《抽屉原则》配套练习题.docx

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1、抽屉原则配套练习题一、解答题 1、从1,2,3,2012,2013这些自然数中,最多可以取出多少个数,使得其中每两个数的差不等于4? 2、从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12中最多能选出几个数,使得在选出的数中,每一个数都不是另一个数的2倍? 3、从1,3,5,7,97,99中最多可以选出多少个数,使得选出的数中,每一个数都不是另一个数的倍数? 4、从1,2,3,49,50这50个数中取出若干个数,使其中任意两个数的和都不能被7整除,则最多能取出多少个数? 5、有49个小孩,每人胸前有一个号码,号码从1到49各不相同现在请你挑选若干个小孩,排成一个圆圈,使任何相邻两个小孩的号

2、码数的乘积小于100,那么你最多能挑选出多少个孩子? 6、某班有16名学生,每个月教师把学生分成两个小组问最少要经过几个月,才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里? 7、在今年(即2013年)出生的1000个孩子中,请你预测:(1)同在某月某日生的孩子至少有多少个?(2)至少有多少个孩子将来不单独过生日? 8、有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取多少颗?如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出多少颗? 9、从一列数1,5,9,13,93,97中,至少取多少个数其中必有两个数的和等于106 10、

3、一个口袋里面装有卡片,每个卡片上面写着从114的一个正整数,每个数的卡片有5张。现在闭着眼睛从里面随机抽取,问在最坏的情况下,要抽取多少张,才能保证至少有5张卡片上面的数两两互质? 答案部分 一、解答题 1、【正确答案】 1008 【答案解析】 1,2,3,4;9,10,1l,12;17,18,19,20;25,这些数中任何两个数的差都不为4,这些数是每8个连续的数中选取前4个连续的数有201382515,所以最多可以选251441008个数。 【答疑编号10294080】 2、【正确答案】 8 【答案解析】 我们知道选多少个奇数均满足,有1,3,5,7,9,11均为奇数,并且有偶数中4的倍数

4、,但不是8的倍数的也满足,有4,12是这样的数所以,在满足题意情况下最多可以选出8个数 【答疑编号10294081】 3、【正确答案】 33 【答案解析】 利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组(1,3,9,27,81),(5,15,45),(7,21,63),(11,33),(13,39),(17,51),(19,57),(23,69),(25,75),(29,87),(31,93),(35),(37),(41),(43),(97)共33组前11组,每组内任意两个数都存在倍数关系,所以每组内最多只能选择一个数即最多可以选出33个数,使得选出的数中,每一个数都不是另一个数的倍数 【答疑

5、编号10294082】 4、【正确答案】 23 【答案解析】 利用除以7的余数分类:余0:(7,14,21,28,35,42,49);余1:(1,8,15,22,29,36,43,50);余2:(2,9,16,23,30,37,44);余3:(3,10,17,24,31,38,45);余4:(4,11,18,25,32,39,46);余5:(5,12,19,26,33,40,47);余6:(6,13,20,27,34,41,48)第一组内的数最多只能取1个;如果取第二组,那么不能取第七组内任何一个数;取第三组,不能取第六组内任何一个数;取第四组,不能取第五组内任意一个数第二、三、四、五、六、七

6、组分别有8、7、7、7、7、7个数,所以最多可以取187723个数 【答疑编号10294083】 5、【正确答案】 18 【答案解析】 将1至49中相乘小于100的两个数,按被乘数分成9组,如下:(12)、(13)、(14)、(149);(23)、(24)、(25)、(249);(89)、(810)、(811)、(812);(910)、(911)因为每个数只能与左右两个数相乘,也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次,所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中,最多可以取出18个数对,共18236次,但是每个数都出现两次,故出现了18个数例如:(109)、(911)、(18)、(812)、(127)、

7、(713)、(136)、(614)、(145)、(515)、(154)、(416)、(163)、(317)、(172)、(218)、(181)、(110)共出现l18号,共18个孩子若随意选取出19个孩子,那么共有19个号码,由于每个号码数要与旁边两数分别相乘,则会形成19个相乘的数对那么在9组中取出19个数时,有19921,由抽屉原则知,必有三个数对落入同一组中,这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上),由分析知,这是不允许的故最多挑出18个孩子 【答疑编号10294084】 6、【正确答案】 4 【答案解析】 经过第一个月,将16个学生分成两组,至少有8个学生分在同一组,下面只考虑这8

8、个学生经过第二个月,将这8个学生分成两组,至少有4个学生是分在同一组,下面只考虑这4个学生经过第三个月,将这4个学生分成两组,至少有2个学生仍分在同一组,这说明只经过3个月是无法满足题目要求的如果经过四个月,将每个月都一直保持同组的学生一分为二,放人两个组,那么第一个月保持同组的人数为1628人,第二个月保持同组的人数为824人,第三个月保持同组人数为422人,这说明,照此分法,不会有2个人一直保持在同一组内,即满足题目要求,故最少要经过4个月 【答疑编号10294085】 7、【正确答案】 3;636 【答案解析】 因为2013年有365天,故在2013年出生的孩子至少有13(个)孩子的生日

9、相同;又因为1000(3651)636,即至少有363个孩子将来不单独过生日 【答疑编号10294086】 8、【正确答案】 4;7 【答案解析】 将三种不同颜色看作3个抽屉,对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子,一次至少要取1314(颗)珠子对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗,一次至少要取4(1?21)7(颗)珠子 【答疑编号10294087】 9、【正确答案】 15 【答案解析】 给出的数是一个等差数列,它一共有25个数,将这25个组按照和为106分组:(1),(5),(9,97),(13,93),(49,57),(53)在这25个数中任取15个数来,必有两个数属于上述14组中的同一组,故这一组两个数之和是106 【答疑编号10294088】 10、【正确答案】 56 【答案解析】 70张卡片,将14个数分为以下7组1,11,13,(2,4,8),(5,10),(7,14),(3,9,6,12),按上述顺序每种卡片分别取0、0、0、5、5、5、5、5、5、5、5、5、5、5张,此时不互质。如果有56张,上面七组中,至少还有5组中的数,必然能满足题目条件。 【答疑编号10294089】

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