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1、第十二章第十二章 能量法能量法12-1 概概 述述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能。简称变形能。物体在外力作用下发生变形，物体的变物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即移上所做的功，即U=W12-2 杆件变形能计算杆件变形能计算一、轴向拉伸和压缩一、轴向拉伸和压缩二、扭转二、扭转三、弯曲三、弯曲纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲：横力弯曲：四、组合变形四、组合变形 截面上存在几种内力
2、，各个内力及相应的截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。个内力只对其相应的位移做功。例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端能原理求自由端B的挠度。的挠度。解：解：例：试求图示梁的变形能，并利用功能原例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求理求C截面的挠度。截面的挠度。解：解：例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知截面的垂直位移。已知EI 为常量。为常量。解
3、：解：例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端端的集中力的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求垂直于轴线所在的平面。试求A点的点的垂直位移。已知垂直位移。已知GIp、EI为常量。为常量。解：解：11112222位移互等定理位移互等定理最终变形能与加载顺序无关最终变形能与加载顺序无关123 互等定理互等定理12-4 卡氏定理卡氏定理给给Pn 以增量以增量 dPn，则：，则：1.先给物体加先给物体加P1、P2、Pn 个力，则：个力，则：2.先给物体加力先给物体加力 d dPn，则：，则：一、定理证明一、定理证明 n再给物体加再给物体加P1、P2、Pn 个力，则：个力，
4、则：nn=nPU 卡氏定理卡氏定理应变能对任一外力的偏导数应变能对任一外力的偏导数,等于该力作用点沿该力方向等于该力作用点沿该力方向的位移的位移.二、使用卡氏定理的注意事项：二、使用卡氏定理的注意事项：U整体结构在外载作用下的线整体结构在外载作用下的线 弹性应变能弹性应变能 Pn 视为变量，结构反力和应变能视为变量，结构反力和应变能 等都必须表示为等都必须表示为 Pn的函数的函数 n n为为 Pn 作用点的沿作用点的沿 Pn 方向的方向的变形。变形。当没有与当没有与 n n对应的对应的 Pn 时，先加一沿时，先加一沿 n n 方向的方向的 Pn，求偏导后，求偏导后，再令其为零。再令其为零。n三
5、、特殊结构（杆）的卡氏定理：三、特殊结构（杆）的卡氏定理：例例5 5 结构结构如图，用卡氏定理求如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。面的挠度和转角。变形变形求内力求内力解：求解：求挠度，建坐标系挠度，建坐标系将内力对将内力对PA求偏导求偏导ALPEIxO 求转角求转角 A求内力求内力没有与没有与 A向相对应的力（广义力），加之向相对应的力（广义力），加之。“负号负号”说明说明 A与所加广义力与所加广义力MA反向反向。将内力对将内力对MA求偏导后，令求偏导后，令M A=0求变形（求变形（注意：注意：M A=0）LxO APMA例例6 结构结构如图，用卡氏定理求如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。梁的
6、挠曲线。解：求解：求挠曲线挠曲线任意点的挠度任意点的挠度 f（x）求内力求内力将内力对将内力对P Px x 求偏导后求偏导后，令，令Px=0没没有有与与f（x）相相对对应应的的力力，加加之之。PALxBPx CfxOx1变形（变形（注意：注意：Px=0）12-3 单位载荷法单位载荷法莫尔定理莫尔定理（莫尔积分）（莫尔积分）例：试用莫尔定例：试用莫尔定理计算图理计算图(a)所示所示悬臂梁自由端悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。例：计算图（例：计算图（a）所示开口圆环在）所示开口圆环在 P力作用力作用下切口的张开量下切口的张开量 AB。EI=常数。常数。例：半圆形小曲率曲杆的例：半圆形小曲
7、率曲杆的A端固定，在自由端固定，在自由端作用扭转力偶矩端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其，曲杆横截面为圆形，其直径为直径为d。试求。试求B端的扭转角。已知端的扭转角。已知E、。解：解：例：轴线为半圆形的平面曲杆例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内位于水平面内,在自由端受垂直力在自由端受垂直力P作用。试求自由端作用。试求自由端A的垂直的垂直位移、绕位移、绕x轴的转角和绕轴的转角和绕y轴的转角。已知轴的转角。已知 GIp、EI为常量为常量解：解：(1)(2)(3)12-4 图形互乘法图形互乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：形式的积分：对
8、于等直杆，对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，可以提到积分号外，故只需计算积分故只需计算积分顶点顶点顶点顶点二次抛物线二次抛物线 例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的的挠度和转角。挠度和转角。解：解：例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。和最大转角。解：解：例：试用图乘法求图示悬臂梁中点例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的处的铅垂位移。铅垂位移。解：解：例：图示梁，抗弯刚度为例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载，承受均布载荷荷q及集中力及集中力X作用。用图乘法求：作用。用图乘法求：(1)集中力作用端挠度为零时的集中力作用端挠度为零时的X值；值；(2)集中力作用端转角为零时的集中力作用端转角为零时的X值。值。解：解：(1)(2)