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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(63)动态几何的定值一、内容提要1. 动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系.用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类.例如： 梯形的中位线，当梯形的上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形的中位线； 两圆相交，两个公共点关于连心线对称，所以连心线垂直平分公共弦，当两个交点距离逐渐变小，直到两点重合时，则两圆相切，这时切点在连心线上； 相交弦定理由于交点位置、个数的变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长定理等等.2. 动态几何的轨迹、极值和定值.几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而
2、有的量却始终保持不变，这就是定值问题.例如：半径等于RA的圆A与半径为RB(RBRA)的定圆B内切.那么：动点A有规律地变化，形成了一条轨迹：以B为圆心，以RBRA的长为半径的圆.而A，B两点的距离，却始终保持不变：AB=RBRA.若另有一个半径为RC的圆 C与圆B外切，则A，C两点的距离变化有一定的范围： RB+RC(RBRA)ACRB+RC+(RBRA).即RC+RAAC2RB+RCRA . 所以AC有最大值：2RB+RCRA ； 且有最小值：RC+RA.3. 解答动态几何定值问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ： 先探求定值.它要用题中固有的几何量表示. 再证明它能成立.探求的
3、方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明. 第二种是采用综合法，直接写出证明.二、例题例1.已知：ABC中，ABAC，点P是BC上任一点，过点P作BC的垂线分别交AB，AC或延长线于E，F.求证：PEPF有定值.分析：（探求定值）用特位定值法. 把点P放在BC中点上.这时过点P的垂线与AB，AC的交点都是点A，PEPF2PA，从而可确定定值是底上的高的2倍.DAEBPCF因此原题可转化：求证：PAPB2AD（AD为底边上的高）.证明：ADPF，；.BCFPA即.PEPF2AD. 把点P放在点B上.这时PE0，PF2AD（三角形中位线性质），结论与相同.还
4、可以由PFBCtanC，把定值定为：BCtanC.即求证PEPFBCtanC.（证明略）同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可.例2.已知：同心圆为O中，AB是大圆的直径，点P在小圆上求证：PA2PB2有定值.分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r. 点P放在直径AB上.得PA2PB2（Rr）2（. Rr）22（R2r2）. 点P放在与直径AB垂直的另一条直径上也可得PA2PB2 R2r2R2r22（R2r2）.证明：设POA，根据余弦定理，得PA2R2r22RrCos，PB2R2r22RrCos(180).Cos(180)Cos.PA2PB22（R2r
5、2）.本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出PA，PB与R,r的关系式，关键是引入参数.例3.已知：ABC中，ABAC，点P在中位线MN上，BP，CP的延长线分别交AC，AB于E，F.求证：有定值，分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a,b,c来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明.证明：设MP为t, 则NP=at.MNBC，.即；=c 是定线段，是定值.即有定值.例4.已知：在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作M的切线，两条切线相交于点C.求证：ACB有定值.分析
6、：M是ABC的内切圆，AMB是以定线段AB为弦的定弧所含的圆周角，它是个定角.(由正弦定理SinAMB=)，所求定值可用它来表示.证明：在ABC中，MAB+MBA=180AMB，M是ABC的内心，CAB+CBA=2(180AMB).ACB=180（CAB+CBA）=1802(180AMB)= 2AMB180.由正弦定理，SinAMB=.弧AB所在圆是个定圆，弦AB和半径R都有定值，AMB有定值.ACB有定值2AMB180.三、练习631.用固有的元素表示下列各题中所求的定值(不写探求过程和证明)：.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是_.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是.正
7、n边形内的任一点到各边距离的和有定值是.延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边，相交得五个角：B1，B2，B3，B4，B5它们的度数和是_，延长凸n边形(n5)的各边相交，得n个角，它们的度数和是_.两个定圆相交于A，B，经过点B任意作一条直线交 一圆于C，交另一圆于D，则有定值是_.在以AB为直径的半圆内，任取一点P，AP，BP的延长线分别交半圆于C，D，则APAC+BPBD有定值是.AB是定圆O的任意的一条弦，点P是劣弧AB上的任一点(不含A和B)，PA，PB分别交AB的中垂线于E，F.则OEOF有定值是_.2.已知：点P是O直径AB上的任一点，过点P的弦CD和AB相交所成的锐角45.求证
8、：PC2+PD2有定值.3.已知：点O是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点P在BC的延长线上，PDBA交BA延长线于D，PEAC交AC的延长线于E.求证：DOE是定角4.已知：点P是线段AB外一点，PDAB于D，且PD=AB，H是PAB的垂心，C是AB的中点.求证：CH+DH是定值.5.已知：AB，CD是O的两条直径，点P是O上任一点(不含A，B，C，D).求证：点P在AB，CD的射影之间的距离是个定值.6.经过XOY的平分线上的任一点A，作一直线与OX，OY分别交于P，Q则OP，OQ的倒数和是一个定值.7. ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1，P2，P100，记mi=A
9、Pi2+BpiPiC (i=1,2,3,100).则m1+m2+m100=. 8. 直角梯形ABCD中，ABCD，DAAB，AB26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动点P和Q，点P在CD上，由D向C以每秒1cm的速度移动，点Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移动.问时间t经过几秒时，BCPQ为平行四边形？等腰梯形？PQ与以AD为直径的圆O相切？相离？相交？练习63参考答案：1腰上的高.一边上的高或3r3 . nrn. 180度，(n4)180度.两圆半径比.AB2 O的半径的平方.2.定值是AB平方的一半，证RtCOMRtOBD，OM=DN.3. 定值是直角，以PA为直径的圆经过A，O，E，P，D五点，PE=AD，AOD=POE . 4.定值是AB的一半，证明 仿例3.5.定值是O的半径与两直径夹角的正弦的积，证明仿例4.6. 定值是(xoy=2)，证明 作AROQ交Dx于R，.7. 4100.