《高考数学(文)一轮复习讲义 第9章9.7 抛物线.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学(文)一轮复习讲义 第9章9.7 抛物线.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的理论背景，了解抛物线在描述幻想世界跟处置理论征询题中的感染.2.操纵抛物线的定义、几多何图形、标准方程及庞杂几多何性质.抛物线的方程、几多何性质及与抛物线相关的综合征询题是命题的抢手.题型既有小巧敏锐的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的不雅观点破体内与一个定点F跟一条定直线l(l不经过点F)的距离相当的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的中心，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几多何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几多何意思：中心F到准线l的距离图形顶点坐标O(0
2、,0)对称轴x轴y轴中心坐标FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口倾向向右向左向上向下不雅观点方法微思索1.假设抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F且与l垂直的直线.2.直线与抛物线只需一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只需一个交点，但不是相切，因此直线与抛物线只需一个交点是直线与抛物线相切的需要不充分条件.题组一思索辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)破体内与一个定点F跟一条定直线l的距离相当的点的轨迹肯定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是中心在
3、x轴上的抛物线，且其中心坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过中心F的弦，假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()(5)过抛物线的中心与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()题组二讲义改编2.过抛物线y24x的中心的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，假设x1x26，那么|PQ|等于()A.9B.8C.7D.6答案B分析抛物线y24x的中心为F(1,0)，准线方程为x1.按照
4、题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.3.假设抛物线y24x的准线为l，P是抛物线上任意一点，那么P到准线l的距离与P到直线3x4y70的距离之跟的最小值是()A.2B.C.D.3答案A分析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到中心F的距离，由抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离.点P到准线l的距离与点P到直线3x4y70的距离之跟的最小值为点F(1,0)到直线3x4y70的距离，即2.应选A.4.已经清楚抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，同时经过点P(2，4)，那么该抛物线的标准方程为_.答案y28x或x2y分析设抛物线方程为y2mx(m0)或x
5、2my(m0).将P(2，4)代入，分不得方程为y28x或x2y.题组三易错自纠5.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，那么点P到该抛物线中心的距离是()A.4B.6C.8D.12答案B分析如以下列图，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的中心，过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，那么|AB|2.由于点P到y轴的距离为4，那么点P到准线l的距离|PB|426，因此点P到中心的距离|PF|PB|6.应选B.6.已经清楚抛物线C与双曲线x2y21有一样的中心，且顶点在原点，那么抛物线C的方程是()A.y22xB.y22xC.y24xD.y24x答案D分析由已经清楚可知双曲线
6、的中心为(，0)，(，0).设抛物线方程为y22px(p0)，那么，因此p2，因此抛物线方程为y24x.应选D.7.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，假设过点Q的直线l与抛物线有大年夜众点，那么直线l的歪率的取值范围是_.答案1,1分析Q(2,0)，当直线l的歪率不存在时，不称心题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y拾掇得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.题型一抛物线的定义跟标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线y24x上的一个动点，假设B(3,2)，那么|PB|PF|的最小值为_.答案4分析如图，过点B作B
7、Q垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|P1F|.那么有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.引申探究1.假设将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值.解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值为2.2.假设将本例中的条件改为：已经清楚抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.解由题意知，抛物线的中心为F(1,0).点P到y轴的距离d1|PF
8、|1，因此d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，因此d1d2的最小值为31.命题点2求标准方程例2设抛物线C：y22px(p0)的中心为F，点M在C上，|MF|5，假设以MF为直径的圆过点(0,2)，那么C的标准方程为()A.y24x或y28xB.y22x或y28xC.y24x或y216xD.y22x或y216x答案C分析由题意知，F，抛物线的准线方程为x，那么由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，因此圆的方程为22，又由于圆过点(0,2)，因此yM4，又由于点M在C上，因此162p，解得p2或p8，因此抛物线C的标准
9、方程为y24x或y216x，应选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值征询题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想中心，看到中心想准线，这是处置与过抛物线中心的弦有关征询题的要紧路途.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是揣摸中心肠位、开口倾向，在方程的典范已经判定的条件下，只需一个条件就可以判定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)假设P1，P2，Pn是抛物线C：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛物线C的中心，假设x1x2xn10，那么|P1F|P2F|PnF|等于()A.n10B.n20C.2n10D.2n20答案A分析抛物线的中心为(1,0)，准
10、线方程为x1，由抛物线的定义，可知|P1F|x11，|P2F|x21，故|P1F|P2F|PnF|n10.(2)如以下列图，过抛物线y22px(p0)的中心F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，假设|BC|2|BF|，且|AF|3，那么此抛物线的标准方程为()A.y2xB.y29xC.y2xD.y23x答案D分析分只是点A，B作AA1l，BB1l，且垂足分不为A1，B1，由已经清楚条件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|，因此BCB130.又|AA1|AF|3，因此|AC|2|AA1|6，因此|CF|AC|AF|633，因此F为线段AC的中点.故点F到准线的距离为p|AA1|，故
11、抛物线的标准方程为y23x.题型二抛物线的几多何性质例3(1)过抛物线y24x的中心F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，假设|AF|3，那么AOB的面积为()A.B.C.D.2答案C分析设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，那么中心坐标为，将x代入y22px可得y2p2，|AB|12，即2p12，因此p6.由于点P在准线上，因此点P到AB的距离为p6，因此PAB的面积为61236.题型三直线与抛物线例4设抛物线的顶点在坐标原点，中心F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线
12、m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点.连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程.解(1)设抛物线的方程是x22py(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1y2p8，又AB的中点到x轴的距离为3，y1y26，p2，抛物线的标准方程是x24y.(2)由题意知，直线m的歪率存在，设直线m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由消去y得x24kx240，(*)易知抛物线在点P处的切线方程为y(xx3)，令y1，得x，R，又Q，F，R三点共线，kQFkFR，又F(0,1)，即(x4)(x4)16x3x40，拾掇得
13、(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40，将(*)式代入上式得k2，k，直线m的方程为yx6.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系跟直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长征询题，要留心直线是否过抛物线的中心.假设过抛物线的中心(设中心在x轴的正半轴上)，可开门见山应用公式|AB|x1x2p，假设只是中心，那么必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关征询题时，一般使用根与系数的关系采用“设而不求、“全部代入等解法.提示：涉及弦的中点、歪率时一般用“点差法求解.(4)设AB是过抛物线y22px(p0)中心F的弦
14、，假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2，y1y2p2.弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾歪角).以弦AB为直径的圆与准线相切.通径：过中心垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过中心最短的弦.跟踪训练3(2018抚顺调研)已经清楚抛物线C：x22py(p0)跟定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)假设N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)假设ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.解(1)可设AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x22pkx2p0，4p2k28p0，显然方
15、程有两不等实根，那么x1x22pk，x1x22p.由x22py得y，那么A，B处的切线歪率乘积为1，那么有p2.(2)设切线AN为yxb，又切点A在抛物线y上，y1，b，yANx.同理yBNx.又N在yAN跟yBN上，解得N.N(pk，1).|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，SABN|AB|d2，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.直线与圆锥曲线征询题的求解策略例(12分)已经清楚抛物线C：ymx2(m0)，中心为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的中心坐标；(2)假设抛物线C上有一点R(xR,2)到中
16、心F的距离为3，求现在m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明因由.标准解答解(1)抛物线C：x2y，它的中心为F.2分(2)|RF|yR，23，得m.4分(3)存在，联破方程消去y得mx22x20(m0)，依题意，有(2)24m(2)8m40恒成破，方程必有两个不等实根.6分设A(x1，mx)，B(x2，mx)，那么(*)P是线段AB的中点，P，即P，Q，8分得，.假设存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，那么0，即0，10分结合(*)式化简得40，即2m23m20，m2或m，m0，m2.存在实数m2，使ABQ是
17、以Q为直角顶点的直角三角形.12分处置直线与圆锥曲线的位置关系的一般步伐第一步：联破方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：按照题目恳求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回想，反省有无忽略专门情况.1.点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A.y12x2B.y12x2或y36x2C.y36x2D.yx2或yx2答案D分析分两类a0，a0)的中心，且与该抛物线交于A，B两点，假设线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，那么此抛物
18、线的方程是()A.y212xB.y28xC.y26xD.y24x答案B分析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，按照抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中点到y轴的距离为2，2，x1x24，p4，所求抛物线的方程为y28x.应选B.3.(2018辽宁五校联考)抛物线x24y的中心为F，过点F作歪率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分订交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，那么AHF的面积是()A.4B.3C.4D.8答案C分析由抛物线的定义可得|AF|AH|，AF的歪率为，AF的倾歪角为30，AH垂直于准线，FAH60，故AHF为等边三角形.设A，m0，过F作FMAH于M，
19、那么在FAM中，|AM|AF|，1，解得m2，故等边三角形AHF的边长|AH|4，AHF的面积是44sin604.应选C.4.抛物线C：y22px(p0)的中心为F，M是抛物线C上的点，假设OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，那么p等于()A.2B.4C.6D.8答案D分析OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.圆的面积为36，圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，6，p8.应选D.5.(2018盘锦模拟)过抛物线y22px(p0)的中心F且倾歪角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分不交于A，B两点，那么的值等于(
20、)A.B.C.D.答案A分析记抛物线y22px的准线为l，如图，作AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分不是A1，B1，C，那么cosABB1，即cos60，由此得.6.已经清楚抛物线C的顶点是原点O，中心F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，假设12，那么抛物线C的方程为()A.x28yB.x24yC.y28xD.y24x答案C分析由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为xmy，联破消去x得y22pmyp20，显然方程有两个不等实根.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1y22pm，y1y2p2，得x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1
21、y2p212，得p4(舍负)，即抛物线C的方程为y28x.7.动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，那么动点P的轨迹方程为_.答案x28y分析动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y2的距离相当.按照抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,2)为中心，以直线y2为准线的抛物线，其标准方程为x28y.8.(2018呼伦贝尔质检)已经清楚F是抛物线y24x的中心，A，B是抛物线上两点，假设AFB是等边三角形，那么AFB的边长为_.答案84或84分析由题意可知点A，B肯定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30，由于y2
22、4x的中心为(1,0)，由化简得y24y40，解得y124，y224，因此AFB的边长为84或84.9.已经清楚直线l：ykxt与圆：x2(y1)21相切，且与抛物线C：x24y交于差异的两点M，N，那么实数t的取值范围是_.答案t0或t0，得t0或t0，得t0或t0或t0)的中心F作直线交抛物线于A，B两点，假设|AF|2|BF|6，那么p_.答案4分析设AB的方程为xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y22pmyp20，因此y1y2p2，4x1x2p2.设抛物线的准线为l，过A作ACl，垂足为C，过B作BDl，垂足为D，由于|AF|2|B
23、F|6，按照抛物线的定义知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，因此x1x23，x1x29p，因此(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.11.已经清楚过抛物线y22px(p0)的中心，歪率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，方程必有两个不等实根.因此x1x2，由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，因此p4，从而抛物线方程为y28x.12.(2018包头模拟)过抛物线C：y24x的中心F且歪率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|8.(1)求l的方程；(2)假设A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐
24、标.解(1)易知点F的坐标为(1,0)，那么直线l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线定义知|AB|x1x228，6，k21，即k1，直线l的方程为y(x1).(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，y1)，直线BD的歪率kBD，直线BD的方程为yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y4x4x1，y4x1，y4x2，x1x21，(y1y2)216x1x216，即y1y24(y1，y2异号)，直线BD的方程为4(x1)(y
25、1y2)y0，恒过点(1,0).13.如以下列图，过抛物线y22px(p0)的中心F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，假设F是AC的中点，且|AF|4，那么线段AB的长为()A.5B.6C.D.答案C分析方法一如以下列图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，因此2p4，解得p2，因此抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AF|x1x114，因此x13，解得y12，因此A(3,2)，又F(1,0)，因此直线AF的歪率k，因此直线AF的方程为y(x1)，代入抛物线方程
26、y24x得，3x210x30，因此x1x2，|AB|x1x2p.应选C.方法二如以下列图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，因此2p4，解得p2，因此抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AF|x1x114，因此x13，又x1x21，因此x2，因此|AB|x1x2p.应选C.方法三如以下列图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，因此2p4，解得p2，因此抛物线的方程为y24x.由于
27、，|AF|4，因此|BF|，因此|AB|AF|BF|4.应选C.14.过点(0,3)的直线与抛物线y24x交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点(4,0)，F为抛物线的中心，那么|AF|BF|的值为_.答案6分析设AB的中点为H，抛物线的中心为F(1,0)，准线方程为x1，设A，B，H在准线上的射影为A，B，H，那么|HH|(|AA|BB|)，由抛物线的定义可得，|AF|AA|，|BF|BB|，|AF|BF|AA|BB|2|HH|.由题意知直线的歪率必存在，设为ykx3，与y24x联破得k2x2(6k4)x90，(6k4)236k20，打算得出k0)相切于点M，且M为线段AB的中点.假设如此的直线l恰有4条，那么r的取值范围是_.答案(2,4)分析如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，那么两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2).当l的歪率k不存在时，符合条件的直线l必有两条.当k存在时，x1x2，那么有2，又y1y22y0，因此y0k2.由CMAB，得k1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直线x3上.将x3代入y24x，得y212，那么有2y02，由于点M在圆上，因此(x05)2yr2，故r2y44(为保证有4条，在k存在时，y00)，因此4r216，即2r4.