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1、第2章 随机变量及其分布第1页，本讲稿共84页一、随机变量一、随机变量二、离散型随机变量及其分布律二、离散型随机变量及其分布律三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量及其概率密度四、连续型随机变量及其概率密度五、随机变量的函数的分布五、随机变量的函数的分布主要内容主要内容第2页，本讲稿共84页第一节第一节 随机变量随机变量第3页，本讲稿共84页 为了全面研究随机试验的结果为了全面研究随机试验的结果,揭示随机现揭示随机现象的统计规律性象的统计规律性,将随机试验的结果与实数对应将随机试验的结果与实数对应起来起来,即将随机试验的结果即将随机试验的结果数量化数量化,引入随机变引入
2、随机变量的概念量的概念.第4页，本讲稿共84页 在随机试验完成时在随机试验完成时,人们常常不是关心人们常常不是关心试验结果本身试验结果本身,而是对于试验结果联系而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣着的某个数感兴趣.这样，我们可以引进这样，我们可以引进一个变量来表示它的各种结果一个变量来表示它的各种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化.第5页，本讲稿共84页例例1 在一袋中装有编号分别为在一袋中装有编号分别为1,2,3的的3只球只球.在袋中任取一只球在袋中任取一只球,放回放回.再取一只球再取一只球,记录它们的记录它们的编号编号.计算两只球的号码之和计算两只球的号码之和.试验
3、的样本空间试验的样本空间S=e=i,j,i,j=1,2,3.这里这里i,j分分别表示第一别表示第一,二球的号码二球的号码.以以X记两球号码之和记两球号码之和,对于对于每一个样本点每一个样本点e,X都有一个值与之对应都有一个值与之对应,如右上图所如右上图所示示.123i123423453456j第6页，本讲稿共84页 在有些试验中，试验结果表面上看来与数值无关，在有些试验中，试验结果表面上看来与数值无关，仍然可以将结果数值化。仍然可以将结果数值化。例例2 2 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.我们引入记号：我们引入记号：显然，该试验有两个可能的结果：显然，该试验有
4、两个可能的结果：于是我们就可以用于是我们就可以用表示出现的是正面，表示出现的是正面，而用而用表示出现的是反面。表示出现的是反面。X就是一个随机变量。就是一个随机变量。第7页，本讲稿共84页又如：又如：将一枚硬币掷三次将一枚硬币掷三次,观察正面观察正面H,反面反面T出现的情况出现的情况.样本空间S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT;若记若记X为三次出现正面的总数，那么，对于样本空间为三次出现正面的总数，那么，对于样本空间S=e中的每一个样中的每一个样本点本点e，X都有一个数与之对应。都有一个数与之对应。X是定义在样本空间是定义在样本空间S上的一个实值单上的一个实值单
5、值函数。它的定义域是样本空间值函数。它的定义域是样本空间S，值域是集合，值域是集合0，1，2，3.使用使用函数记号可以写成：函数记号可以写成：第8页，本讲稿共84页 定义定义 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S，若对于每一个，若对于每一个eS,有一个实数有一个实数X(e)与之对应与之对应,即即X=X(e)是定义在是定义在S上的单值实函数，称它为上的单值实函数，称它为随机变量随机变量(random variable,简记为简记为r.v.)。X(e)Re.随机变量随机变量X 是上的映射 第9页，本讲稿共84页 随机变量的取值随试验结果而定随机变量的取值随试验结果而定,而试验的各个结果
6、出现而试验的各个结果出现有一定的概率有一定的概率,因而随机变量的取值有一定的概率因而随机变量的取值有一定的概率.例如例如,在在例例2中中X取值为取值为2,记成记成X=2,对应于样本点的集合对应于样本点的集合A=HHT,HTH,THH,这是一个事件这是一个事件,当且仅当事件当且仅当事件A发生时有发生时有X=2.则称则称P(A)=PHHT,HTH,THH为为X=2的概率的概率,即即P(X=2)=P(A)=3/8.一般一般,若若L是一个实数集合是一个实数集合,将将X在在L上取值写成上取值写成X L.它它表示事件表示事件B=e|X(e)L,即即B是由是由S中使得中使得X(e)L的所的所有样本点有样本点
7、e所组成的事件所组成的事件.此时有此时有PX L=P(B)=Pe|X(e)L,随机变量的取值随试验的结果而定随机变量的取值随试验的结果而定,在试验之前不能预知它在试验之前不能预知它取什么值取什么值,且它的取值有一定的概率且它的取值有一定的概率.此性质说明随机变量此性质说明随机变量与普通函数有本质的差异与普通函数有本质的差异.第10页，本讲稿共84页 (1)随机变量是一个函数随机变量是一个函数,但普通函数是定义在实数但普通函数是定义在实数轴上的轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的样本空间的元素不一定是实数元素不一定是实数).随机变量与普通函数的区别随机
8、变量与普通函数的区别:(2)随机变量随机变量X 的可能取值不止一个的可能取值不止一个,试验前只能预试验前只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值知它的可能的取值，但不能预知取哪个值(3)X 以一定的概率取某个值以一定的概率取某个值.第11页，本讲稿共84页第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量 及其分布律及其分布律离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量表示方法离散型随机变量表示方法三种常见分布三种常见分布第12页，本讲稿共84页如果随机变量如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值，只取有限或可列无穷多个值，则称则称X为为离散型随机变量离散型随机变量.对于离散型随
9、机变量，关键是要确定：对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？）所有可能的取值是什么？2）取每个可能值的概率是多少？）取每个可能值的概率是多少？称之为离散型随机变量称之为离散型随机变量X的的分布律分布律。第13页，本讲稿共84页或写成如下的表格形式：或写成如下的表格形式：第14页，本讲稿共84页例例3 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投，求他两次独立投篮投中次数篮投中次数X的概率分布的概率分布.解：解：X可取值为可取值为0,1,2;PX=0=(0.1)(0.1)=0.01 PX=1=2(0.9)(0.1)=0.18 PX=2=(0.9
10、)(0.9)=0.81第15页，本讲稿共84页下面下面给给出几种常出几种常见见的离散型随机的离散型随机变变量的概率分布。量的概率分布。背景：一次试验的成功次数背景：一次试验的成功次数X所服从的分布所服从的分布.分布律为分布律为或用公式表示或用公式表示(1)0-1分布分布 如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率为为p，则成功的次数，则成功的次数 服从参数为服从参数为p的的0-1分布。分布。第16页，本讲稿共84页 0-1分布是最简单的一种分布分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可任何一个只有两种可能结果的随机现象能结果的随机现象,
11、比如新生婴儿是男还是女、明天是否比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等下雨、种籽是否发芽等,都可以用服从两点分布的随机变都可以用服从两点分布的随机变量来描述量来描述.说明第17页，本讲稿共84页例例4 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格品件不合格品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那末那末,若规定若规定取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.第18页，本讲稿共84页（2 2）二项分布）二项分布(Binomial Distribution)背景：背景：n重伯努利试验中的成功次数重伯努利
12、试验中的成功次数X所服从的分布所服从的分布.若随机变量若随机变量的分布律为：的分布律为：则称随机变量则称随机变量服从参数为服从参数为n,p的二项分布，的二项分布，记为或注意，当n=1时二项分布就是0-1分布。第19页，本讲稿共84页例例5 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所取的个，求在所取的3个中恰有个中恰有2个次品的概个次品的概率率.解解:因为这是有放回地取因为这是有放回地取3次，因此这次，因此这3 次试验次试验的条件完全相同且独立，它是伯努利试验的条件完全相同且独立，它是伯努利试验.依题意，每次试验取到
13、次品的概率为依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设设X为所取的为所取的3个中的次品数，个中的次品数，于是，所求概率为于是，所求概率为：则则X B(3,0.05)，第20页，本讲稿共84页解解因此因此例例6第21页，本讲稿共84页(三三)泊松分布泊松分布 设随机变量设随机变量X所有可能取的值为所有可能取的值为0,1,2,.,而取各个值而取各个值的概率为的概率为 其中其中l l0是常数是常数.则称则称X服从参数为服从参数为l l的泊松分布的泊松分布,记为记为Xp p(l l).第22页，本讲稿共84页电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震次数地震
14、次数火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.第23页，本讲稿共84页例例7 已知已知 服从泊松分布，且服从泊松分布，且求解：解：第24页，本讲稿共84页泊松（泊松（Poisson）定理：）定理：设设0是一常数是一常数,n是任意正整数是任意正整数,设设npn=,则对于任一固定的非负整数则对于任一固定的非负整数k,有有 通常
15、在通常在n比较大比较大,p很小时很小时,用泊松分布近似代替二项用泊松分布近似代替二项分布的公式分布的公式,其中其中l l=np.泊松分布的方便之处在于有现泊松分布的方便之处在于有现成的分布表可查成的分布表可查(见见P383附表附表3)第25页，本讲稿共84页例例8 计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率达次品率达0.1%，各芯片成为次品相互独立。求在，各芯片成为次品相互独立。求在1000只产品中至少有只产品中至少有2只次品的概率。只次品的概率。解：以解：以 X记次品只数，则记次品只数，则第26页，本讲稿共84页第27页，本讲稿共84页课堂练习
16、 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l=10的泊松分布。为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？附解由附录的泊松分布表知 只要在月底进货15件(假定上月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销。第28页，本讲稿共84页第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数第29页，本讲稿共84页背景：背景：对于非离散型随机变量对于非离散型随机变量X,由于其可能取的值不能一个一个由于其可能取的值不能一个一个地列举出来地列举出来,因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它来描述它
17、.另外另外,通常所遇到的非离散型随机变量，取任通常所遇到的非离散型随机变量，取任一指定的实数值的概率都等于一指定的实数值的概率都等于0.此时，我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的此时，我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率概率,Px1X x2.由于由于 Px1X x2=PX x2-PX x1.所以我们只需知道所以我们只需知道PX x2和和PX x1就可以了就可以了.由此引由此引出分布函数的概念出分布函数的概念.第30页，本讲稿共84页为为X 的的分布函数分布函数。设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，定义定义是任意实数，则称函数是任意实数，则称函数随机变量落在区间里的概率
18、：随机变量落在区间里的概率：如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间 内的概率内的概率第31页，本讲稿共84页分布函数完整地描述了随机变量的统计分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，通过它，我们可以用高等数学规律性，通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量的工具来研究随机变量.X 的分布函数分布函数。第32页，本讲稿共84页分布函数分布函数F(x)具有以下的基本性质具有以下的基本性质:1、F(x)是一个不减函数是一个不减函数.对于任意实数对于任意实数x1,x2(x1x2)有有 F(x2
19、)-F(x1)=Px1X x2 0.2、0 F(x)1,且且xXO3、F(x+0)=F(x),即即F(x)是右连续的是右连续的第33页，本讲稿共84页解解:例例9 已知随机变量已知随机变量X 的分布律为的分布律为求分布函数求分布函数第34页，本讲稿共84页 的图形是阶梯状的图形的图形是阶梯状的图形,在在 x=0，1，2 处处有跳跃，其跃度分别等于有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0),P(X=1),P(X=2).F(x)右连续分布函数图分布函数图第35页，本讲稿共84页设离散型设离散型 r.v X 的分布律是的分布律是P X=xk =pk ,k=1,2,3,F(x)=P(X x)=即即F(x)是
20、是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和的概率之和.一般地一般地一般地一般地则其分布函数则其分布函数第36页，本讲稿共84页例10 在区间1,5上任意掷一个质点,用X表示这个质点与原点的距离,则X是一个随机变量.如果这个质点落在1,5上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比，求X的分布函数。第37页，本讲稿共84页解第38页，本讲稿共84页第39页，本讲稿共84页 另外另外,容易看到本例中的分布函数容易看到本例中的分布函数F(x)对于任意对于任意x可以可以写成形式写成形式其中其中 这就是说这就是说,F(x)是非负函数是非负函数f(t)在区间在区间(-,x)上的积分上的积分,在这种情况下我
21、们称在这种情况下我们称X为连续型随机变量为连续型随机变量.第40页，本讲稿共84页第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度第41页，本讲稿共84页一、概率密度及其性质一、概率密度及其性质定义定义 如果随机变量如果随机变量 X 的分布函数可表示成的分布函数可表示成其中其中为非负的函数为非负的函数,则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量,f(x)称为称为X的的概率密度函数概率密度函数,简称为简称为概率密度概率密度或或密度密度.记作记作第42页，本讲稿共84页概率密度函数概率密度函数f(x)的基本性的基本性质质：这两条性质是判定这两条性质是判定一个函数一个函数 f(x)
22、是是否为某随机变量否为某随机变量的概率密度的充的概率密度的充要条件要条件.第43页，本讲稿共84页另外另外,连续型随机变量还具有如下连续型随机变量还具有如下重要重要性质性质:第44页，本讲稿共84页 若若 f(x)在点在点 x 处续处续,则有则有第45页，本讲稿共84页(1)连续型连续型r.v取任一指定实数值取任一指定实数值a 的概率均为的概率均为0.即即这是因为这是因为请注意请注意:当当 时时得到得到概率为概率为0 的事件未必不发生的事件未必不发生.第46页，本讲稿共84页(2)对连续型对连续型 r.v X,有有 连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关.第47页，本讲稿共84页
23、例例1111 设随机变量设随机变量X X具有概率密度具有概率密度第48页，本讲稿共84页解：解：第49页，本讲稿共84页（2）X的分布函数为的分布函数为第50页，本讲稿共84页第51页，本讲稿共84页三种重要的连续型随机变量：三种重要的连续型随机变量：1、均匀分布、均匀分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度Oabxf(x)则称则称X在区间在区间(a,b)上服从上服从均匀分布均匀分布,记为记为XU(a,b).第52页，本讲稿共84页 如如X X U U(a a,b b),),则它落在则它落在(a a,b b)中任意子区间内的概率只依中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长
24、度而与子区间的位置无关赖于子区间的长度而与子区间的位置无关.任给长度为任给长度为l l的的子区间子区间(c c,c c+l l),),a a c c 00为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为q q的的指数分布指数分布.容易得容易得到到X的分布函数为的分布函数为第56页，本讲稿共84页指数分布的另一种形式指数分布的另一种形式此时的分布函数为此时的分布函数为第57页，本讲稿共84页如如X服从指数分布服从指数分布,则任给则任给s,t0,有有 PXs+t|X s=PX t事实上事实上此性质称为此性质称为无记忆性无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用指数分布在可靠性理论和排队论中有
25、广泛的运用.第58页，本讲稿共84页3 3、正态分布、正态分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中m m,s s(s s0)0)为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为m m,s s的正态分布或高的正态分布或高斯斯(Gauss)分布分布,记为记为X N N(m m,s s2 2).).显然显然f(x)0,0,下面来证明下面来证明令(x-m)/s=t,得到第59页，本讲稿共84页曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称；函数函数 在在 上单调增加上单调增加,在在 上上单调减少单调减少,在在 取得最大值取得最大值正态分布概率密度曲线图正态分布概率密度曲线图:第60页，
26、本讲稿共84页 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形中峰决定了图形中峰的陡峭程度的陡峭程度.正态分布正态分布概率密度曲线特点概率密度曲线特点:第61页，本讲稿共84页正态变量的分布函数为正态变量的分布函数为第62页，本讲稿共84页若则称 服从标准正态分布标准正态分布.其概率密度函数通常用表示,分布函数记作第63页，本讲稿共84页 特别特别,当当m m=0,s s=1时称时称X服从服从标准正态分布标准正态分布.其概率密度其概率密度和分布函数分别用和分布函数分别用j j(x)和和F F(x)表示表示,即有即有易知F(-x)=1-F(x)人们已经编制了F(x)的函数表,可供查用(见
27、附表2,P304).第64页，本讲稿共84页引理引理 若若XN(m m,s s 2),则则证证由此知由此知ZN(0,1).第65页，本讲稿共84页若若XN(m m,s s2),则它的分布函数则它的分布函数F(x)可写成可写成:对于任意区间对于任意区间(x1,x2,有有第66页，本讲稿共84页例如例如,设设XN(1,4),查表得查表得第67页，本讲稿共84页 设设XN(m m,s s2),由由F F(x)的函数表还能得到的函数表还能得到:Pm m-s sXm m+s s=F F(1)-F F(-1)=2F F(1)-1=68.26%Pm m-2s sXm m+2s s=F F(2)-F F(-2
28、)=95.44%Pm m-3s sXm m+3s s=F F(3)-F F(-3)=99.74%我们看到我们看到,尽管正态变量的取值范围是尽管正态变量的取值范围是(-,),但它但它的值落在的值落在(m m-3s s,m m+3s s)内几乎是肯定的事内几乎是肯定的事.这就是人们这就是人们所谈的所谈的3s s法则法则.第68页，本讲稿共84页m m-3s s m m-2s s m m-s sm m+s sm m+2s s m m+3s s68.26%95.44%99.74%第69页，本讲稿共84页例例13 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内.调节器整定在dC,液体的温度X(以C计)是一个
29、随机变量,且XN(d,0.52).(1)若d=90,求X小于89的概率.(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少?解解(1)所求概率为所求概率为第70页，本讲稿共84页(2)按题意需求按题意需求d满足满足第71页，本讲稿共84页课堂练习课堂练习1：解答：解答：第72页，本讲稿共84页练习练习2 2 公共汽车车门的高度是按乘客与车门顶头碰头机会在公共汽车车门的高度是按乘客与车门顶头碰头机会在0.01 以下来设计的以下来设计的.设人的身高设人的身高XN(170,62),),问车门高度问车门高度应如何确定应如何确定?提示：提示：P(X h)0.01或或 P(Xza a
30、=a a,0a a1,则称点则称点za a为标准正态分布的为标准正态分布的上上a a分位点分位点.由由j j(x)的对称性知的对称性知z1-a a=-=-za aza aa aa0.0010.0050.010.0250.050.10za3.0902.5762.3271.9601.6451.282第74页，本讲稿共84页第五节第五节 随机变量的函数的分布函数随机变量的函数的分布函数问题的提出问题的提出离散型离散型r.v.的函数的分布的函数的分布连续型连续型r.v.的函数的分布的函数的分布第75页，本讲稿共84页一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随
31、机变量的函数更感兴趣更感兴趣.求截面面积求截面面积 A=的分布的分布.比如，已知圆钢截面直径比如，已知圆钢截面直径 d 的分布，的分布，本节研究的主要问题：本节研究的主要问题：已知随机变量已知随机变量X的概率分布（分的概率分布（分布律或概率密度），求其函数布律或概率密度），求其函数 的概率分布。的概率分布。第76页，本讲稿共84页一一.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布例例14 设随机变量设随机变量X具有以下的分布律具有以下的分布律 试求试求Y=(X-1)2的分布律的分布律.解：Y所有可能值为0,1,4,由PY=0=P(X-1)2=0=PX=1=0.1,PY=1=PX=0+PX=
32、2=0.7,PY=4=PX=-1=0.2,X-1012pk0.20.30.10.4Y014pk0.10.70.2第77页，本讲稿共84页例例15 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度解：分别记解：分别记X,Y，Z的分布函数为的分布函数为FX(x),FY(y),FZ(y).下面先来求下面先来求FY(y).求变量求变量Y=2X+8及及Z=X2的概率密度的概率密度.二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布第78页，本讲稿共84页将将FY(y)关于关于y求导数求导数,得得Y=2X+8的概率密度为的概率密度为第79页，本讲稿共84页再求再求FZ(z)。Z在区间(0,16)上服从
33、均匀分布第80页，本讲稿共84页练习练习 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x),-x,求求Y=X 2的概率密度的概率密度.结果结果例如例如设设XN(0,1),其概率密度为其概率密度为则则Y=X2的概率密度为的概率密度为此时称此时称Y服从自由度为服从自由度为1的的c c2分布分布.第81页，本讲稿共84页定理定理 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x),-x0(或或恒有恒有g(x)0),则则Y=g(x)是连续型随机变量是连续型随机变量,其概率密度为其概率密度为 其中其中a a=min(g(-),g(),b b=max(g(-),g(),h(y)是是g(x)的反函数的反函数.证明略证明略第82页，本讲稿共84页 例例1616 设随机变量 的概率密度为这里a,b是常数且求 的概率密度解：第83页，本讲稿共84页若则则即即正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量.根据上例可得如下重要结论：根据上例可得如下重要结论：第84页，本讲稿共84页