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1、用向量方法解决平面几何问题的三个步骤用向量方法解决平面几何问题的三个步骤建立平面几何与向量的联系，用建立平面几何与向量的联系，用向量向量表示问表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为为向量问题向量问题通过向量通过向量运算运算，研究几何元素之间的关系，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题如距离、夹角等问题把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系转化转化运算运算翻译翻译1.1.平面向量知识框架图平面向量知识框架图实实际际背背景景平面向量平面向量加、减法加、减法数乘数乘定义定义性质性质运算律运算律定义定义性质性质运算律运算律定义定义性质性
2、质运算律运算律共线向量共线向量平面向量基本定平面向量基本定理及坐标表示理及坐标表示向量在几何中的应用向量在几何中的应用向量在物理中的应用向量在物理中的应用向量的基本向量的基本概念概念向量的线性运算向量的线性运算向量的数量积向量的数量积向量的应用举例向量的应用举例向量及其基本概念向量及其基本概念线性运算线性运算向量的数量积向量的数量积基本定理基本定理坐标表示坐标表示向量的应用向量的应用向向 量量实际背景实际背景2.2.平面向量框架图平面向量框架图2.5.2 向量在物理中的应用举例例例3.3.若正方形若正方形OABCOABC的边长为的边长为1 1，点，点D D，E E分别为分别为ABAB，BCBC
3、的中点，试求的中点，试求A AB BC CO O解：解：以以O O为坐标原点，以为坐标原点，以OAOA，OCOC所在的直线为坐标轴建立如图所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，所示的直角坐标系，分析：分析：建立坐标系，利用向量建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角的坐标运算求夹角.探究二：（角度问题）探究二：（角度问题）E ED D 建立适当的坐标系，利用向量运算的坐建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁标形式，可使解题思路明确，过程简洁.提升总结提升总结ABCO如图所示，已知如图所示，已知O O，ABAB为直径，为直径，C C为为O O上任意一上任意一点点.
4、求证求证ACB=90.ACB=90.分析：分析：要证要证ACB=90ACB=90，只需证向量，只需证向量 ，即即 【变式练习变式练习】证明：证明：设设 则则 由此可得：由此可得：即即 ，所以，所以ACB=90.ACB=90.ABCO（r r是圆的半径）是圆的半径）.例例3.3.一个物体受到同一平面内三个力一个物体受到同一平面内三个力 的作用，的作用，沿北偏东沿北偏东4545方向移动了方向移动了8m8m，已知，已知|=2N|=2N，方向为，方向为北偏东北偏东3030，|=4N|=4N，方向为东偏北，方向为东偏北30,|30,|=6N=6N，方向为北偏西，方向为北偏西3030，求这三个力的合力所做
5、的，求这三个力的合力所做的功功.探究二：利用向量研究力的做功问题探究二：利用向量研究力的做功问题分析：分析：用几何法求三个力的合力不方便，建立直用几何法求三个力的合力不方便，建立直角坐标系，先写出三个力的坐标，再求合力的坐角坐标系，先写出三个力的坐标，再求合力的坐标，以及位移的坐标，利用数量积的坐标运算标，以及位移的坐标，利用数量积的坐标运算.南南东东北北西西解：解：建立如图所示的直角坐标系，建立如图所示的直角坐标系，O O 用几何法求合力，一般要通过解三角形求边长用几何法求合力，一般要通过解三角形求边长和夹角，如果在适当的坐标系中，能写出各分力的和夹角，如果在适当的坐标系中，能写出各分力的坐
6、标，则用坐标法求合力，利用坐标运算求数量积坐标，则用坐标法求合力，利用坐标运算求数量积也非常简单也非常简单.【提升总结提升总结】【变式练习变式练习】1.1.一架飞机从一架飞机从A A地向北偏西地向北偏西6060方向飞行方向飞行1 000 km1 000 km到达到达B B地，然后向地，然后向C C地飞行，若地飞行，若C C地在地在A A地的南偏西地的南偏西6060方向，方向，并且并且A A，C C两地相距两地相距2 000 km2 000 km，求飞机从，求飞机从B B地到地到C C地的位移地的位移.位移的方向是南偏西位移的方向是南偏西3030，大小是大小是 km.km.D D东东C CB BA A西西南南北北解：如图，作解：如图，作BDBD垂直于东西基线，垂直于东西基线，2.2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值求有关量的值.