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1、垂径定理垂径定理1 1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴是它们的对称轴.2 2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？圆是中心对称图形，圆心是对称中心圆是中心对称图形，圆心是对称中心问题问题 ：你知道赵州桥吗？它是：你知道赵州桥吗？它是13001300多年前我国隋代建造的多年前我国隋代建造的石拱桥，石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的
2、弦的长)为为37.4m37.4m，拱高拱高(弧的弧的中点到弦的距离中点到弦的距离)为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CD AB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 一一（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它
3、的对称轴直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧：，弧：，把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合AM=BM，n由由 CD是直是直径径 CDAB可推得可推得AD=BD.AC=BC，垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？是是不是不是是是不是不是OEDCAB直径平分弦，并且直径平分弦，并且平分及平分及OABCDE即即，垂径定理：垂径
4、定理：垂直于弦的垂直于弦的直径平分弦，并且平分直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD思考：思考：平分弦（不平分弦（不是直径）的直径有是直径）的直径有什么性质？什么性质？如图如图:ABAB是是OO的一条弦，直径的一条弦，直径CDCD交交ABAB于于MM，AM=BMAM=BM垂径定理的推论OABCDM连接连接OAOA，OBOB，则则OA=OB.在在OAM和和OBM中，中，OA=OB，OM=OM，AM=BMOAMOBM.AMO=BMO.CDABO关于直径关于直径CD对
5、称，对称，当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时，点对折时，点A与点与点B重合，重合，AC和和BC重合，重合，AD和和BD重合重合.AC=BC，AD=BD.平分平分弦（不是直径）的直径弦（不是直径）的直径垂直垂直于于弦，并且弦，并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧.（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）讨论讨论（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（2）（3）（5）（1）过圆心（）过圆心（2）垂直于）垂直于弦弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所对优弧分弦所对优弧（5）平分弦）平分弦所对的劣弧所对的劣弧（3）（5）（3）（4）（1）（2）（5）（2）（4）（1）
6、（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）OABCDM每条推论如何用语言表示？（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧（4）（5）（6）（7）（8）（9）根据垂径定理与推论可知对于一个圆和根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说一条直
7、线来说.如果具备如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论推出其他三个结论结论结论一、判断下列说法的正误一、判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直
8、径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 OABCDM3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 .8cmA AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E1 1半径为半径为4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cmAB=4cm，那么圆心那么圆心O O到弦到弦A
9、BAB的距离是的距离是 .2 O的直径为的直径为10cm，圆心，圆心O到弦到弦AB的的 距离为距离为3cm，则弦，则弦AB的长是的长是 .二、填空：二、填空：OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧4 4、O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ .2cm或或14cmEEFABOED油的最大深度油的最大深度ED=ODOE=200(mm)或者油的最大深度或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).(1)在直径为在
10、直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽油后，油面宽AB=600mmAB=600mm，求油的最大深度，求油的最大深度.OE=125(mm)(2)BAOED解：解：练习练习1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE再来！你行吗？再来！你行吗？2：已知：如图，在以：已知：如图，在以O为圆心的两为圆心的两个同心圆中，大圆的弦个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点两点.求证：求证：ACBD.证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CED
11、E.AECEBEDE.所以，所以，ACBDE.ACDBO只需从圆心作一条与弦垂直的线段只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利就可以利用垂径定理来解决有关问题了用垂径定理来解决有关问题了.3、已知：、已知：O中弦中弦ABCD.求证：求证：ACBD证明：作直径证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则则AMBM，CMDM（垂直平分（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）弦的直径平分弦所对的弦）AMCMBMDMACBD.MCDABON夹在两条平行弦间的弧相等夹在两条平行弦间的弧相等.你能用一句话概括这你能用一句话概括这个结论吗？个结论吗？小结小结:解决有关弦的问题，经常需要过圆心解决有关弦的问题，经常
12、需要过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连结半作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.CDABOMNE.ACDBO.ABOC问题问题 ：你知道赵州桥吗？它是：你知道赵州桥吗？它是13001300多年前我国隋代建造的多年前我国隋代建造的石拱桥，石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m37.4m，拱高拱高(弧的弧的中点到弦的距离中点到弦的距离)为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗你能求出赵洲桥主
13、桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在Rt OAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2解：因为解：因为如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论
14、，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高7.218.7说出你这节课的收获和体验，让大家说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！与你一起分享！圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧的两条弧.垂径定理垂径定理:在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为其转化为解直角三角形解直角三角形的问题的问题.根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说说.如果具备如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论