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1、 1 平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例 1(1)(2014天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，则 的值为_.(2)已知圆 O 的半径为 1，PA，PB 为该圆的两条切线，A，B 为切点，那么PAPB的最小值为()A.4 2 B.3 2 C.42 2 D.32 2 变式训练 1(2015湖北)已知向量OAAB，|OA|3，则OAOB_.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2(1)(2015重庆)若非零向量 a，b 满足|a|2 23|b|，且(ab)(3a2b)，则 a 与
2、b 的夹角为()A.4 B.2 C.34 D.(2)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于3，|a|2，|b|3，则 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值等于()A.126 B.126 C.112 D.112 变式训练 2(2014课标全国)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为_.2 题型三 利用数量积求向量的模 例 3(1)已知平面向量 a 和 b，|a|1，|b|2，且 a 与 b 的夹角为 120，则|2ab|等于()A.2 B.4 C.2 5 D.6(2)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上
3、的动点，则|PA3PB|的最小值为_.变式训练 3(2015浙江)已知 e1，e2是平面单位向量，且 e1e212.若平面向量 b 满足 be1be21，则|b|_.高考题型精练 1.(2015山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BDCD等于()A.32a2 B.34a2 C.34a2 D.32a2 2.(2014浙江)记 maxx，y x，xy，y，xy，minx，y y，xy，x，xy，设 a，b为平面向量，则()A.min|ab|，|ab|min|a|，|b|B.min|ab|，|ab|min|a|，|b|C.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 D.max|a
4、b|2，|ab|2|a|2|b|2 3 3.(2015湖南)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0)，则|PAPBPC|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图，在等腰直角ABO 中，OAOB1，C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点，过 C 作 AB的垂线 l，P 为垂线上任一点，设OAa，OBb，OPp，则 p(ba)等于()A.12 B.12 C.32 D.32 5.在平面上，AB1AB2，|OB1|OB2|1，APAB1AB2.若|OP|12，则|OA|的取值范围是()A.(0，52 B.(52，72 C.(52，2 D.(
5、72，2 6.如图所示，ABC 中，ACB90且 ACBC4，点 M 满足BM3MA，则CMCB等于()4 A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2014安徽)设 a，b 为非零向量，|b|2|a|，两组向量 x1，x2，x3，x4和 y1，y2，y3，y4均由2 个 a 和 2 个 b 排列而成.若 x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为 4|a|2，则 a与 b 的夹角为()A.23 B.3 C.6 D.0 8.(2014江苏)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD的值是_.9.设非零向量 a，b 的夹角为，记 f(a，
6、b)acos bsin.若 e1，e2均为单位向量，且 e1e2 5 32，则向量 f(e1，e2)与 f(e2，e1)的夹角为_.10.如图，在ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB1，AC3，AB，AC 60，则|OA|_.11.已知向量 a(sin x，34)，b(cos x，1).当 ab 时，求 cos2xsin 2x 的值；12.在ABC 中，AC10，过顶点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D，AD5，且满足AD511DB.(1)求|ABAC|；(2)存在实数 t1，使得向量 xABtAC，ytABAC，令 kxy，求 k 的最小值.6 平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积
7、的基本运算 例 1(1)(2014天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，则 的值为_.(2)已知圆 O 的半径为 1，PA，PB 为该圆的两条切线，A，B 为切点，那么PAPB的最小值为()A.4 2 B.3 2 C.42 2 D.32 2 答案(1)2(2)D 解析(1)如图，AEAF(ABBE)(ADDF)(AB13BC)(AD1DC)ABAD1ABDC13BCAD13BCDC 22cos 12012213221322cos 12024432310323，又AEAF1，103231，2.(2)方法一 设
8、|PA|PB|x，APB，7 则 tan 21x，从而 cos 1tan221tan22x21x21.PAPB|PA|PB|cos x2x21x21x4x2x21 x2123x212x21 x212x2132 23，当且仅当 x21 2，即 x2 21 时取等号，故PAPB的最小值为 2 23.方法二 设APB，0，则|PA|PB|1tan 2.PAPB|PA|PB|cos (1tan 2)2cos cos22sin22(12sin22)1sin2212sin22sin22.令 xsin22，0 x1，则PAPB1x12xx 2x1x32 23，当且仅当 2x1x，即 x22时取等号.故PAP
9、B的最小值为 2 23.8 方法三 以 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系 xOy，则圆 O 的方程为 x2y21，设 A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0,0)，则PAPB(x1x0，y1)(x1x0，y1)x212x1x0 x20y21.由 OAPAOAPA(x1，y1)(x1x0，y1)0 x21x1x0y210，又 x21y211，所以 x1x01.从而PAPBx212x1x0 x20y21 x212x20(1x21)2x21x2032 23.故PAPB的最小值为 2 23.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条
10、件的特征来选择.注意两向量 a，b 的数量积 ab 与代数中 a，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：ab 0 时得不到 a0 或 b0，根据平面向量数量积的性质有|a|2a2，但|ab|a|b|.变式训练 1(2015湖北)已知向量OAAB，|OA|3，则OAOB_.答案 9 解析 因为OAAB，所以OAAB0.所以OAOBOA(OAAB)OA2OAAB|OA|20329.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2(1)(2015重庆)若非零向量 a，b 满足|a|2 23|b|，且(ab)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为()A.4 B.
11、2 C.34 D.9(2)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于3，|a|2，|b|3，则 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值等于()A.126 B.126 C.112 D.112 答案(1)A(2)B 解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即 3a2ab2b20.又|a|2 23|b|，设a，b，即 3|a|2|a|b|cos 2|b|20，83|b|22 23|b|2cos 2|b|20.cos 22.又0，4.(2)记向量 2ab 与 a2b 的夹角为，又(2ab)2 42232423cos 313，(a2b)222432423cos 352，(2ab)(a2b)
12、2a22b23ab 81891，故 cos 2aba2b|2ab|a2b|126，即 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值是126.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练 2(2014课标全国)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为_.答案 90 解析 AO12(ABAC)，1 0 点 O 是ABC 中边 BC 的中点，BC 为直径，根据圆的几何性质得AB与AC的夹角为 90.
13、题型三 利用数量积求向量的模 例 3(1)已知平面向量 a 和 b，|a|1，|b|2，且 a 与 b 的夹角为 120，则|2ab|等于()A.2 B.4 C.2 5 D.6(2)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_.答案(1)A(2)5 解析(1)因为平面向量 a 和 b，|a|1，|b|2，且 a 与 b 的夹角为 120，所以|2ab|2a2b22|2a|b|cos 120 2212222212122.(2)方法一 以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
14、设 DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA(2，x)，PB(1，ax)，PA3PB(5,3a4x)，|PA3PB|225(3a4x)225，1 1|PA3PB|的最小值为 5.方法二 设DPxDC(0 x1)，PC(1x)DC，PADADPDAxDC，PBPCCB(1x)DC12DA，PA3PB52DA(34x)DC，|PA3PB|2254DA2252(34x)DADC(34x)2DC225(34x)2DC225，|PA3PB|的最小值为 5.点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a(x，y)，求向
15、量 a 的模只需利用公式|a|x2y2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量 a 的模进行如下转化：|a|a2.变式训练 3(2015浙江)已知 e1，e2是平面单位向量，且 e1e212.若平面向量 b 满足 be1be21，则|b|_.答案 2 33 解析 因为|e1|e2|1 且 e1e212.所以 e1与 e2的夹角为 60.又因为 be1be21，所以 be1be20，即 b(e1e2)0，所以 b(e1e2).所以 b 与 e1的夹角为 30，所以 be1|b|e1|cos 301.所以|b|
16、2 33.高考题型精练 1.(2015山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BDCD等于()A.32a2 B.34a2 C.34a2 D.32a2 1 2 答案 D 解析 如图所示，由题意，得 BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa123a2，BD 3a.BDCD|BD|CD|cos 30 3a23232a2.2.(2014浙江)记 maxx，y x，xy，y，xy，minx，y y，xy，x，x|ab|，此时，|ab|2|a|2|b|2；当 a，b 夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当 ab 时，|ab|2|ab|2|a|2
17、|b|2，故选 D.3.(2015湖南)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0)，则|PAPBPC|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9 1 3 答案 B 解析 A，B，C 在圆 x2y21 上，且 ABBC，AC 为圆直径，故PAPC2PO(4,0)，设 B(x，y)，则 x2y21 且 x，PB(x2，y)，PAPBPC(x6，y).故|PAPBPC|12x37，x1 时有最大值 497，故选 B.4.如图，在等腰直角ABO 中，OAOB1，C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点，过 C 作 AB的垂线 l，P 为垂线上任一点，设OA
18、a，OBb，OPp，则 p(ba)等于()A.12 B.12 C.32 D.32 答案 A 解析 以 OA，OB 所在直线分别作为 x 轴，y 轴，1 4 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，B(0,1)，C(34，14)，直线 l 的方程为 y14x34，即 xy120.设 P(x，x12)，则 p(x，x12)，而 ba(1,1)，所以 p(ba)x(x12)12.5.在平面上，AB1AB2，|OB1|OB2|1，APAB1AB2.若|OP|a，所以 A4.所以 f(x)4cos(2A6)2sin(2x4)12.因为 x0，3，所以 2x44，1112.所以321f(x)4
19、cos(2A6)212.所以 f(x)4cos(2A6)的取值范围为321，212.12.在ABC 中，AC10，过顶点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D，AD5，且满足AD511DB.(1)求|ABAC|；(2)存在实数 t1，使得向量 xABtAC，ytABAC，令 kxy，求 k 的最小值.解(1)由AD511DB，且 A，B，D 三点共线，可知|AD|511|DB|.又 AD5，所以 DB11.在 RtADC 中，CD2AC2AD275，在 RtBDC 中，BC2DB2CD2196，所以 BC14.所以|ABAC|CB|14.(2)由(1)，知|AB|16，|AC|10，|BC|14.由余弦定理，得 cos A1021621422101612.由 xABtAC，ytABAC，知 kxy(ABtAC)(tABAC)t|AB|2(t21)ACABt|AC|2 1 9 256t(t21)161012100t 80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1，)上单调递增，所以当 t1 时，k 取得最小值 516.