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1、随机变量概念的提出和研究在概率论史经历了一随机变量概念的提出和研究在概率论史经历了一个相当长的过程，并引起过不少争议。个相当长的过程，并引起过不少争议。在许多随机试验中，往往将每种试验结果与另一个在许多随机试验中，往往将每种试验结果与另一个数相关联数相关联:赌博时投掷硬币，赌博时投掷硬币，人们总是将正面和反面转化成赢人们总是将正面和反面转化成赢和输了多少钱联系起来和输了多少钱联系起来；摸球中奖活动，摸球中奖活动，人们摸中红球、白球、黑球等时，人们摸中红球、白球、黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起来总是和中几等奖、多少奖金联系起来。x abc 34 2 1给随机试验的每个结果都赋予一个数值
2、，在样本空间给随机试验的每个结果都赋予一个数值，在样本空间 和实数值建立一种对应关系和实数值建立一种对应关系随机变量是我们应用数学理论和方法来深入和随机变量是我们应用数学理论和方法来深入和系统地研究随机试验规律的基础。系统地研究随机试验规律的基础。泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏:某人有某人有12品脱啤酒一瓶，想从中倒出品脱啤酒一瓶，想从中倒出6品脱。但是他品脱。但是他没有没有6品脱的容器，只有一个品脱的容器，只有一个8品脱和一个品脱和一个5品脱的容品脱的容器。怎样的倒法才能使器。怎样的倒法才能使8品脱的容器中恰好装好了品脱的容器中恰好装好了6品脱啤
3、酒？品脱啤酒？（品脱是英容量单位，（品脱是英容量单位，1品脱品脱=0.568升）升）对这个数学游戏的研究竟决定了泊松一生的道路，对这个数学游戏的研究竟决定了泊松一生的道路，从此他决心要当一位数学家。从此他决心要当一位数学家。决定一生道路的一个数学游戏决定一生道路的一个数学游戏决定一生道路的一个数学游戏决定一生道路的一个数学游戏常原来确定常原来确定F(x)中的未知中的未知参数参数性质：性质：二、一维连续型随机变量常用的分布二、一维连续型随机变量常用的分布1）均匀分布：）均匀分布：P(x)o例例1F(x)o说明说明什么什么?指数分指数分布无记布无记忆性忆性指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性:（1
4、 1）p(x)是偶函数是偶函数，曲线关于曲线关于y轴对称轴对称；“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”的曲线的曲线当当XN(0,1)时，其分布函数为时，其分布函数为正态分布表正态分布表 决定图形的中心位置，决定图形的中心位置，决定图形的陡峭程度决定图形的陡峭程度正态分布正态分布呈现呈现”中间高中间高,两头低两头低”的状态的状态,它描述它描述了自然界大量存在的随机现象了自然界大量存在的随机现象,也是自然界一种正也是自然界一种正常状态的分布常状态的分布.用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图红线是拟合的正红线是拟合的正态密度曲线态密度曲线
5、可见，大学生的身高应服从正态分布。可见，大学生的身高应服从正态分布。标准化后再查表标准化后再查表例 公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?例例=0.6826=0.9544=0.9974几乎是必然要出现的事件几乎是必然要出现的事件.如果如果X随机地取一个值随机地取一个值不在上述范围内不在上述范围内,要求要求1.能利用性质确定能利用性质确定F(x)与与p(x)中的未知参数中的未知参数2.F(x)与与p(x)的关系；的关系；3.会求会求X在某范围内的概率；在某范围内的概率；4.熟悉常见分布均匀分布，指数分布，正态分熟悉常见分布均匀分布，指数分布
6、，正态分布的背布的背景与用途景与用途 高高高高斯斯斯斯（Gauss,Gauss,Gauss,Gauss,17771777177717771855185518551855 ）德德德德国国国国天天天天才才才才数数数数学学学学家家家家、天天天天文文文文学学学学家家家家和和和和物物物物理理理理学学学学家家家家.1799179917991799年年年年高高高高斯斯斯斯于于于于黑黑黑黑尔尔尔尔姆姆姆姆施施施施泰泰泰泰特特特特大大大大学学学学因因因因证证证证明明明明代代代代数数数数基基基基本本本本定定定定理理理理获获获获博博博博士士士士学学学学位位位位.从从从从1807180718071807年年年年起起起
7、起担担担担任任任任格格格格丁丁丁丁根根根根大大大大学学学学教教教教授授授授兼格丁根天文台台长直至逝世兼格丁根天文台台长直至逝世兼格丁根天文台台长直至逝世兼格丁根天文台台长直至逝世.高高高高斯斯斯斯和和和和牛牛牛牛顿顿顿顿、阿阿阿阿基基基基米米米米德德德德，被被被被誉誉誉誉为为为为有有有有史史史史以以以以来来来来的的的的三三三三大大大大数数数数学学学学家家家家.高高高高斯斯斯斯是是是是近近近近代代代代数数数数学学学学奠奠奠奠基基基基者者者者之之之之一一一一，在在在在历历历历史史史史上上上上影影影影响响响响之之之之大大大大，可可可可以以以以和和和和阿阿阿阿基基基基米米米米德德德德、牛顿、欧拉并列，
8、有牛顿、欧拉并列，有牛顿、欧拉并列，有牛顿、欧拉并列，有“数学王子数学王子数学王子数学王子”之称之称之称之称.在在在在全全全全世世世世界界界界广广广广为为为为流流流流传传传传的的的的一一一一则则则则故故故故事事事事说说说说，高高高高斯斯斯斯10101010岁岁岁岁时时时时算算算算出出出出数数数数学学学学老师布特纳给学生们出的算术题老师布特纳给学生们出的算术题老师布特纳给学生们出的算术题老师布特纳给学生们出的算术题1+2+1+2+1+2+1+2+100+100+100+100布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案布
9、特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案.不不不不过过过过，这这这这很很很很可可可可能能能能是是是是一一一一个个个个不不不不真真真真实实实实的的的的传传传传说说说说。据据据据对对对对高高高高斯斯斯斯素素素素有有有有研研研研究究究究的的的的著著著著名名名名数数数数学学学学史史史史家家家家ETETETET贝贝贝贝尔尔尔尔(E.T.Bell)(E.T.Bell)(E.T.Bell)(E.T.Bell)考考考考证证证证,布布布布特特特特纳纳纳纳当当当当时给孩子们出的是一道更难的加法题：时给孩子们出的是一道更难的加法题：时给孩子们出的是一道更难的加法题：时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+814
10、95+81693+10089981297+81495+81693+100899这这这这也也也也是是是是一一一一个个个个等等等等差差差差数数数数列列列列的的的的求求求求和和和和问问问问题题题题（公公公公差差差差为为为为198,198,198,198,项项项项数数数数为为为为100100100100）。当当当当布布布布特特特特纳纳纳纳刚刚刚刚一一一一写写写写完完完完时时时时，高高高高斯斯斯斯也也也也算算算算完完完完并并并并把把把把写写写写有有有有答答答答案案案案的的的的小小小小石石石石板板板板交交交交了上去。了上去。了上去。了上去。这说明高斯这说明高斯这说明高斯这说明高斯10101010岁就掌握了
11、等差数列求和公式岁就掌握了等差数列求和公式岁就掌握了等差数列求和公式岁就掌握了等差数列求和公式.1788178817881788年年年年，高斯年仅，高斯年仅，高斯年仅，高斯年仅11111111岁发现了二项式定理岁发现了二项式定理岁发现了二项式定理岁发现了二项式定理.1794179417941794年年年年，开始研究测量误差，开始研究测量误差，开始研究测量误差，开始研究测量误差,提出最小二乘法提出最小二乘法提出最小二乘法提出最小二乘法.1795179517951795年年年年，18181818岁时高斯发明了用圆规和直尺作正岁时高斯发明了用圆规和直尺作正岁时高斯发明了用圆规和直尺作正岁时高斯发明了
12、用圆规和直尺作正17171717边形的边形的边形的边形的 方法，从而解决了方法，从而解决了方法，从而解决了方法，从而解决了2000200020002000年来悬而未解的难题年来悬而未解的难题年来悬而未解的难题年来悬而未解的难题.1799179917991799年年年年,他证明了代数学的一个基本定理：实系数代数他证明了代数学的一个基本定理：实系数代数他证明了代数学的一个基本定理：实系数代数他证明了代数学的一个基本定理：实系数代数 方程必有根，因而获得博士学位方程必有根，因而获得博士学位方程必有根，因而获得博士学位方程必有根，因而获得博士学位.1801180118011801年年年年,出版了算术研
13、究一书，开创了近代数论，这出版了算术研究一书，开创了近代数论，这出版了算术研究一书，开创了近代数论，这出版了算术研究一书，开创了近代数论，这本书所讨论的内容成为直到本书所讨论的内容成为直到本书所讨论的内容成为直到本书所讨论的内容成为直到20202020世纪数论研究的方向世纪数论研究的方向世纪数论研究的方向世纪数论研究的方向.1818181818181818年年年年,他他他他提提提提出出出出了了了了关关关关于于于于非非非非欧欧欧欧几几几几里里里里德德德德可可可可能能能能性性性性的的的的思思思思想想想想，是是是是非非非非欧欧欧欧几何学的创始人之一几何学的创始人之一几何学的创始人之一几何学的创始人之
14、一 ;1827182718271827年年年年,他他他他又又又又建建建建立立立立了了了了微微微微分分分分几几几几何何何何中中中中关关关关于于于于曲曲曲曲面面面面的的的的系系系系统统统统理理理理论论论论创立了微分几何创立了微分几何创立了微分几何创立了微分几何;1831183118311831年年年年，他建立了复数的代数学，他建立了复数的代数学，他建立了复数的代数学，他建立了复数的代数学；另外，他沿着拉普拉斯的思想，继续发展了概率另外，他沿着拉普拉斯的思想，继续发展了概率另外，他沿着拉普拉斯的思想，继续发展了概率另外，他沿着拉普拉斯的思想，继续发展了概率论。此外，他还研究了向量分析，关于正态分布的
15、正规论。此外，他还研究了向量分析，关于正态分布的正规论。此外，他还研究了向量分析，关于正态分布的正规论。此外，他还研究了向量分析，关于正态分布的正规曲线、质数定理的验算等。曲线、质数定理的验算等。曲线、质数定理的验算等。曲线、质数定理的验算等。高高高高斯斯斯斯去去去去世世世世后后后后，人人人人们们们们建建建建立立立立了了了了以以以以正正正正17171717边边边边形形形形棱棱棱棱柱柱柱柱为为为为基基基基座座座座的的的的高斯像，以纪念这位伟大的数学家。高斯像，以纪念这位伟大的数学家。高斯像，以纪念这位伟大的数学家。高斯像，以纪念这位伟大的数学家。(X，Y)PX Y分布函数分布函数计算概率的计算概
16、率的主要方法主要方法例例设设(X,Y)的分布律为的分布律为求求(X,Y)关于关于X及及Y的边缘分布律。的边缘分布律。求求(X,Y)关于关于X及及Y的边缘分布函数。的边缘分布函数。求导求导求积分求积分例例设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布密度为的分布密度为求求(X,Y)关于关于X及及Y的边缘分布密度。的边缘分布密度。三、两个随机变量相互独立三、两个随机变量相互独立四、多个随机变量相互独立四、多个随机变量相互独立随机变量的概率分布（一、二维）随机变量的概率分布（一、二维）离散型离散型连续型连续型分布律分布律分布密度分布密度分布函数分布函数0-1分布分布二项分布二项分布Poission分布分布几何分布几何分布超几何分布超几何分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布二维随机变量的相互独立二维随机变量的相互独立离散型离散型连续型连续型边缘分布律边缘分布律边缘分布密度边缘分布密度边缘分布函数边缘分布函数本章习题：本章习题：