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1、等差、等比数列的前n项跟【考大年夜纲求】1熟练操纵等差数列的求跟公式以及公式特征，并能熟练运用；2熟练操纵等比数列的求跟公式以及公式特征，并能熟练运用；3操纵数列的通项an与前n项跟Sn之间的关系式。【知识搜集】等差、等比数列的前n项跟等比数列的求跟公式等差数列的求跟公式【考点梳理】【高清课堂：数列的求跟征询题388559知识要点】知识点一：数列的前项跟的相关公式1.等差数列的前项跟公式：为常数事前，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时a10，Sn=na1是关于n的正比例式.2.等比数列的前项跟公式：事前，事前，3.任意数列的第项与前项跟之间的关系式：【模典范题】典范一：等差数列的前n
2、项跟公式及其性质例1.等差数列的前30项之跟为50，前50项之跟为30，求。【思路分析】按照等差数列前n项公式，全部代入，或者运用公式。【分析】法一:为等差数列，,(2)-(1)有，即。法二:为等差数列，,即(2)-(1)有：即,。法三:为等差数列，,也为等差数列，,.【总结升华】法一、二均可用方程思想求出A、B、d来，然后求未知，运算量那么相对特别大年夜，现在要留心全部思想的运用。举一反三：【变式】设等差数列的前项跟为，假设，那么A63B45C36D27【分析】法一：按照已经清楚有：即解得，因此。法二：按照等差数列的性质有：连续三项跟也成等差数列、成等差数列，因此，有，应选B例2.2016桂
3、林模拟等差数列an、bn的前n项跟分不为Sn、Tn，且，那么使得为整数的正整数的n的个数是A3B4C5D6【思路分析】需要把所求的等差数列的项的比值的征询题转化为前n项跟的比值的征询题。【分析】等差数列an、bn，又阅历证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，那么使得为整数的正整数的n的个数是5应选C【总结升华】由于等差数列中，因此已经清楚等差数列、的前n项跟分不为跟，那么(1)，(2)。举一反三：【变式1】等差数列中，假设,那么_.【分析】由，得.【变式2】已经清楚两等差数列、的前项跟分不为、，且，那么=.【分析】.典范二：等差数列求跟公式的运用【高清课堂：等差数列382420模典范题三
4、】例3设为数列的前n项跟，且.求证：数列为等差数列【思路分析】揣摸一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。证明：由得，因此拾掇得，又得相减并拾掇得:因此数列是个等差数列举一反三：【变式1】设an是等差数列,证明以bn=(nN*)为通项公式的数列bn是等差数列.证法一:设等差数列an的公差是d(常数),当n2时，=-=(常数)bn是等差数列.证法二:等差数列an的前n项跟,bn=bn是等差数列.【总结升华】揣摸或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(nN*)an是等差数列;(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列;(3)通项
5、公式法:an=kn+b(k、b是常数)(nN*)an是等差数列;(4)前n项跟公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(nN*)an是等差数列.【变式2】已经清楚数列an，anN*，Sn=，求证：an是等差数列；【答案】an+1=Sn+1Sn,8an+1=,，anN*，即，数列an是等差数列.例4等差数列的前n项跟为,假设,.1求公差d的取值范围；2n为何值时，Sn最大年夜，并说明因由。【分析】1由又由得代入不等式组，解出2方法一：由1知：且数列是递减数列，由得即，中最后一个负数项是，开始为负数项当n=6时，最大年夜.方法二：由1知：且数列是递减数列，假设要最大年夜，需判定命列中最后一个非负
6、数项是第几多项.由即,由，,即,中最后一个负数项是，开始为负数项当n=6时，最大年夜.方法三：d0,当最小时有最大年夜值，事前，当n=6时最小，即最大年夜，方法四：是等差数列，故设，如以下列图,，抛物线与x轴的另一个交点在n=12与n=13之间。对称轴l的位置在6与6.5之间，易知n=6对应的A点与对称轴的距离比n=7对应的点B与对称轴的距离要近，故A为最高点，最大年夜。举一反三：【变式】在等差数列中，求当为何值时，最小。【分析】法一：，均为负数，而以及以后各项都为负数，当或时，有最小值为。法二：设数列的公差为，那么由，得，即，当或时，有最小值为。典范三、等比数列的前n项跟公式及其性质【高清课
7、堂：数列的不雅念388518模典范题二】例5.设为等比数列的前n项跟，已经清楚,那么公比q()A3B4C5D6答案：B分析：，两式相减：因此举一反三【变式】等比数列中，假设,求.分析：是等比数列，典范四：等比数列求跟公式的运用例6已经清楚数列an的前n项跟Sn称心：log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列an的通项公式，并揣摸an是何种数列？【思路分析】揣摸一个数列是什么典范的数列，该当从等差、等比数列的不雅念出发。分析：log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1(nN+),a1=S1=51-1=4,当n2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-
8、1=5n-1(5-1)=45n-1而n=1时，45n-1=451-1=4=a1,nN+时，an=45n-1由上述通项公式，可知an为首项为4，公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已经清楚数列Cn，其中Cn=2n+3n，且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数p。分析：p=2或p=3；Cn+1-pCn是等比数列，对任意nN且n2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)
9、2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1拾掇得：,解得：p=2或p=3,显然Cn+1-pCn0，故p=2或p=3为所求.【变式2】设an、bn是公比不相当的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.证明：设数列an、bn的公比分不为p,q，且pq为证Cn不是等比数列，只需证.,又pq,a10,b10,即数列Cn不是等比数列.例7(浙江高考)已经清楚数列an跟bn称心a1=2，b1=1，an+1=2annN*，b1+b2+b3+bn=bn+11nN*求an与bn；记数列anbn的前n项跟为Tn，求Tn解：由a1=2，an+1=2an，得由题意知，当n=1
10、时，b1=b21，故b2=2，当n2时，b1+b2+b3+=bn1，跟原递推式作差得，拾掇得：，；由知，因此，两式作差得：，nN*【举一反三】【变式】河北高考Sn为数列an的前n项跟，己知an0，an2+2an=4Sn+3I求an的通项公式：设bn=，求数列bn的前n项跟解：I由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3两式相减得an+12an2+2an+1an=4an+1，即2an+1+an=an+12an2=an+1+anan+1an，an0，an+1an=2，a12+2a1=4a1+3，a1=1舍或a1=3，那么an是首项为3，公差d=2的等差数列，an的通项公式an=3+2n1=2n+1：an=2n+1，bn=，数列bn的前n项跟Tn=+=