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1、导数的综合运用【考大年夜纲求】1.理解复合函数的求导法那么会求某些庞杂函数的导数；2.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能运用导数研究函数的单调性；3.理解可导函数在某点取得极值的需要条件跟充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大年夜值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大年夜值、最小值；4提高运用知识处置理论征询题的才干。【知识搜集】导数的运用极值与最值征询题函数的单调性征询题切线歪率、方程【考点梳理】【高清课堂：导数的运用理394572知识要点】考点一、求切线方程的一般方法1求出函数在处的导数；2运用直线的点歪式得切线方程。要点说明：求切线方程，起重要揣摸所给点是否在曲线上.
2、假设在曲线上，可用上法求解；假设不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已经清楚条件求出切点坐标，从而得方程.考点二、判定函数的单调性1函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，那么事前，y=f(x)在呼应区间上为增函数；事前，y=f(x)在呼应区间上为减函数；当恒偶尔，y=f(x)在呼应区间上为常数函数。要点说明：在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不用要条件！比如：而f(x)在R上递增。老师易误以为只要有点使，那么f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个不导数为零不阻碍函数的单调性，同时要夸大年夜只要在谁人区间内恒有，谁人函数y=f(x)在谁人区
3、间上才为常数函数。要关注导函数图象与原函数图象间关系。2运用导数揣摸函数单调性的全然步伐判定函数f(x)的定义域；求导数；在定义域内解不等式；判定f(x)的单调区间。要点说明：函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可按照单调性定义也可运用导数，应按照征询题的具体条件适当选用方法，偶尔须将区间(a,b)分不红假设干小区间，在每个小区间上分不判定单调性。考点三、函数的极值1极值的不雅念一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，假设对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的个极小值，记作y极小值=f(x0)。极大年夜值与极小值统称极值。在定义
4、中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。要点说明：在函数的极值定义中，肯定要清楚函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否那么无从比较。函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部不雅念，在函数的全部定义域内可以有多个极值，也可以无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大年夜或最小，并不意味着它在函数的全部的定义域内最大年夜或最小。极大年夜值与极小值之间无判定的大小关系。即一个函数的极大年夜值未必大年夜于极小值。极小值不用定是全部定义区间上的最小值。函数的极值点肯定出现在区间的内部，区间的端点不克不迭成为极值点。而使函数取得最大年
5、夜值、最小值的点可以在区间的内部，也可以在区间的端点。连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们要紧讨论可导函数的极值征询题，但是函数的弗成导点也可以是极值点。如某些连续点也可以是极值点，再如y=|x|，x=0。可导函数在某点取得极值，那么该点的导数肯定为零，反之不成破。在函数取得极值处，假设曲线有切线的话，那么切线是水平的，从而有。但反过来不用定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大年夜，也不比它附近的点的函数值小。2求极值的步伐判定函数的定义域；求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的标志，假设左正右负，那么f(x)在
6、谁人根处取得极大年夜值；假设左负右正，那么f(x)在谁人根处取得极小值。(最好通过列表法)要点说明：函数极值只反响函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可以有假设干个，同时极小值未必小于极大年夜值。f(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的需要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f(x)的标志发作变卦。考点四、函数的最值函数的最值表示函数在定义域内值的全部情况。连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大年夜值跟一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不用定有最大年夜值跟最小值。1最值与极值的区不与联系：函数最大年夜值跟最小值是比较全部
7、定义域上的函数值得出的，是全部定义区间上的一个不雅念，而函数的极值那么是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的不雅念；极值可以有多个，最大年夜(小)值假设存在只要一个；极值只能在区间内取得，不克不迭在区间端点取得；而使函数取得最大年夜值、最小值的点可以在区间的内部，也可以在区间的端点。有极值的函数不用定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可以成为最值。2在区间a，b上求函数y=f(x)的最大年夜与最小值的步伐求函数y=f(x)在(a，b)内的导数求函数y=f(x)在(a，b)内的极值将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大年夜的一个为最大年
8、夜值，最小的一个为最小值。要点说明：函数的最值表示函数在定义域内值的全部情况。连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大年夜值跟一个最小值，但是最值点可以不唯一。在理论征询题中，要由理论征询题的背景构造出呼应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只要一个解时，同时最值肯定存在，那么此点即为函数f(x)的最值点。【模典范题】典范一：函数的切线征询题例1.求曲线的分不称心以下条件的切线：1在点的切线；2过点的切线；【分析】1时，在点的切线的切线的歪率，在点的切线为，即.2当切点为点时，切线为当切点不是点时，设切点为，那么，解得或舍去切点为的切线为，即，故过点的切线为或.举一反三：
9、【变式1】已经清楚曲线，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切线方程。【分析】，令，得x=4,将x=4代入中得y=5切点坐标是(4,5)，切线方程为：.即：x-2y+6=0。【变式2】设函数的图象与直线相切于点1，11,求a，b的值.【分析】的图象与直线相切于点1，11.，即解之得a=1，b=3.典范二：函数单调性征询题例22016年北京高考设函数，曲线在点处的切线方程为.1求的值；2求的单调区间.【分析】I曲线在点处的切线方程为，即由解得：，II由I可知：，令，极小值的最小值是的最小值为即对恒成破在上单调递增，无减区间.举一反三：【变式1】设恰有三个单调区间，试判定a的
10、取值范围，并求其单调区间.【分析】1事前，那么恒成破，现在f(x)在R上为单调函数，只要一个单调区间为，不合题意；2事前，事前，函数有三个单调区间，增区间为：；减区间为：，.【变式2】已经清楚f(x)=x2+1,g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-lf(x),试征询：是否存在实数l，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.【分析】假设存在实数l称心题设.F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l),F(x)=4x3-2(l-2)x,令4x3-2(l-2)x=0,1假设l2，那么x=0.当x(-,0)时
11、，F(x)0.F(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，显然不符合题设.2假设l2，那么x=0或，事前，F(x)0；事前，F(x)0.F(x)的单调增区间是，单调减区间是，.要使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，那么，即l=4.故存在实数l=4，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.典范三：函数的极值征询题例3.重庆高考设函数1假设f(x)在x=0处取得极值，判定a的值，并求现在曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；2假设f(x)在3,+上为减函数，求a的取值范围。【分析】(1)对f(x)求导得因为f(x)在x=0处
12、取得极值，因而f(0)=0，即a=0.当a=0时，故，从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为，化简得3xey=02由1得，令g(x)=-3x2+(6-a)x+a由g(x)=0，解得.当xx1时，g(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，故f(x)为减函数；由f(x)在3，+上为减函数，知，解得故a的取值范围为.【总结升华】运用“在处取得极值，那么必有导数是此题的破题关键.举一反三：【变式1】已经清楚函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.【分析】依题意得方程组解得.当a=-3,b=3时，令得x
13、=1.x(-,1)1(1,+)+0+无极值显然a=-3,b=3不合题意，舍去.当a=4,b=-11时，f(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)令得或x=1.x11，+0-0+极大年夜值极小值f(x)在x=1处有极小值10，合题意，a=4,b=-11.【变式2】已经清楚函数，当且仅事前，取得极值，同时极大年夜值比极小值大年夜4.1求常数的值；2求的极值.【分析】，令得方程在处取得极值或为上述方程的根，即事前，不符合题意事前，当x变卦时，与的变卦情况如下表：1(1，+)+00+极大年夜值极小值在处取得极大年夜值，在处取得极小值.由题意得，拾掇得，又联破，解得，由说清楚：，事前，当x变
14、卦时，与的变卦情况如下表：当x变卦时，与的变卦情况如下表：1(1，+)-0+0-极小值极大年夜值在处取得极小值，在处取得极大年夜值.由题意得，拾掇得，又联破，解得，综上可得：，或，当，时，当，时，典范四：函数的最值征询题【高清课堂：导数的运用理394572模典范题一】例4.已经清楚函数1假设曲线与曲线在它们的交点1，c处存在大年夜众切线，求的值；2事前，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大年夜值。【分析】1，由题意：2令令令令+0-0+极大年夜极小因而函数的单调增区间是，单调减区间是结合函数单调性的草图知：破即时，在上单调增，破即时，在上单调增，在上单调减，破即时，由题意得，那么综上，事前，
15、事前，.举一反三：【变式1】求函数在0，2上的最大年夜值跟最小值.【分析】，令，化简为x2+x2=0.解得x=2舍去或x=1.，又因为，因而为函数在0，2上的最小值，为函数在0，2上的最大年夜值.【变式2】河南一模已经清楚函数fx=xlnx，gx=x2+ax3exa为实数当a=5时，求函数y=gx在x=1处的切线方程；求fx在区间t，t+2t0上的最小值；假设存在两不等实根x1，x2，e，使方程gx=2exfx成破，务虚数a的取值范围【分析】当a=5时，gx=x2+5x3ex，g1=egx=x2+3x+2ex，故切线的歪率为g1=4e切线方程为：ye=4ex1，即y=4ex3e；fx=lnx+1，xfx0+fx单调递减极小值最小值单调递增事前，在区间t，t+2上fx为增函数，fxmin=ft=tlnt；事前，在区间上fx为减函数，在区间上fx为增函数，；由gx=2exfx，可得：2xlnx=x2+ax3，令，x11，ehx0+hx单调递减极小值最小值单调递增h1=4，he=使方程gx=2exfx存在两不等实根的实数a的取值范围为