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1、开始结束01Sn，1SSn2nn输出SY N n a精品学习资料整理精品学习资料整理精品学习资料整理20 xx 届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分1.复数i2iz（其中 i 是虚数单位）的虚部为2.某同学在7 天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7 天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为.3.函数221()4xxf x的值域为4.分别在集合A1，2，3，4 和集合B5，6，7，8中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为5.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中
2、心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为30 xy，则双曲线C 的离心率为.6 如图是计算101121kk的值的一个流程图，则常数a 的取值范围是7.函数 y=sin 23x的图象可由函数y=sin x 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y=sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的现给出下列四个变换：A.图象上所有点向右平移6个单位；B.图象上所有点向右平移3个单位；C.图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）；D.图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母：.（只要填写一组）8.记 max a，b为 a
3、和 b 两数中的较大数设函数()f x 和()g x 的定义域都是R，则“()f x 和()g x都是偶函数”是“函数()max()()F xf xg x，为偶函数”的条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个）9.在平面直角坐标系xOy 中，圆 C1：2248190 xyxy关于直线l：250 xy对称的圆C2的方程为6 7 8 5 5 6 3 4 0 1 E A D B C F P 10.给出以下三个关于x 的不等式：2430 xx，311x，2220 xm xm若的解集非空，且满足的x 至少满足和中的一个，则m 的取值范围是11.设02，且113co
4、scos()714，则 tan的值为12.设平面向量a，b 满足32ab，则 ab 的最小值为13.在平面直角坐标系xOy 中，曲线22491xy上的点到原点O 的最短距离为14.设函数()yf x 是定义域为R，周期为2 的周期函数，且当11x，时，2()1f xx；已知函数lg|0()10 xxg xx，则函数()f x 和()g x 的图象在区间510，内公共点的个数为二、解答题：本大题共6小题，共90 分15设向量 a(cossin)，b(cossin)，其中 0（1）若ab，求3ab 的值；（2）设向量c03，且 a+b=c，求，的值16如图，在三棱锥PABC 中，平面P AC平面
5、ABC，60BAC，E，F 分别是 AP，AC 的中点，点 D 在棱 AB 上，且ADAC求证：（1）/EF平面 PBC；（2）平面 DEF平面 PACO A B 东北C D 17如图，港口A 在港口 O 的正东 120 海里处，小岛B 在港口 O 的北偏东 60 的方向，且在港口A 北偏西 30 的方向上一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30 的 OD 方向以 20 海里/小时的速度驶离港口O一艘给养快艇从港口A 以 60 海里/小时的速度驶向小岛B，在 B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船已知两船同时出发，补给装船时间为1 小时（1）求给养快艇从港口A 到小岛 B 的航行时间；（
6、2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？18设公差不为零的等差数列na的各项均为整数，Sn为其前 n 项和，且满足2371574a aSa，（1）求数列na的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得+12mmmaaa为数列na中的项O x y A B l 19.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆 C 上的点到右焦点的距离的最小值为51（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且2AOB求证：原点O 到直线 AB 的距离为定值；求 AB 的最小值20设函数2lnfxaxbx，其图象在点22Pf
7、，处切线的斜率为3（1）求函数fx 的单调区间（用只含有b的式子表示）；（2）当2a时，令 g xfxkx，设1x，2x12xx是函数0g x的两个根，0 x 是1x，2x 的等差中项，求证：0()0g x（()g x 为函数 g x 的导函数）【填空题答案】1.252.72 3.04，4.345.2 6.1921，7.BD（DA）8.充分不必要9.221xy10.10，11.312.513.1614.1515.【解】（1）因为 a(cossin)，b(cossin)，所以11，ab 2 分因为ab，所以 ab=04 分于是222332 34ababa b，故32ab 6分（2）因为 a+bc
8、oscossinsin03，所以coscos0sinsin3，8 分由此得coscos，由 0，得 0，又0，故 10 分代入 sinsin3，得3sinsin212 分而 0，所以233，14 分16.【证】（1）在 P AC 中，因为E，F 分别是 AP，AC 的中点，所以EF/PC 2 分又因为EF平面 PBC，PC平面 PBC，所以/EF平面 PBC5 分（2）连结 CD因为60BAC，ADAC，所以 ACD 为正三角形因为 F 是 AC 的中点，所以DFAC7 分因为平面PAC 平面 ABC，DF平面 ABC，平面 PAC I平面 ABCAC，所以DF平面 PAC 11 分因为DF平
9、面 DEF，所以平面DEF平面 PAC14 分17.【解】（1）由题意知，在OAB 中，OA=120，3060AOBOABoo，于是60AB，而快艇的速度为60 海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛 B 的航行时间为1 小时5 分（2）由（1）知，给养快艇从港口A 驶离 2 小时后，从小岛B 出发与科考船汇合为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇7 分在 OAB 中，可计算得60 3OB，而在 OCB 中，6020(2)30BCtOCtBOCo，9 分由余弦定理，得2222cosBCOBOCOB OCBOC，即2223(60)60320(
10、2)260 320(2)2ttt，亦即285130tt，解得1t或138t（舍去）12 分故23t 即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3 小时能和科考船相遇？14 分18.【解】（1）因为na是等差数列，且77S，而17747()72aaSa，于是41a 2 分设na的公差为d，则由23154a aa得(12)(1)5134ddd，化简得282790dd，即(3)(83)0dd，解得3d或38d，但若38d，由41a知不满足“数列na的各项均为整数”，故3d 5 分于是4(4)311naandn7 分（2）因为+12(3)(6)189mmmmmmmmaaaaaaaa，3113(4)1nann，
11、10 分所以要使+12mmmaaa为数列na中的项，18ma必须是 3 的倍数，于是ma 在1236，中取值，但由于1ma是 3 的倍数，所以1ma或2ma由1ma得4m；由2ma得3m 13 分当4m时，+1213471mmmaaaa；当3m时，+123142mmmaaaa所以所求m 的值为 3 和 416 分另解：因为2+12(38)(35)(311)9(311)18311311mmmaammmmamm1823332323113(4)1mmmm，所以要使+12mmmaaa为数列na中的项，2333(4)1m必须是 3 的倍数，于是 3(4)1m只能取 1 或2（后略）19.【解】（1）由题
12、意，可设椭圆C 的方程为22221(0)yxabab，焦距为 2c，离心率为e于是2b设椭圆的右焦点为F，椭圆上点P 到右准线距离为d，则AFeAFe dd，于是当d 最小即 P 为右顶点时，PF 取得最小值，所以51ac3 分因为222515221acabbcabc，所以椭圆方程为22154xy5 分（2）设原点O到直线AB的距离为h，则由题设及面积公式知OA OBhAB当直线OA的斜率不存在或斜率为0时，52OAOB，或52OBOA，于是2 52 5345d7 分当直线OA的斜率k存在且不为0时，则22222115454xyxk xykx，解得222221154154AAxkkyk，同理2
13、22221115411154BBxkkyk，9 分在 RtOAB 中，22222222OAOBOAOBhABOAOB，则222222222222222111111115544545411111kkkOAOBkhOAOBOAOBkkkk221111454511945201kk，所以2 53h综上，原点O到直线AB的距离为定值2 5311 分另解：2222222222222222222111111111554411111111155441115544kkkkOAOBkkhOAOBkkkkkkkk222212999920201020kkkk，所以2 53h因为 h为定值，于是求AB的最小值即求OA
14、OB的最小值22OAOB2222222211121114111120400554204kkkkkkkk，令221tkk，则2t，于是22OAOB2204012020 11412041204120400ttttt，14 分因为2t，所以22116002018181OAOB，当且仅当2t，即1k，OA OB取得最小值409，因而min404 5932 53AB所以AB的最小值为4 5316 分 20.【解】（1）函数 fx 的定义域为0，2afxbxx，则2432afb，即86ab于是2286bxbfxx2 分当0b时，60fxx，fx 在 0，上是单调减函数；当0b时，令0fx，得43bxb（负
15、舍），所以 fx 在430bb，上是单调减函数，在43bb，上是单调增函数；当0b时，若304b，则0fx恒成立，fx 在 0，上单调减函数；若34b，令0fx，得43bxb（负舍），所以fx在430bb，上单调增函数，在43bb，上单调减函数；综上，若0b，fx 的单调减区间为430bb，单调增区间为43bb，；若304b，fx 的单调减区间为0，；若34b，fx 的单调增区间为430bb，单调减区间为43bb，8 分（2）因为286aab，所以1b，即22lng xxxkx 因为 g x 的两零点为1x，2x，则211122222ln02ln0 xxkxxxkx，相减得：221212122
16、 lnln0 xxxxk xx，因为12xx，所以1212122 lnlnxxkxxxx，于是1200012122 lnln242xxg xxkxxxxxA D C B O 112211212121212221222lnlnln1xxxxxxxxxxxxxxxx14 分令120 1xttx，214ln2ln11tttttt，则222141011t tttt t，则t 在 01，上单调递减，则10t，又1220 xx，则00g x命题得证16 分附加题：21A.如图，AB 是圆 O 的直径，D 为圆 O 上一点，过D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点C若 DA=DC，求证：AB=2 BC【
17、证】连结OD，BD，因为 AB 是圆 O 的直径，所以902ADBABOBo，因为 DC 是圆 O 的切线，所以90CDOo因为 AD=DC，所以AC于是 ADBCDO，从而 AB=CO，即 2OB=OB+BC，得 OB=BC故 AB=2 BC10 分21B.已知矩阵 A 的逆矩阵A212143411，求矩阵A 的特征值【解】因为A1A=E，所以 A=(A1)1因为 A212143411，所以 A=(A1)112325 分于是矩阵A 的特征多项式为f()1232=234，8 分令 f()=0，解得 A 的特征值1=1，2=4 10 分21C.在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos3sin
18、xy，（为参数）的左焦点，且与直线423xtyt，（t 为参数）平行的直线的普通方程【解】椭圆的普通方程：221259xy，左焦点(40)F，3 分直线的普通方程：220 xy.6 分设过焦点(40)F，且与直线220 xy平行的直线为20 xy将(40)F，代入20 xy，4.所求直线的普通方程为240 xy10 分21D.已知实数x，y 满足：|x+y|31，1|2|6xy，求证：|y|518【证】3|3|2()(2)2|2|yyxyxyxyxy5 分由题设知|x+y|31，1|2|6xy，从而1153|2366y 故|y|51810 分22从棱长为1 的正方体的8 个顶点中任取不同2 点
19、，设随机变量 是这两点间的距离（1）求概率2P；（2）求 的分布列，并求其数学期望E()【解】（1）从正方体的8 个顶点中任取不同2 点，共有28C28 种因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为2，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612条因此1232287P3 分（2）随机变量的取值共有1，2，3 三种情况正方体的棱长为1，而正方体共有12 条棱，于是1231287P5 分从而33131121777PPP7 分所以随机变量的分布列是1 23P()3737178 分因此33 23331()1237777E10 分23在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C：24yx，F 为其焦点，点E
20、 的坐标为(2，0)，设 M 为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N，链接 ME，NE 并延长分别交抛物线 C 与点 P，Q（1）当 MN Ox 时，求直线PQ 与 x 轴的交点坐标；（2）当直线MN，PQ 的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：122kk【解】（1）抛物线 C：24yx的焦点 F(1，0)当 MN Ox 时，直线MN 的方程为1x将1x代入抛物线方程24yx，得2y不妨设(12)M，(12)N，则直线 ME 的方程为2+4yx，由2244yxyx，解得1x或4x，于是得(44)P，同理得(44)Q，所以直线PQ 的方程为4x故直线 PQ 与 x 轴的交点坐标(4，0)4 分（2）设直线MN 的方程为1xmy，并设11223344()()()()M xyN xyP xyQ xy，由2214404xmyymyyx，得，于是124y y，从而221212144yyx x设直线 MP 的方程为2xt y，由2224804xt yymyyx，得，所以138y y，134x x同理248y y，244x x由，得323241412424yyxxyyxx，4312122143121222114422yyyyyykkxxxxxx，即122kk 10 分精品文档