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1、苏科版七年级下学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共有10 小题，每小题 3 分，共 30 分.）1.判断一件事情的语句叫做（）A.命题B.定义C.定理D.证明2.计算23xx，正确结果是（）A.4xB.5xC.6xD.9x3.下列各方程中是二元一次方程的是（）A.24xy=1 B.xy+z=5 C.2x2+3y5=0 D.2x+1y=2 4.一个多边形的内角和是540，这个多边形的边数是（）A.3 B.4 C.5 D.6 5.某校运动员分组训练，若每组7 人，则余 3 人:若每组 8 人，则缺5 人.设运动员人数为x 人，组数为y 组，则可列方程为（）A.7385yxyxB.7385yxy
2、xC.7385yxyxD.7385yxyx6.在下列各组条件中，不能说明ABCDEF的是（）A.AB=DE，B=E，C=F B.AB=DE，A=D，B=E C.AC=DF，BC=EF，A=D D.AB=DE，BC=EF，AC=ED 7.如果把多项式23xxm分解因式得(1)()xxn，那么mn的值为（）A.4B.0 C.4 D.8 8.计算1158得到的结果的个位数字是（）A.8B.6C.4D.29.从长度为3cm、4cm、5cm、6cm 和 9cm 的小木棒中任意取出3 根，能搭成三角形的个数是（）A.4 B.5 C.6 D.7 10.若正整数x、y满足222017xy，则这样的数对(,)x
3、 y 个数是（）A.0 B.1C.3 D.2017 二、填空题:（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131,其浓度为0.0000963 贝克/立方米，数据“0.0000963”用科学记数法可表示为_.12.如果22ab，那么ab的逆命题是 _.13.多项式A 与 2x的积为 2x2+14x，则 A=_ 14.若1mn，则2()22mnmn的值是 _.15.如图，AB CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，EG 平分 AEF，EGF35，求 EFG的度数16.已知2(0.3)a，23b，213c，则 a、b、c 从小到大的顺序是_.
4、17.对于有理数x、y，定义新运算:xya xb y，其中 a、b 是常数.已知1 2=1，33=6，则25的值是 _.18.如图，已知ABCD，14EAFEAB，14ECFEGD，记AFCm AEC，则m_.三、解答题:（本大题共10小题，共76分.）19.化简与计算:（1）(3 1)(2)xx（2）2(34)(34)(34)yyy20.把下列各式分解因式：（1）21850a；（2）4224817216xx yy.21.解方程组：(1)21325xyxy(2)2234742xyzxyxz22.下面是证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”的证明过程，请在横线上填上推理的依据.已知:如图，在直线
5、a、b、c 中，ac，bc.求证:ab.证明:acQ（已知），190（垂直的定义）.bcQ（_）290（_）190Q，290（已证），12（_）12Q（_）ab（_）23.先化简，再求值;22(2)(3)5()ababa ab，其中715a,314b24.如图，ABC的顶点都在每个边长为l 个单位长度的方格纸的格点上，将ABC向右平移2 格，再向上平移 3 格，得到AB C.（1）请图中画出A BC；（2）ABC面积为 _；（3）若 AC 的长约为 28，试求 AC 边上的高为多少（结果保留分数）?25.已知关于x、y 的方程组244xyaxya（1）若方程组的解也是方程3 2 10 xy的一
6、个解，求a的值；（2）若方程组的解满足10 xy，试求 a的取值范围，并化简|2|aa26.已知:如图点 A、B、C、D 在一条直线上，且EAFB，ECFD，EAFB.（1）求证:EACFBD；（2）求证:ABCD.27.已知:用 2 辆 A 型车和 1 辆 B型车载满货物一次可运货11 吨；用 1 辆 A型车和 2 辆 B 型车载满货物一次可运货 13 吨.根据以上信息,解答下列问题：(1)1 辆 A 型车和 l 辆 B型车都载满货物一次可分别运货多少吨?(2)某物流公司现有31 吨货物，计划同时租用A 型车a辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物请用含有b的式子表示a，并帮该物
7、流公司设计租车方案;(3)在(2)的条件下，若 A 型车每辆需租金500 元/次，B 型车每辆需租金600 元/次.请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用.28.如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90 ，B=E=30 .（1）操作发现如图2，固定 ABC，使 DEC 绕点 C 旋转当点D 恰好落在 BC 边上时，填空：线段DE 与AC 的位置关系是；设 BDC 的面积为S1，AEC 的面积为S2则 S1与 S2的数量关系是（2）猜想论证当DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了
8、BDC 和 AEC 中 BC，CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知 ABC=60 ，点 D 是其角平分线上一点，BD=CD=4，OEAB 交 BC 于点 E（如图 4），若在射线BA上存在点F，使 SDCF=SBDC,请直接写出相应的BF 的长答案与解析一、选择题（本大题共有10 小题，每小题 3 分，共 30 分.）1.判断一件事情的语句叫做（）A.命题B.定义C.定理D.证明【答案】A【解析】【分析】根据命题、定义、定理的概念进行判断即可【详解】判断一件事情的语句叫做命题，故答案选:A【点睛】本题考查了命题的概念，是基础知识比较简单2.计算23xx，正确结果是（）A.4xB
9、.5xC.6xD.9x【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则：mnm naaa（m，n 是正整数）求解即可求得答案【详解】解：235xxx?故选 B【点睛】此题考查了同底数幂的乘法此题比较简单，注意掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加3.下列各方程中是二元一次方程的是（）A.24xy=1B.xy+z=5C.2x2+3y5=0D.2x+1y=2【答案】A【解析】【分析】二元一次方程满足的条件:含有 2 个未知数,未知数的项的次数是1 的整式方程【详解】A.本方程符合二元一次方程的定义;故本选项正确;B.本方程是二元二次方程;故本选项错误C.本方程是二元二次方程
10、;故本选项错误D.本方程不是整式方程,是分式方程故本选项错误.故选 A【点睛】此题考查二元一次方程的定义，解题关键在于知道方程满足的条件4.一个多边形的内角和是540，这个多边形的边数是（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】n 边形的内角和公式为（n-2）?180，由此列方程求n【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n-2）?180 540，解得 n5故选 C【点睛】本题考查了多边形内角和问题此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解5.某校运动员分组训练，若每组7 人，则余 3 人:若每组 8 人，则缺5 人.设运动员人数为x 人，组数为y 组
11、，则可列方程为（）A.7385yxyxB.7385yxyxC.7385yxyxD.7385yxyx【答案】D【解析】【分析】根据关键语句“若每组7 人，余 3 人”可得方程7y3-x；“若每组 8 人，则缺 5 人”可得方程8y-5 x，联立两个方程可得方程组【详解】解：设运动员人数为x 人，组数为y 组，由题意得：列方程组为7385yxyx故选 D【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程6.在下列各组条件中，不能说明ABCDEF的是（）A.AB=DE，B=E，C=FB.AB=DE，A=D，B=E C.AC=DF，BC=EF，A=DD.A
12、B=DE，BC=EF，AC=ED【答案】C【解析】【分析】根据各个选项和全等三角形的判定可以解答本题【详解】AB=DE,B=E,C=F,根据 AAS 可以判定 ABC DEF，故选项 A 不符合题意；AB=DE,A=D,B=E,根据 ASA 可以可以判定 ABC DEF，故选项 B 不符合题意；AC=DF,BC=EF,A=D,根据 SSA 不可以判定 ABC DEF，故选项C 符合题意；AB=DE,BC=EF,AC=ED,根据 SSS可以可以判定 ABC DEF，故选项D 不符合题意；故选 C.【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.7.如果把多项式23xxm分解因式得(1
13、)()xxn，那么mn的值为（）A.4B.0 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n 的值【详解】解：2223(1)()1xxmxxnxnxxnxnxn13n，nm，2n，2m，224mn.故答案选：C【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用整式的乘法得出相等的整式是解题关键8.计算1158得到的结果的个位数字是（）A.8B.6C.4D.2【答案】D【解析】【详解】12345688,864,8512,84096,832768,8262144QL可以发现尾数以4为周期在8,4,2,6之间变化.11423,1158的个位数字是2.故选
14、D.9.从长度为3cm、4cm、5cm、6cm 和 9cm 的小木棒中任意取出3 根，能搭成三角形的个数是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析【详解】解：其中的任意三条组合有：3cm、4cm、5cm；3cm、4cm、6cm；3cm、4cm、9cm；3cm、5cm、6cm；3cm、5cm、9cm；3cm、6cm、9cm；4cm、5cm、6cm；4cm、5cm、9cm；4cm、6cm、9cm；5cm、6cm、9cm 十种情况根据三角形的三边关系，其中的3cm、4c
15、m、5cm；3cm、4cm、6cm；3cm、5cm、6cm；4cm、5cm、6cm；4cm、6cm、9cm；5cm、6cm、9cm 能搭成三角形故选 C【点睛】此题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形10.若正整数x、y满足222017xy，则这样的数对(,)x y 个数是（）A.0 B.1C.3 D.2017【答案】B【解析】【详解】221 2017xyxyxy，xy、均为正整数，20171xyxy，解得10091008xy，这样的正整数对,x y的个
16、数是1 个.故选 B.二、填空题:（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131,其浓度为0.0000963 贝克/立方米，数据“0.0000963”用科学记数法可表示为_.【答案】59.6310【解析】【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定【详解】解：0.0000963 用科学记数法可表示为：0.00009639.63510；故答案为9.63510【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10
17、n，其中 1|a|10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定12.如果22ab，那么ab的逆命题是 _.【答案】若ab，则22ab【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，【详解】解：命题“如果22ab，那么 ab”的条件是如果22ab，结论是a b，故逆命题是：如果ab，那么22ab故答案为若ab，那么22ab【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题13.多项式A 与 2x的积为 2x2+14x，则 A=_【答案
18、】x+7【解析】【分析】根据乘法和除法互为逆运算列式解答.【详解】解：由题意得：（2x2+14x）2x=2x2 2x+14x 2x=x+7 故答案为x+7【点睛】本题考查整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键14.若1mn，则2()22mnmn的值是 _.【答案】【解析】【分析】原式变形后，将m-n 的值代入计算即可求出值【详解】解：1mn，原式22123mnmn故答案为3【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键15.如图，AB CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，EG 平分 AEF，EGF 35，求 EFG 的度数【答案】110【解析】【分析】根据两直
19、线平行，内错角相等求出AEC 1，再根据角平分线的定义求出AEF 的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答即可详解】解：AB CD，135，AEG EGF35，EFG+AEF180 EG 平分 AEF，AEF2AEG 2 35 70，EFG180 AEF 180 70 110【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补以及角平分线的定义，难度适中16.已知2(0.3)a，23b，213c，则 a、b、c 从小到大的顺序是_.【答案】bac【解析】【分析】首先根据负整数指数幂和乘方进行化简计算，然后再比较结果的大小，进而可得答案【详解】解：2(0.3)0.
20、09a239b2913c90.099，bac故答案为ba c【点睛】此题主要考查了负整数指数幂和乘方，关键是掌握负整数指数幂：1ppaa（a0，p为正整数）17.对于有理数x、y，定义新运算:xya xb y，其中 a、b 是常数.已知1 2=1，33=6，则25的值是 _.【答案】【解析】【分析】根据题中新定义化简原式得到关于a与 b 的方程组，求出方程组的解得到a与 b 的值，即可确定出所求式子的值详解】解：根据题意得：21336abab，解得：a-1，b 1，则 2（-5）-2-5-7 故答案为7【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键18.如图，已知ABCD，
21、14EAFEAB，14ECFEGD，记AFCm AEC，则m_.【答案】34【解析】【分析】连接 AC，设 EAF x，ECF y，EAB 4x，ECD4y，根据平行线性质得出BAC ACD180，求出 CAE ACE 180-（4x 4y），求出 AEC 4（x y），AFC 3（x y），即可得出答案【详解】证明：连接AC，设 EAFx，ECFy，EAB 4x，ECD4y，AB CD，BAC ACD 180，CAE 4x ACE 4y 180，CAE ACE 180-（4x 4y），FAC FCA 180-（3x 3y）AEC 180-（CAE ACE）180-180-（4x 4y）4x
22、4y4（x y），AFC 180-（FAC FCA）180-180-（3x 3y）3x 3y3（x y），AFC 34AEC 即34m.【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补三、解答题:（本大题共10小题，共76分.）19.化简与计算:（1）(3 1)(2)xx（2）2(34)(34)(34)yyy【答案】（）2372xx；（）23224yy【解析】【分析】(1)先做乘法运算，再合并同类项；(2)原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，【详解】（1）原式2372xx；（2）原式2292416916yyy23224yy.【
23、点睛】本题考查了整式的混合运算，充分运用完全平方公式，平方差公式是解题的关键20.把下列各式分解因式：（1）21850a；（2）4224817216xx yy.【答案】（1）2（3a5）（3a5）（2）（3x2y）2（3x2y）2【解析】【分析】(1)、首先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解；(2)、首先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式进行因式分解得出答案【详解】（1）原式 2（9a225）2（3a 5）（3a5）；（2）原式（9x2-4 y2）2（3x2y）（3x2y）2（3x2y）2（3x2y）2【点睛】本题主要考查的就是因式分解，属于简单题型在因式分解的时候，首先考虑提取公
24、因式，然后再利用平方差公式或完全平方公式进行因式分解，在因式分解的时候一定要注意要彻底21.解方程组：(1)21325xyxy(2)2234742xyzxyxz【答案】（1）1.50.25xy（2）1543xyz【解析】【分析】用加减消元法解方程组即可.【详解】（1）21325,xyxy+得，46x，解得：32x，把32x代入得14y，原方程组的解为3214xy.（2）2234742xyzxyxz，-，得，225xz，2，得，284xz，-，得，721z，3z，把3zz=3 代入得，14x，把14x代入，得，4247y，解得，5y，所以，原方程组的解为1453xyz.22.下面是证明“垂直于同
25、一条直线的两条直线平行”的证明过程，请在横线上填上推理的依据.已知:如图，在直线a、b、c 中，ac，bc.求证:ab.证明:acQ（已知），190（垂直的定义）.bcQ（_）290（_）190Q，290（已证），12（_）12Q（_）ab（_）【答案】见解析.【解析】【分析】首先根据垂直定义可得190,290，由 1 290根据平行线的判定定理即可得到ab.【详解】证明:acQ（已知），190（垂直的定义）.bcQ（已知）290（垂直的定义）190Q，290（已证）12（等量代换）12Q（已证）ab（同位角相等两直线平行）故答案为已知；垂直的定义；等量代换；已证；同位角相等两直线平行.【点睛
26、】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行23.先化简，再求值;22(2)(3)5()ababa ab，其中715a,314b【答案】12.【解析】【分析】原式前两项利用完全平方公式展开，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将 a与 b 的值代入计算即可求出值【详解】原式22222449655aabbaabbaab5ab把715a，314b代入得，原式1=2.【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键24.如图，ABC的顶点都在每个边长为l 个单
27、位长度的方格纸的格点上，将ABC向右平移2 格，再向上平移 3 格，得到AB C.（1）请在图中画出A B C；（2）ABC的面积为 _；（3）若 AC 的长约为 28，试求 AC 边上的高为多少（结果保留分数）?【答案】（1）见解析；（2）3；（3）157.【解析】【分析】（1）根据平移的方向与距离进行作图；（2）根据 ABC 中 BC 为 3，BC 边上的高为2，求得三角形的面积；（3）设 AC 边上的高为h，根据 ABC 的面积为3，列出方程求解即可【详解】（1）如图所示：（2）ABC 的面积为:123 23；（3）设 AC 边上的高为h，则12AC h3，即122.8 h3，解得 h1
28、57【点睛】本题主要考查了运用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形25.已知关于x、y 的方程组244xyaxya（1）若方程组的解也是方程3 2 10 xy的一个解，求a的值；（2）若方程组的解满足10 xy，试求 a的取值范围，并化简|2|aa【答案】（1）a=2；(2)2.【解析】【分析】（1）根据方程组的解法解答即可；（2）根据不等式的解法解答即可【详解】方程组的解为：22xaay（1）把2xa，2ay代入3 2 10 xy得，2a.（2）由2102aa得225a，0a，20a，所以|2|22
29、aaaa【点睛】此题考查了二元一次方程组的解以及解一元一次不等式问题，关键是根据一元一次不等式的解法解答26.已知:如图点 A、B、C、D 在一条直线上，且EAFB，ECFD，EAFB.（1）求证:EACFBD；（2）求证:ABCD.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到AFBD，ECAD，根据 AAS 定理证明 EAC FBD；（2）根据全等三角形的性质得到AC BD，结合图形证明即可【详解】（1）证明，因为EAFB，ECFD，所以AFBD，ECAD.在EAC中和FBD中，AFBDECADEAFB，所以(AAS)EACFBD.（2）由EACFBD可得A
30、CBD，即ABBCCDBC，所以ABCD.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键27.已知:用 2 辆 A 型车和 1 辆 B型车载满货物一次可运货11 吨；用 1 辆 A型车和 2 辆 B 型车载满货物一次可运货 13 吨.根据以上信息,解答下列问题：(1)1 辆 A 型车和 l 辆 B型车都载满货物一次可分别运货多少吨?(2)某物流公司现有31 吨货物，计划同时租用A 型车a辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物请用含有b的式子表示a，并帮该物流公司设计租车方案;(3)在(2)的条件下，若 A 型车每辆需租金50
31、0 元/次，B 型车每辆需租金600 元/次.请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用.【答案】（1）A:3，B:5（2）a=3153b（3）方案一a=2 b=5，4000 方案二 a=7 b=2，4700 选方案一【解析】【分析】（1）根据“用 2辆 A 型车和 1 辆 B型车载满货物一次可运货11吨；”“用 1 辆 A 型车和 2辆 B型车载满货物一次可运货13 吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可；（2）由题意理解出：3a+5b=31，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案；（3）根据（2）中所求方案，利用A 型车每辆需租金500 元/次，B 型车每辆需租金600 元/
32、次，分别求出租车费用即可【详解】（1）设每辆 A 型车装满货物一次可以运货x 吨、B型车装满货物一次可以运货y 吨依题意列方程组得：211213xyxy，解方程组，得：35xy答：1辆 A 型车装满货物一次可运3吨，1 辆 B 型车装满货物一次可运5吨（2）结合题意和（1）得：3a+5b=31，a=3153ba、b 都是正整数25ab或72ab答：有两种租车方案：方案一：A型车 2 辆，B型车 5 辆；方案二：A型车 7 辆，B型车 2 辆（3）A 型车每辆需租金600 元/次，B 型车每辆需租金600 元/次，方案一需租金：2500+5600=4000（元）方案二需租金：7500+2600=
33、4700（元）47004000，最省钱的租车方案是方案一：A 型车 2 辆，B 型车 5辆，最少租车费为4000 元【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，此题型是各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题28.如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90，B=E=30.（1）操作发现如图2，固定 ABC，使 DEC 绕点 C 旋转当点D 恰好落在 BC 边上时，填空：线段DE 与AC 的位置关系是；设 BDC 的面积为S1，AEC 的面积为S2则 S1与 S2的数量关系是（2）猜想论证当DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示
34、的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC 和 AEC 中 BC，CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知 ABC=60 ，点 D 是其角平分线上一点，BD=CD=4，OEAB 交 BC 于点 E（如图 4），若在射线BA上存在点F，使 S DCF=SBDC,请直接写出相应的BF 的长【答案】解：（1）DEAC 12SS（2）12SS仍然成立，证明见解析；（3）3 或 6【解析】【详解】（1）由旋转可知：AC=DC，C=90 ，B=DCE=30 ，DAC=CDE=60 ADC 是等边三角形 DCA=60 DCA=CDE=60 DEAC 过
35、D 作 DN AC 交 AC 于点 N，过 E作 EMAC 交 AC 延长线于 M，过 C 作 CFAB 交 AB 于点 F由可知：ADC 是等边三角形,DEAC，DN=CF,DN=EM CF=EM C=90 ，B=30AB=2AC 又 AD=AC BD=AC 1211SCF BDSAC EM22，12SS（2）如图，过点 D 作 DM BC 于 M，过点 A 作 AN CE 交 EC 的延长线于N，DEC 是由 ABC 绕点 C旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90 ，DCM+BCN=180 -90=90，ACN=DCM，在 ACN 和 DCM 中，ACNDCMCMDNACC
36、D，ACN DCM（AAS），AN=DM，BDC 的面积和 AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 S1=S2；（3）如图，过点D 作 DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以 BE=DF1，且 BE、DF1上的高相等，此时 S DCF1=S BDE；过点 D 作 DF2BD，ABC=60 ，F1DBE，F2F1D=ABC=60，BF1=DF1，F1BD=12ABC=30 ，F2DB=90，F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，过点 D 作 DGBC 于 G，BD=CD，ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，DBC=DCB=12 60=30，BG=12BC=92，BD=33 CDF1=180-BCD=180-30=150，CDF2=360-150-60=150，CDF1=CDF2，在 CDF1和CDF2中，1212DFDFCDFCDFCDCD，CDF1 CDF2（SAS），点 F2也是所求的点，ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=12 60=30，又 BD=33，BE=12 33 cos30=3，BF1=3，BF2=BF1+F1F2=3+3=6，故 BF 的长为 3 或 6