《高考数学(文)一轮复习讲义 第9章9.6 双曲线.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学(文)一轮复习讲义 第9章9.6 双曲线.docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、9.6双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、多少多何图形跟标准方程，清楚其庞杂的多少多何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).要紧侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的征询题，其中离心率跟渐近线是重点.以选择、填空题为主，难度为中高级.一般不再调查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练操纵基础内容及双曲线方程的求法，能敏锐运用双曲线的多少多何性质.1.双曲线定义破体内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的中心，两中心间的距离叫做双曲线的焦距.聚拢PM|MF1|MF2|2a，|F1
2、F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程跟多少多何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)不雅念方法微思索1.破体内与两定点F1，F2的距离之差
3、的绝对值等于常数2a的动点的轨迹肯定为双曲线吗？什么缘故？提示不用定.当2a|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么？提示假设A0，B0，表示中心在x轴上的双曲线；假设A0，表示中心在y轴上的双曲线.因而Ax2By21表示双曲线的充要条件是AB0，b0，二者不大小恳求，假设ab0，ab0,0ab0时，1e0时，e(亦称等轴双曲线)，当0a.题组一思索辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)破体内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于
4、8的点的轨迹是双曲线.()(2)方程1(mn0)表示中心在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)假设双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分不是e1，e2，那么1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()题组二讲义改编2.假设双曲线1(a0，b0)的中心到其渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为()A.B.5C.D.2答案A分析由题意知中心到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.3.已经清楚ab0，椭圆C
5、1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，那么C2的渐近线方程为()A.xy0B.xy0C.x2y0D.2xy0答案A分析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，因而，即a44b4，因而ab，因而双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.答案1分析设双曲线的方程为1(a0)，把点A(4,1)代入，得a215(舍负)，故所求方程为1.题组三易错自纠5.(2016世界)已经清楚方程1表示双曲线，且该双曲线两中心间的距离为4，那么n的取值范围是()A.(1,3)B.(1，)C.(0,3)D.(0，)答案A分析方程1
6、表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案D分析由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.应选D.7.已经清楚双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，那么该双曲线的标准方程为_.答案y21分析由双曲线的渐近线方程为yx，可设该双曲线的标准方程为y2(0)，已经清楚该双曲线过点(4，)，因而()2，即1，故所求双曲线的标准方程为y2
7、1.题型一双曲线的定义例1(1)已经清楚定点F1(2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M订交于点P，那么点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案B分析如图，连接ON，由题意可得|ON|1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，|MF2|2.点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M订交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|，|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|，由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为中心的双曲线.(2)已经清楚F1，F2为双曲线C：x
8、2y22的左、右中心，点P在C上，|PF1|2|PF2|，那么cosF1PF2_.答案分析由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，那么cosF1PF2.引申探究1.本例(2)中，假设将条件“|PF1|2|PF2|改为“F1PF260，那么F1PF2的面积是多少多？解不妨设点P在双曲线的右支上，那么|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|sin602.2.本例(2)中，假设将条件“|PF1|2|PF2|改为“0，那么F1PF2的面积是多少多？解不妨设点P在双曲线的右支上，那么|PF1|P
9、F2|2a2，0，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|2.思维升华(1)运用双曲线的定义判定破体内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而按照恳求可求出双曲线方程.(2)在“中心三角形中，常运用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，树破与|PF1|PF2|的联系.跟踪训练1设双曲线x21的左、右中心分不为F1，F2，假设点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，那么|PF1|PF2|的取值范围是_.答案(2，8)分析如图，由已经清楚可得a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对
10、称性不妨设P在右支上，设|PF2|m，那么|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合理论意思需称心解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m20，b0).由题意知，2b12，e，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故中心在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解得双曲线的标准方程为1.思维升华求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法当双曲线中心肠位不判准时，设为Ax2By21(AB0).与双曲线1共渐近线的双曲线方程可
11、设为(0)；与双曲线1共中心的双曲线方程可设为1(b2k0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有大年夜众中心，那么C的方程为()A.1B.1C.1D.1答案B分析由yx，可得.由椭圆1的中心为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.因而C的方程为1.应选B.题型三双曲线的多少多何性质命题点1与渐近线有关的征询题例3已经清楚F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个中心，P是C上一点，假设|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，那么双曲线C的渐近线方程是()A.xy0B.xy0C.x2y0D.2xy0答案A分析由题意，不妨设|PF1|PF2|，那么
12、按照双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，因而有|PF2|0，b0)的一条渐近线，直线l与圆(xc)2y2a2(其中c2a2b2，c0)订交于A，B两点，假设|AB|a，那么双曲线C的离心率为_.答案分析由题意可知双曲线的渐近线方程为bxay0，圆(xc)2y2a2的圆心为(c,0)，半径为a.由于直线l为双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线，与圆(xc)2y2a2(其中c2a2b2，c0)订交于A，B两点，且|AB|a，因而22a2，即4b23a2，即4(c2a2)3a2，即，又e，且
13、e1，因而e.思维升华(1)求双曲线的渐近线的方法求双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已经清楚渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(a0，b0，0).(2)求双曲线的离心率求双曲线的离心率或其范围的方法()求a，b，c的值，由1开门见山求e.()列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.双曲线的渐近线的歪率k与离心率e的关系：k.跟踪训练3(2018锦州模拟)已经清楚F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右中心，过F1的直线l与双曲线的左右两支分
14、不交于点B，A，假设ABF2为等边三角形，那么双曲线的离心率为()A.B.4C.D.答案A分析由于ABF2为等边三角形，因而不妨设|AB|BF2|AF2|m，由于A为双曲线右支上一点，因而|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，由于B为双曲线左支上一点，因而|BF2|BF1|2a，|BF2|4a，由ABF260，得F1BF2120，在F1BF2中，由余弦定理得4c24a216a222a4acos120，得c27a2，那么e27，又e1，因而e.应选A.高考中离心率征询题离心率是椭圆与双曲线的要紧多少多何性质，是高考重点调查的一个知识点，这类征询题一般有两类：一类是按照肯定的条件求离心率；
15、另一类是按照肯定的条件求离心率的取值范围，不论是哪类征询题，其难点根本上树破关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，同时最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率征询题难点的全然方法.例1已经清楚椭圆E：1(ab0)的右中心为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点.假设|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，那么椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案A分析设左中心为F0，连接F0A，F0B，那么四边形AFBF0为平行四边形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，那么M到直线l的距离d，
16、1b0，b0)，由已经清楚，取A点坐标为，取B点坐标为，那么C点坐标为且F1(c,0).由ACBF1知0，又，可得2c20，又b2c2a2，可得3c410c2a23a40，那么有3e410e230，可得e23或，又e1，因而e.应选B.1.(2018鄂尔多斯调研)已经清楚双曲线1(a0，b0)，点(4，2)在它的一条渐近线上，那么离心率等于()A.B.C.D.答案B分析渐近线方程为yx，故(4，2)称心方程24，因而，因而e，应选B.2.(2018新余摸底)双曲线1(a0)的渐近线方程为()A.y2xB.yxC.y4xD.yx答案A分析按照双曲线的渐近线方程知，yx2x，应选A.3.(2018
17、辽宁省五校联考)在破体直角坐标系xOy中，已经清楚双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，从双曲线C的右中心F引渐近线的垂线，垂足为A，假设AFO的面积为1，那么双曲线C的方程为()A.1B.y21C.1D.x21答案D分析由于双曲线C的右中心F到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，因而ab2，又双曲线C的离心率为，因而，即b24a2，解得a21，b24，因而双曲线C的方程为x21，应选D.4.已经清楚F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右中心，点P在C上，F1PF260，那么|PF1|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8答案B分析由双曲线的方程，得a1，c，由双曲线的定义得|PF1|PF
18、2|2.在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|(2)2，解得|PF1|PF2|4.应选B.5.已经清楚双曲线x21的左、右中心分不为F1，F2，双曲线的离心率为e，假设双曲线上存在一点P使e，那么的值为()A.3B.2C.3D.2答案B分析由题意及正弦定理得e2，|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2，又|F1F2|4，由余弦定理可知cosPF2F1，|cosPF2F1242.应选
19、B.6.(2018沈阳模拟)已经清楚双曲线1的右中心为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，那么APF周长的最小值为()A.4B.4(1)C.2()D.3答案B分析由题意知F(，0)，设左中心为F0，那么F0(，0)，由题意可知APF的周长l为|PA|PF|AF|，而|PF|2a|PF0|，l|PA|PF0|2a|AF|AF0|AF|2a22444(1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“，应选B.7.已经清楚离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右中心分不为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，假设16，那么双曲线的实轴长是()A.32B.16C.8
20、4D.4答案B分析由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线yx上，由题意可知|F2M|b，因而|OM|a.由16，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，因而a8，b4，c4，因而双曲线C的实轴长为16.应选B.8.(2018葫芦岛模拟)已经清楚双曲线C1：1(a0，b0)，圆C2：x2y22axa20，假设双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个差异的交点，那么双曲线C1的离心率的取值范围是()A.B.C.(1,2)D.(2，)答案A分析由双曲线方程可得其渐近线方程为yx，即bxay0，圆C2：x2y22axa20可化为(xa)2y2a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径ra，由双曲线C1的
21、一条渐近线与圆C2有两个差异的交点，得2b，即c24b2，又知b2c2a2，因而c24(c2a2)，即c2a2，因而e1，因而双曲线C1的离心率的取值范围为，应选A.9.(2016北京)已经清楚双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个中心为(，0)，那么a_；b_.答案12分析由2xy0，得y2x，因而2.又c，a2b2c2，解得a1，b2.10.(2018河北名校名师俱乐部二调)已经清楚F1，F2分不是双曲线x21(b0)的左、右中心，A是双曲线上在第一象限内的点，假设|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，那么F1AB的面积等于_.答案4分析由题意知a1，由
22、双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|，|BA|BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF245，ABF190，BAF1为等腰直角三角形.|BA|BF1|AF1|42，|BA|BF1|224.11.(2018辽阳模拟)已经清楚中心在x轴上的双曲线1，它的中心到渐近线的距离的取值范围是_.答案(0,2)分析关于中心在x轴上的双曲线1(a0，b0)，它的中心(c,0)到渐近线bxay0的距离为b.双曲线1，即1，其中心在x轴上，那么解得4m0，b0)的右中心为F，左顶点为A，以F为
23、圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，APQ的一个内角为60，那么双曲线C的离心率为_.答案分析设左中心为F1，由于双曲线跟圆都关于x轴对称，又APQ的一个内角为60，PAF30，PFA120，|AF|PF|ca，|PF1|3ac，在PFF1中，由余弦定理得，|PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP，即3c2ac4a20，即3e2e40，e(舍负).13.(2018营口调研)已经清楚双曲线C：1(a0，b0)的左、右中心分不为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，假设直线yx恰为线段PF2的垂直平分线，那么双曲线C的离心率为()A.B.C.D.答案C分析如图
24、，直线PF2的方程为y(xc)，设直线PF2与直线yx的交点为N，易知N.又线段PF2的中点为N，因而P.由于点P在双曲线C上，因而1，即5a2c2，因而e.应选C.14.已经清楚F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右中心，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，假设|AF1|2a，F1AF2，那么等于()A.1B.C.D.答案B分析如以下列图，由双曲线定义可知|AF2|AF1|2a.又|AF1|2a，因而|AF2|4a，由于F1AF2，因而|AF1|AF2|sinF1AF22a4a2a2.由双曲线定义可知|BF1|BF2|2a，因而|BF1|2a|BF2|，又知|BF1|2
25、a|BA|，因而|BA|BF2|.又知BAF2，因而BAF2为等边三角形，边长为4a，因而|AB|2(4a)24a2，因而.15.已经清楚双曲线E：1(a0，b0)的左、右中心分不为F1，F2，|F1F2|8，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.假设|AQ|，那么E的离心率是()A.2B.C.D.答案D分析如以下列图，设PF1，PF2分不与PAF2的内切圆切于M，N，依题意，有|MA|AQ|，|NP|MP|，|NF2|QF2|，|AF1|AF2|QA|QF2|,2a|PF1|PF2|(|AF1|MA|MP|)(|NP|NF2|)2|QA|2，故a，从而e，应选D.16.已经清楚双曲线1(a0，b0)的左、右中心分不为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|6|PF2|，那么此双曲线的离心率e的最大年夜值为_.答案分析由定义，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|6|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.当P，F1，F2三点不共线时，在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2，即e2cosF1PF2.cosF1PF2(1,1)，e.当P，F1，F2三点共线时，|PF1|6|PF2|，e，综上，e的最大年夜值为.