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第 1 页 共 1 页2021 年广东省高考数学数列复习题17设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为n，这些三角形的个数为an（1）求数列 an的通项公式；（2）在 1，2，100 中任取三个不同的整数，求它们可以是一个三角形的三条边长的概率附：1+22+32+n2=?(?+1)(2?+1)61+23+33+n3=?2(?+1)24【解答】解：（1）设 x，y，n 为满足题意的三角形的边长，不妨设xy n，则 x+y n由题意知：a1a2a30，当 n4 时，且 n 为偶数时，若y?2，z 不存在，若 y=?2+1，r=?2，若?=?2+2，r=?2-1，?2，?2+1，若 yn 1，z2，3，n2，所以：an1+3+（n 3）=(?-2)24当 n4 时，且 n 为奇数时，可得：?=2+4+?+(?-3)=(?-1)(?-3)4，所以数列 an的通项公式为?=0(?=1，2，3)(?-2)24(?4，且?为偶数)(?-1)(?-3)4(?4，且?为奇数)（2）根据求和公式?100=14(22+42+?+982)+14(2 4+4 6+?+96 98)，（12+22+32+492）+12+22+482+（1+2+3+48），=49 50 996+48 49 966+49 482，=49 50 1956所求的概率为?100?1003=65132