.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例 2(1)(2015 重庆)若非零向量a，b 满足|a|223|b|，且(a b)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为()A.4B.2C.34D.9
11、(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于3，|a|2，|b|3，则 2a b 与 a 2b 的夹角的余弦值等于()A.126B.126C.112D.112答案(1)A(2)B解析(1)由(ab)(3a2b)得(a b)(3a 2b)0，即 3a2ab 2b20.又|a|2 23|b|，设a，b ，即 3|a|2|a|b|cos 2|b|20，83|b|2223|b|2 cos 2|b|20.cos 22.又 0 ，4.(2)记向量 2ab 与 a2b 的夹角为，又(2ab)242232423cos 313，(a2b)22243242 3cos 352，(2ab)(a2b)2a2 2b23a
12、 b8189 1，故 cos 2ab a2b|2ab|a2b|126，即 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值是126.点评求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于0 且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2(2014 课标全国)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为 _.答案90解析 AO12(ABAC)，1 0点 O 是ABC 中边 BC 的中点，BC 为直径，根据圆的几何性质得AB与AC的夹角为90.题型三利用数量积求向量的模
13、例 3(1)已知平面向量a 和 b，|a|1，|b|2，且 a 与 b 的夹角为120，则|2ab|等于()A.2 B.4C.25 D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD BC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为 _.答案(1)A(2)5解析(1)因为平面向量a 和 b，|a|1，|b|2，且 a 与 b 的夹角为 120，所以|2ab|2a2b22|2a|b|cos 120 221222 2212 122.(2)方法一以 D 为原点，分别以DA、DC 所在直线为x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DC a，DPx.D(0,0)，A(2
14、,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA(2，x)，PB(1，ax)，PA 3PB(5,3a4x)，|PA 3PB|225(3a4x)225，1 1|PA3PB|的最小值为5.方法二设DPxDC(0 x1)，PC(1x)DC，PADADPDA xDC，PB PCCB(1x)DC12DA，PA 3PB52DA(34x)DC，|PA 3PB|2254DA2252(34x)DA DC(34x)2 DC225(34x)2DC225，|PA3PB|的最小值为5.点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a(x，y)，求向量a 的模只需利用公式|a|x
15、2y2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a|a2.变式训练3(2015 浙江)已知 e1，e2是平面单位向量，且 e1 e212.若平面向量b满足 b e1b e21，则|b|_.答案233解析因为|e1|e2|1 且 e1 e212.所以 e1与 e2的夹角为60.又因为 b e1b e21，所以 b e1b e20，即 b(e1 e2)0，所以 b(e1e2).所以 b 与 e1的夹角为30，所以 b e1|b|e1|cos 30 1.所以|b|233.高考题型精练1.(2
16、015山东)已知菱形 ABCD的边长为a，ABC60，则 BD CD等于()A.32a2B.34a2C.34a2D.32a21 2答案D解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD 120.BD2BC2CD22BC CDcos 120 a2a22a a123a2，BD3a.BD CD|BD|CD|cos 303a23232a2.2.(2014浙江)记 max x，y x，x y，y，xy，min x，yy，x y，x，x|ab|，此时，|ab|2|a|2|b|2；当 a，b 夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当 ab 时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故选 D.3.(2015湖南
17、)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0)，则|PAPBPC|的最大值为()A.6 B.7C.8 D.91 3答案B解析 A，B，C 在圆 x2y21 上，且 ABBC，AC 为圆直径，故 PAPC2PO(4,0)，设 B(x，y)，则 x2y21 且 x 1,1，PB(x2，y)，PA PBPC(x6，y).故|PA PBPC|12x37，x 1 时有最大值497，故选 B.4.如图，在等腰直角ABO 中，OAOB1，C 为 AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作 AB的垂线 l，P 为垂线上任一点，设OAa，OB b，OPp，则 p(ba)等
18、于()A.12B.12C.32D.32答案A解析以 OA，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，1 4O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，B(0,1)，C(34，14)，直线 l 的方程为y14x34，即 xy12 0.设 P(x，x12)，则 p(x，x12)，而 ba(1,1)，所以 p(ba)x(x12)12.5.在平面上，AB1AB2，|OB1|OB2|1，APAB1 AB2.若|OP|a，所以 A4.所以 f(x)4cos(2A6)2sin(2x4)12.因为 x0，3，所以 2x44，1112.所以321 f(x)4cos(2A6)212.所以 f(x)4cos(2
19、A6)的取值范围为 321，212.12.在 ABC 中，AC10，过顶点C 作 AB 的垂线，垂足为D，AD5，且满足 AD511DB.(1)求|ABAC|；(2)存在实数t1，使得向量xAB tAC，ytABAC，令 kx y，求 k 的最小值.解(1)由AD511DB，且 A，B，D 三点共线，可知|AD|511|DB|.又 AD5，所以 DB 11.在 RtADC 中，CD2AC2AD275，在 RtBDC 中，BC2DB2CD2196，所以 BC14.所以|ABAC|CB|14.(2)由(1)，知|AB|16，|AC|10，|BC|14.由余弦定理，得cos A1021621422 101612.由 xABtAC，ytABAC，知 kx y(ABtAC)(tABAC)t|AB|2(t21)AC ABt|AC|21 9256t(t2 1)161012100t80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1，)上单调递增，所以当 t1 时，k 取得最小值516.