《2021年高考数学(文)一轮复习讲义第9章97抛物线.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学(文)一轮复习讲义第9章97抛物线.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.2.了解抛物线的简单应用.抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题，多为中档题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标
2、FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径x0x0y0y0通径长2p概念方法微思考1.假设抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形提示过点F且与l垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一思考辨析1.判断以下结论是否正确(请在括号中打“或“)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴
3、上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()题组二教材改编2.过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，那么|PQ|等于()A.9B.8C.7D.6答案B解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.3.假设抛物线y24x的准线为l，P是抛物线上任意一点，那么P到准线l的距离与P到直线3x4y70的距离之和的最小值是()A.2B.C.D.3答案
4、A解析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离.点P到准线l的距离与点P到直线3x4y70的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x4y70的距离，即2.应选A.4.抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，那么该抛物线的标准方程为_.答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y2mx(m0)或x2my(m0).将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.题组三易错自纠5.抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，那么抛物线C的方程是()A.y22xB.y22xC.y24xD.y24x
5、答案D解析由可知双曲线的焦点为(，0)，(，0).设抛物线方程为y22px(p0)，那么，所以p2，所以抛物线方程为y24x.应选D.6.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，假设过点Q的直线l与抛物线有公共点，那么直线l的斜率的取值范围是_.答案1,1解析Q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线y24x上的一个动点，F是抛物线y24x的焦点，假设B(3,2)，那么|PB|PF|的
6、最小值为_.答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|P1F|.那么有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.本例中的B点坐标改为(3,4)，那么|PB|PF|的最小值为_.答案2解析由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值为2.假设将本例中的条件改为抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，那么d1d2的最小值为_.答案31解析由题意知，抛物线的焦点为F(1
7、,0).点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.命题点2求标准方程例2(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为()A.x212y或y216xB.x212y或y216xC.x29y或y212xD.x29y或y212x答案A解析对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所以抛物线的焦点为(0，3)或(4,0).当焦点为(0，3)时，设抛物线方程为x22py(p0)，那么3，所以p6，此时抛物线的标准方程为x2
8、12y；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y22px(p0)，那么4，所以p8，此时抛物线的标准方程为y216x.故所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.(2)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，假设以MF为直径的圆过点(0,2)，那么C的标准方程为()A.y24x或y28xB.y22x或y28xC.y24x或y216xD.y22x或y216x答案C解析由题意知，F，抛物线的准线方程为x，那么由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为22，又因为圆过点(0,2)，所以yM4，又因为点M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以抛
9、物线C的标准方程为y24x或y216x，应选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)设P是抛物线y24x上的一个动点，那么点P到点A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_.答案解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知点P到直线x1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛
10、物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.(2)(2022衡水中学调研)假设抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，那么抛物线的方程为()A.y24xB.y236xC.y24x或y236xD.y28x或y232x答案C解析因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以假设设该点为P，那么P(x0，6).因为P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x010.因为P在抛物线上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，那么
11、抛物线的方程为y24x或y236x.抛物线的几何性质例3(1)(2022广西四校联考)抛物线y22px(p0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，那么该抛物线的焦点到准线的距离为()A4B9C10D18答案C解析抛物线y22px的焦点为，准线方程为x.由题意可得49，解得p10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.(2)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，那么OAB的面积为()A.B.C.D.解析由得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4y212y90，那么yAyB3，yAyB，故
12、|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二联立直线方程与抛物线方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为d，因此SOAB|AB|d.(3)抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，假设4，那么|QF|等于()A.B.C3D2答案C解析利用|4|转化长度关系，再利用抛物线定义求解4，.那么|AF|4，.思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2(1)从抛物线y24x在第一象限内的一点P引抛物线准
13、线的垂线，垂足为M，且|PM|9，设抛物线的焦点为F，那么直线PF的斜率为()A.B.C.D.答案C解析设P(x0，y0)，由抛物线y24x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故|PM|x019，解得x08，故P点坐标为(8,4)，所以kPF.(2)(2022焦作期中)以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线与正方形ABCD有公共点，其中A(2,2)，B(4,2)，C(4,4)，那么抛物线的焦点F到准线l的最大距离为()A.B4C6D8答案B解析由题意可得D(2,4)，设抛物线：x22py，p0，要使得抛物线与正方形ABCD有公共点，其临界状态应该是过B或过D，把B，D的坐标分别代入抛物线方程，得42
14、2p2，或222p4，可得p4或p，故抛物线的焦点F到准线l的最大距离为4.直线与抛物线例4(2022全国)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题意知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为xy10.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为
15、y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，那么解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.假设过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，假设不过焦点，那么必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求“整体代入等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法求解.(4)设AB是过抛物线y22
16、px(p0)焦点F的弦，假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2，y1y2p2.弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角).以弦AB为直径的圆与准线相切.通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点A(1，a)(a0)是抛物线C上一点，且|AF|2.(1)求p的值；(2)假设M，N为抛物线C上异于A的两点，且AMAN.记点M，N到直线y2的距离分别为d1，d2，求d1d2的值解(1)因为点A(1，a)(a0)是抛物线C上一点，且|AF|2，所以12，所以p2.(2)由(1)得抛物线方程
17、为y24x.因为点A(1，a)(a0)是抛物线C上一点，所以a2.设直线AM方程为x1m(y2)(m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去x，得y24my8m40，即(y2)(y4m2)0，所以y14m2.因为AMAN，所以用代替m，得y22，所以d1d2|(y12)(y22)|16.1(2022江淮十校联考)抛物线y8x2的焦点坐标是()A.B.C(0,2) D(0,4)答案A解析抛物线的标准方程为x2y，焦点坐标为.2.(2022包头青山区模拟)点P(2，y)在抛物线y24x上，那么点P到抛物线焦点F的距离为()A.2B.3C.D.答案B解析因为抛物线y24x的焦点为(1,0)，准
18、线为x1，结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.3点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2答案D解析抛物线标准方程为x2y(a0)，当a0时，开口向上，准线方程为y，那么点M到准线的距离为36，解得a，那么抛物线方程为yx2；当a0，过F作FMAH于M，那么在RtFAM中，|AM|AF|，1，解得m2，故等边三角形AHF的边长|AH|4，AHF的面积是44sin604.应选C.6抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，假设OFM的外接圆与抛物线C的准线相切
19、，且该圆的面积为36，那么p等于()A2B4C6D8答案D解析OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆的面积为36，圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，6，p8.应选D.抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，假设|AB|6，那么AOB的面积为()A.B.2C.2D.4答案A解析根据题意，抛物线y24x的焦点为F(1,0).设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x，得y2y40，y1y2，y1y24，那么x1x222，|AB|x1x2p22
20、6，那么k，|y1y2|2，SAOBSAOFSBOF|OF|y1y2|12，AOB的面积为.8.(2022潮州模拟)从抛物线y24x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|5，那么MPF的面积为_.答案10解析由抛物线的定义可知|PF|PM|5，并且点P到准线的距离xP15，xP4，yP4，S5410.9抛物线x24y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PAl于点A，当AFO30(O为坐标原点)时，|PF|_.答案解析设l与y轴的交点为B，在RtABF中，AFB30，|BF|2，所以|AB|.设P(x0，y0)，那么x0，代入x24y中，得y0，从而|PF|P
21、A|y01.10(2022郑州质检)设抛物线y216x的焦点为F，经过点P(1,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且2，那么|AF|2|BF|_.答案15解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)P(1,0)，(1x2，y2)，(x11，y1)2，2(1x2，y2)(x11，y1)，x12x23.|AF|2|BF|x142(x24)x12x21215.11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道说明理由.解建立如下列图的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，那么A
22、(3，3)，B(3，3).设抛物线方程为x22py(p0)，将B点坐标代入得92p(3)，所以p.所以抛物线方程为x23y(3y0).因为车与箱共高4.5m，所以集装箱上外表距抛物线形隧道拱顶0.5m.设抛物线上点D的坐标为(x0，0.5)，那么x，所以|x0|，所以2|x0|0，得k0)的焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)假设点A，B在准线上的射影分别为M，N，那么MFN90；(2)假设取MN的中点R，那么ARB90；(3)以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F；(4)假设经过点A和抛物线顶点O的直线交准线于点Q，那么BQ平行于抛物线的对称轴证明(1)设抛物线的准线
23、与x轴交于点K，由抛物线的定义知|AM|AF|，|BN|BF|，AMFAFM，BNFBFN.AMx轴，BNx轴，AMFKFM，BNFKFN.MFNKFMKFN90.(2)方法一设P为AB的中点，有|PR|(|MA|NB|)|AB|，那么ARB90.方法二易知R，那么，.(y1y2)2x1x2(x1x2)(yy)y1y20.ARB90.(3)MFN90，F在以MN为直径的圆上，|AF|AM|，|MR|FR|，MFAAMF，MFRFMR.AFRAFMMFRAMFFMR90.即RFAB，F为垂足所以，以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F.(4)直线AO的方程为yx, 那么Q.y1y2p2，y2.于是Q与点N重合，因此，BQ平行于x轴，即BQ平行于抛物线的对称轴