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1、 平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例 1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为 2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，则的值为_.(2)已知圆O的半径为 1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PAPB的最小值为()A.42 B.32 C.422 D.322 变式训练 1(2015湖北)已知向量OAAB，|OA|3，则OAOB_.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2(1)(2015重庆)若非零向量a，b满足|a|223|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A.4 B.2 C.34 D.
2、(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于3，|a|2，|b|3，则 2ab与a2b的夹角的余弦值等于()A.126 B.126 C.112 D.112 变式训练 2(2014课标全国)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO12(ABAC)，则AB 与AC的夹角为_.题型三 利用数量积求向量的模 例 3(1)已知平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a与b的夹角为 120，则|2ab|等于()A.2 B.4 C.25 D.6(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|PA3PB|的最小值为_.变式训练 3(2015浙江)已知e1，e2是平面单位向量，
3、且e1e212.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.高考题型精练 1.(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60，则BDCD等于()A.32a2 B.34a2 C.34a2 D.32a2 2.(2014浙江)记 maxx，y x，xy，y，xy，minx，y y，xy，x，xy，设a，b为平面向量，则()A.min|ab|，|ab|min|a|，|b|B.min|ab|，|ab|min|a|，|b|C.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 D.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 3.(2015湖南)已知点A，B，C在圆x2y21 上运动，且ABBC.若点
4、P的坐标为(2,0)，则|PAPBPC|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图，在等腰直角ABO中，OAOB1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设OAa，OBb，OPp，则p(ba)等于()A.12 B.12 C.32 D.32 5.在平面上，AB1AB2，|OB1|OB2|1，APAB1AB2.若|OP|12，则|OA|的取值范围是()A.(0，52 B.(52，72 C.(52，2 D.(72，2 6.如图所示，ABC中，ACB90且ACBC4，点M满足BM3MA，则CMCB等于()A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2014安徽)设a
5、，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A.23 B.3 C.6 D.0 8.(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD的值是_.9.设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin.若e1，e2均为单位向量，且e1e232，则向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为_.10.如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，AB，AC 60，则|OA|_.1
6、1.已知向量a(sin x，34)，b(cos x，1).当ab时，求 cos2xsin 2x的值；12.在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足AD511DB.(1)求|ABAC|；(2)存在实数t1，使得向量xABtAC，ytABAC，令kxy，求k的最小值.平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例 1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为 2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，则的值为_.(2)已知圆O的半径为 1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PAPB的最小值为()A.42
7、 B.32 C.422 D.322 答案(1)2(2)D 解析(1)如图，AEAF(ABBE)(ADDF)(AB13BC)(AD1DC)ABAD1ABDC13BCAD13BCDC 22cos 12012213221322cos 12024432310323，又AEAF1，103231，2.(2)方法一 设|PA|PB|x，APB，则 tan 21x，从而 cos 1tan221tan22x21x21.PAPB|PA|PB|cos x2x21x21x4x2x21 x2123x212x21 x212x213223，当且仅当x212，即x221 时取等号，故PAPB的最小值为 223.方法二 设AP
8、B，0，则|PA|PB|1tan 2.PAPB|PA|PB|cos (1tan 2)2cos cos22sin22(12sin22)1sin2212sin22sin22.令xsin22，0 x1，则PAPB1x12xx 2x1x3223，当且仅当 2x1x，即x22时取等号.故PAPB的最小值为 223.方法三 以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，则圆O的方程为x2y21，设A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0,0)，则PAPB(x1x0，y1)(x1x0，y1)x212x1x0 x20y21.由OAPAOAPA(x1，y1)(x1x0，y1)0 x21x1x0y210，又x21
9、y211，所以x1x01.从而PAPBx212x1x0 x20y21 x212x20(1x21)2x21x203223.故PAPB的最小值为 223.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：ab0 时得不到a0 或b0，根据平面向量数量积的性质有|a|2a2，但|ab|a|b|.变式训练 1(2015湖北)已知向量OAAB，|OA|3，则OAOB_.答案 9 解析 因为OAAB，所以OAAB0.所以
10、OAOBOA(OAAB)OA2OAAB|OA|20329.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2(1)(2015重庆)若非零向量a，b满足|a|223|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A.4 B.2 C.34 D.(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于3，|a|2，|b|3，则 2ab与a2b的夹角的余弦值等于()A.126 B.126 C.112 D.112 答案(1)A(2)B 解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即 3a2ab2b20.又|a|223|b|，设a，b，即 3|a|2|a|b|cos 2|b|20，83|b|2223|b|2
11、cos 2|b|20.cos 22.又0，4.(2)记向量 2ab与a2b的夹角为，又(2ab)2 42232423cos 313，(a2b)222432423cos 352，(2ab)(a2b)2a22b23ab 81891，故 cos 2aba2b|2ab|a2b|126，即 2ab与a2b的夹角的余弦值是126.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练 2(2014课标全国)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO12
12、(ABAC)，则AB与AC的夹角为_.答案 90 解析 AO12(ABAC)，点O是ABC中边BC的中点，BC为直径，根据圆的几何性质得AB与AC的夹角为 90.题型三 利用数量积求向量的模 例 3(1)已知平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a与b的夹角为 120，则|2ab|等于()A.2 B.4 C.25 D.6(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|PA3PB|的最小值为_.答案(1)A(2)5 解析(1)因为平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a与b的夹角为 120，所以|2ab|2a2b22|2a|b|cos 120 2212
13、222212122.(2)方法一 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA(2，x)，PB(1，ax)，PA3PB(5,3a4x)，|PA3PB|225(3a4x)225，|PA3PB|的最小值为 5.方法二 设DPxDC(0 x1)，PC(1x)DC，PADADPDAxDC，PBPCCB(1x)DC12DA，PA3PB52DA(34x)DC，|PA3PB|2254DA2252(34x)DADC(34x)2DC225(34x)2DC225，|PA3PB|的最小值为 5
14、.点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|x2y2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|a2.变式训练 3(2015浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e212.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.答案 233 解析 因为|e1|e2|1 且e1e212.所以e1与e2的夹角为 60.又因为be1be21，所以be1be20，即b(e1e2)0，所以b(e1e2).所以b与e1的夹
15、角为 30，所以be1|b|e1|cos 301.所以|b|233.高考题型精练 1.(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60，则BDCD等于()A.32a2 B.34a2 C.34a2 D.32a2 答案 D 解析 如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa123a2，BD3a.BDCD|BD|CD|cos 303a23232a2.2.(2014浙江)记 maxx，y x，xy，y，xy，minx，y y，xy，x，x|ab|，此时，|ab|2|a|2|b|2；当a，b夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当ab
16、时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故选 D.3.(2015湖南)已知点A，B，C在圆x2y21 上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|PAPBPC|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B 解析 A，B，C在圆x2y21 上，且ABBC，AC为圆直径，故PAPC2PO(4,0)，设B(x，y)，则x2y21 且x1,1，PB(x2，y)，PAPBPC(x6，y).故|PAPBPC|12x37，x1 时有最大值497，故选 B.4.如图，在等腰直角ABO中，OAOB1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设OAa，OBb，OPp，
17、则p(ba)等于()A.12 B.12 C.32 D.32 答案 A 解析 以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)，C(34，14)，直线l的方程为y14x34，即xy120.设P(x，x12)，则p(x，x12)，而ba(1,1)，所以p(ba)x(x12)12.5.在平面上，AB1AB2，|OB1|OB2|1，APAB1AB2.若|OP|a，所以A4.所以f(x)4cos(2A6)2sin(2x4)12.因为x0，3，所以 2x44，1112.所以321f(x)4cos(2A6)212.所以f(x)4cos(2A6)的取值范围为
18、321，212.12.在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足AD511DB.(1)求|ABAC|；(2)存在实数t1，使得向量xABtAC，ytABAC，令kxy，求k的最小值.解(1)由AD511DB，且A，B，D三点共线，可知|AD|511|DB|.又AD5，所以DB11.在 RtADC中，CD2AC2AD275，在 RtBDC中，BC2DB2CD2196，所以BC14.所以|ABAC|CB|14.(2)由(1)，知|AB|16，|AC|10，|BC|14.由余弦定理，得 cos A1021621422101612.由xABtAC，ytABAC，知kxy(ABtAC)(tABAC)t|AB|2(t21)ACABt|AC|2 256t(t21)161012100t 80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1，)上单调递增，所以当t1 时，k取得最小值 516.