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1、九年级数学锐角的三角函数正切与坡度1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.（难点）学习目标思考：思考：衡量山衡量山“险险”与与“不险不险”的标准是什么呢？的标准是什么呢？想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？铅铅直直高高度度水平宽度水平宽度 梯子与地面的夹角称为倾斜角 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度ACB讲授新课讲授新课正切的定义相关概念问题1:你能比较两个梯子哪
2、个更陡吗？你有哪些办法？ABCDEF倾斜角越大倾斜角越大梯子越陡梯子越陡合作探究1问题问题2:2:如图，梯子如图，梯子ABAB和和EFEF哪个更陡？你是怎样判断的？哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡甲甲乙乙问题问题3:3:如图，梯子如图，梯子ABAB和和EFEF哪个更陡？你是怎样判断的？哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡3m6mDEFC2mB4mA问题问题4:4:你有几种方法比较你有几种方法比较梯子梯子ABAB和和EFEF哪个更陡？哪个更陡？当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.3m2m6m
3、5mABCDEF倾斜角越大，梯子越陡.总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？A AC C1 1C C2 2B B2 2B1 1合作探究2两个直角三角形相似(1)RtAB1C1和RtAB2C2有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?思考：由此你得出什么结论?AB1C2C1B2C3B3相等相似三角形的对应边成比例想一想 在RtABC中,如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做A的正切,记作tanA,即ABCA
4、的对边A的邻边tanA=结论：tanA的值越大，梯子越陡.归纳总结定义中的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，A是一个锐角.2.tanA是一个完整的符号，它表示A的正切.但BAC的正切表示为:tanBAC.1的正切表示为:tan1.3.tanA0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角A的对边与邻边的比（注意顺序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.ABC 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可以等于1，此时为等腰直角三
5、角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.议一议例1：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?解:甲梯中,6m乙8m5m甲13m 乙梯中,tantan,乙梯更陡.提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.典例精析 1.在RtABC中，C=90，AC=7，BC=5，则 tan A=_，tan B=_互余两锐角的正切值互为倒数互余两锐角的正切值互为倒数.2.下图中ACB=90，CDAB,垂足为D.指出A和B的对边、邻边.ABCD(1)tanA=AC()CD()(2)tanB=BC()CD()BCADBDAC练一练4.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的
6、值（）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定ABCC3.已知A,B为锐角，(1)若A=B,则tanA tanB;(2)若tanA=tanB,则A B.=正切通常也用来描述山坡的坡度.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.坡度、坡角w例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,w那么山坡的坡度(即tan)就是:坡角：坡面与水平面的夹角称为坡角；坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切.100m60m概念学习例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为13，坝高BC2米，则斜坡AB的长是()解析：ACB90，坡度为13，B方法总
7、结理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键BC2米，AC3BC326(米)B C A(1)在RtABC中C=90，BC=5,AC=12,tanA=().(2)在RtABC中C=90，BC=5,AB=13,tanA=(),tanB=().(3)在RtABC中C=90，BC=5,tanA=,AC=().1.完成下列填空：当堂练习当堂练习2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A.B.C.D.D这个图呢？3.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为 ，则 =_.M记得构造直角三角形哦！4.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.
8、已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).ABC解：5.在等腰ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.ACBD解：如图，过点A作ADBC于点D，在RtABD中，易知BD=5，AD=12.6.在RtABC中,C=90,AB=15,tanA=,求AC和BC.4kACB153k7.如图,正方形ABCD的边长为4,点N在BC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1，求tanADN的值.ADBNMC解：由正方形的性质可知，ADN=DNC，BC=DC=4，M、N两点关于对角线AC对称,BN=DM=1.如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点,点A(5,0)，O是坐标原点，PAO 的面积为S.（1）求S与x的函数关系式；（2）当S=10时,求tanPAO 的值.M解：(1)过点P作PMOA于点M，能力提升（2）当S=10时,求tanPAO 的值.M解：又点P在直线y=-x+6上，x=2.AM=OA-OM=5-2=3.课堂小结课堂小结正切定义坡度A越大，tanA越大,梯子越陡与 梯 子 倾 斜程 度 的 关 系