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1、课后提升作业 二十四平面向量应用举例(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们夹角为90时,合力大小为20N,则当它们的夹角为120时,合力大小为()A.40NB.10NC.20ND.10N【解析】选B.|F1|=|F2|=|F|cos45=10,当=120,由平行四边形法则知:|F合|=|F1|=|F2|=10N.2.共点力F1=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg5,1),则共点力对物体做的功W为()A.lg2B.lg5C.1D.2【解析】选D.因为F1+F2=(1,2lg2),所以W=(F1+
2、F2)s=(1,2lg2)(2lg5,1)=2lg5+2lg2=2.3.(2016杭州高一检测)在ABC中,若+=0,则ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为+=0,所以(+)=0,所以=0,所以,所以BAC是直角,ABC是直角三角形.【补偿训练】已知ABC满足=+,则ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【解析】选C.+=(-)=(+)=,又=+,所以=+,即=0,从而.4.已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则点P与ABC的关系为()A.P在ABC内部B.P在ABC外部C.P在AB边所在直线
3、上D.P是AC边的一个三等分点【解析】选D.因为+=,所以+=-,所以=-2=2,所以P是AC边的一个三等分点.5.(2016合肥高一检测)已知,是非零向量且满足(-2),(-2),则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选D.因为(-2),所以(-2)=0,所以-2=0,所以=2,因为(-2),所以(-2)=0,所以-2=0,所以=2,所以=,所以|=|,因为=2=2cosA,所以2cosA=1,cosA=,A=60,所以ABC是等边三角形.6.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为()A.B.2C.5D.10【解
4、析】选C.因为=0,所以ACBD.所以四边形ABCD的面积S=|=2=5.7.已知作用在点A的三个力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1)且A(1,1),则合力f=f1+f2+f3的终点坐标为()A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)【解析】选A.f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力f的终点为P(x,y),则=+f=(1,1)+(8,0)=(9,1).8.在ABC中,=7,|-|=6,则ABC面积的最大值为()A.24B.16C.12D.8【解析】选C.设A,B,C所对边分别为a,b,c,由=7,|-|=6,得bcco
5、sA=7,a=6,SABC=bcsinA=bc=bc=,由余弦定理可得b2+c2-2bccosA=36,由消掉cosA得b2+c2=50,因为b2+c22bc,所以bc25,当且仅当b=c=5时取等号,所以SABC=12,故ABC的面积的最大值为12.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上的两点,且|AB|=,则=.【解析】由题意知,ABC为等边三角形,则=cos120=-.答案:-10.用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N,则每根绳子的拉力大小为.【解析】设两根绳子的拉力分别为F1,F2,灯具的重力为F3,则|F1|=|F2|,|F
6、3|=10,由题意知F1+F2+F3=0,则F3=-(F1+F2),由=+2F1F2+得,|F1|2=100,从而|F1|=10.答案:10N三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016洛阳高一检测)平面直角坐标系xOy中,已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),且.(1)求x与y间的关系.(2)若,求x与y的值及四边形ABCD的面积.【解析】(1)由题意得=+=(x+4,y-2),=(x,y),因为,所以(x+4)y-(y-2)x=0,即x+2y=0(2)由题意得=+=(x+6,y+1),=+=(x-2,y-3),因为,所以=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-
7、3)=0,即x2+y2+4x-2y-15=0由得或当时,=(8,0),=(0,-4),则S四边形ABCD=|=16,当时,=(0,4),=(-8,0),则S四边形ABCD=|=16,所以或四边形ABCD的面积为16.12.如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以A为中点,问与的夹角取何值时,的值最大,并求出这个最大值.【解题指南】以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设出点B,C的坐标,根据数量积公式的坐标表示,写出关于与的夹角的函数关系式,利用函数的知识求解.【解析】以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设AB=c,AC=b,则A(0
8、,0),B(c,0),C(0,b),且PQ=2a,BC=a,设点P(x,y),则Q(-x,-y),所以=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y),所以=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.所以cos=,所以cx-by=a2cos,所以= -a2+ a2cos,故当cos=1,即=0时,最大,其最大值为0.【能力挑战题】如图,用两条同样长的绳子拉一物体,物体受到重力为G.两绳受到的拉力分别为F1,F2,夹角为.(1)求其中一根绳子受的拉力|F1|与|G|的关系式,用数学观点分析F1的大小与夹角的关系.(2)求F1的最小值.(3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G|,求的取值范围.【解析】(1)由力的平衡得F1+F2+G=0,设F1,F2的合力为F,则F=-G.由F1+F2=F且|F1|=|F2|,|F|=|G|,解直角三角形得cos=,所以|F1|=,0180,由于函数y=cos在0180时为减函数,所以逐渐增大时,cos逐渐减小,即逐渐增大.所以增大时,|F1|也增大.(2)由上述可知,当=0时,|F1|有最小值为.(3)由题意,|F1|G|,所以1,即cos1.由于y=cos在0180时为减函数,所以060,所以0120.- 7 -