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1、第四讲数列求跟【套路秘籍】-始于足下始于足下1.分组求跟：把一个数列分成几多个可以开门见山求跟的数列；2.裂项相消：偶尔把一个数列的通项公式分成二项差的方法，相加过程消去中间项，只剩有限项再求跟；3.错位相减：有用于一个等差数列跟一个等比数列对应项相乘构成的数列求跟；4.倒序相加：如等差数列前n项跟公式的推导方法5.并项求跟法：一个数列的前n项跟中，可两两结合求解，那么称之为并项求跟【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一裂项相消【例1】已经清楚数列an的首项a11，Sn是数列an的前n项跟，且称心2(Sn1)(n3)an.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn称心bn，记数列
2、bn的前n项跟为Tn，求证：Tn3.【答案】1an(n2).2看法析【分析】(1)解2(Sn1)(n3)an，当n2时，2(Sn11)(n2)an1，得，(n1)an(n2)an1，因此(n2)，又，故是首项为的常数列.因此an(n2).(2)证明由(1)知，bn9.Tnb1b2b3bn9930，an+1-an=1，n=2时，S2=a22-a1，1+a2=a22-1，a20，解得a2=2，称心上式即an+1-an=1，nN*数列an为等差数列，首项为1，公差为12解：由1可得：an=1+n-1=nbn=2a2n-1=22n-1数列bn的前n项跟Rn=2+23+22n-1=2(4n-1)4-1=
3、23(4n-1)3解：cn=(-1)nan2=(-1)nn2c2n-1+c2n=-(2n-1)2+(2n)2=4n-1数列cn的前2n项跟T2n=n(3+4n-1)2=2n2+n【举一反三】1已经清楚数列中，且.1揣摸数列是否为等比数列，并说明因由；2事前，求数列的前2020项跟.【答案】1时，不是等比数列；时，是等比数列；2.【分析】1，事前，故数列不是等比数列；事前，数列是等比数列，其首项为，公比为3.2由(1)且事前有：，即，.4已经清楚数列an的前n项跟Sn=n2-2kn(kN*)，Sn的最小值为-91判定k的值，并求数列an的通项公式；2设bn=-1nan，求数列bn的前2n+1项跟
4、T2n+1【答案】1k=3,an=2n-72T2n+1=5-2n【分析】1由已经清楚得Sn=n2-2kn=(n-k)2-k2,由于kN*，当n=k时，(Sn)min=-k2=-9，故k=3；因此Sn=n2-6n.由于Sn-1=(n-1)2-6(n-1)，n2因此an=Sn-Sn-1=(n2-6n)-(n-1)2-6(n-1)，得an=2n-7n2.事前n=1，S1=-4=a1,综上，an=2n-7.2依题意，bn=-1nan=-1n(2n-7),因此T2n+1=5-3+1+1-3+5+-12n(4n-7)+-12n+12(2n+1)-7=5-(2+2+2)n=5-2n考向四分组求跟【例4】.已
5、经清楚数列an的前n项跟为Sn，且1，an，Sn成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)假设数列bn称心anbn12nan，求数列bn的前n项跟Tn.【答案】1an2n1.2Tnn2n2.【分析】(1)由已经清楚1，an，Sn成等差数列得2an1Sn，当n1时，2a11S11a1，a11，当n2时，2an11Sn1，得2an2an1an，an2an1(n2)，且a11.数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，ana1qn112n12n1.(2)由anbn12nan得bn2n，Tnb1b2bn242n(242n)n2n2.【套路总结】解题思路：第一步定通项公式：即按照已经清楚条件求出数列
6、的通项公式；第二步巧拆分：即按照通项公式特色，将其分析为几多个可以开门见山求跟的数列；第三步分不求跟：即分不求出各个数列的跟；第四步组合：即把拆分后每个数列的求跟停顿组合，可求得原数列的跟.【举一反三】1.已经清楚数列an称心an1an4n3(nN*)(1)假设数列an是等差数列，求a1的值；(2)当a12时，求数列an的前n项跟Sn.【答案】看法析【分析】(1)假设数列an是等差数列，那么ana1(n1)d，an1a1nd.由an1an4n3，得(a1nd)a1(n1)d4n3，即2d4,2a1d3，解得d2，a1.(2)由an1an4n3(nN*)，得an2an14n1(nN*)两式相减得
7、an2an4，因此数列a2n1是首项为a1，公差为4的等差数列，数列a2n是首项为a2，公差为4的等差数列由a2a11，a12，得a21，因此an当n为奇数时，an2n，an12n3.Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an2an1)an19(4n11)2n2n.当n为偶数时，Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an1an)19(4n7).因此Sn2.已经清楚等差数列an的前n项跟为Sn，且称心S424，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)假设bn2an(1)nan，求数列bn的前n项跟Tn.【答案】1an2n1.2Tn【分析】(1)an为等差数列，解得因此an的通
8、项公式an2n1.(2)bn2an(1)nan22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1)，Tn2(41424n)3579(1)n(2n1)Gn.当n为偶数时，Gn2n，Tnn；当n为奇数时，Gn2(2n1)n2，Tnn2，Tn3等差数列an的前n项跟为Sn，数列bn是等比数列，称心a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求数列an跟bn的通项公式；(2)令cn设数列cn的前n项跟为Tn，求T2n.【答案】1an2n1(nN*)，bn2n12(4n1)【分析】(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由得解得an32(n1)2n1(nN*)，bn2n1(nN*)(2)由
9、a13，an2n1，得Snn(n2)，那么cn即cn因此T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)(nN*)【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1.已经清楚数列an称心an0，a1，anan12anan1，nN*.(1)求证：是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)假设数列bn称心bn，求数列bn的前n项跟Tn.【答案】1an(nN*)2Tn2(2n1)2n1(nN*)【分析】(1)由已经清楚可得，2，3，是首项为3，公差为2的等差数列，32(n1)2n1，an(nN*)(2)由(1)知bn(2n1)2n，Tn32522723(2n1)2n1(2n1
10、)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，两式相减得，Tn622222322n(2n1)2n1.6(2n1)2n12(2n1)2n1，Tn2(2n1)2n1(nN*)2.已经清楚数列an的前n项跟Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项跟【答案】1ann(nN*)2T2n22n1n2【分析】(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.a1也称心ann，故数列an的通项公式为ann(nN*)(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项跟为T2n，那么T2n(212222n)(12342n
11、)记A212222n，B12342n，那么A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项跟T2nAB22n1n2(nN*)3.已经清楚等差数列an的首项为a，公差为d，nN*，且不等式ax23x20a2=2由Sn+1+Sn=an+12Sn+Sn-1=an2n2可得an+an+1=an+12-an2即：an+1+an=an+1+anan+1-anan0an+1-an=1n2又a2-a1=2-1=1an是公差为1，首项为1的等差数列an=1+n-11=n由题意得：b1b2=21=2b1=2b2=1由bnbn+1=2nbn-1bn=2n-1n2两式相除得：bn+1bn-1=2
12、n2n是奇数时，bn是公比是2，首项b1=2的等比数列bn=2n+12同理n是偶数时bn是公比是2，首项b2=1的等比数列bn=2n-22综上：bn=2n+12,n是奇数2n-22,n是偶数IIcn=anb2n+-1n3n-2，即cn=n2n-1+-1n3n-2令n2n-1的前n项跟为An，那么An=120+221+322+n2n-12An=121+222+323+n2n两式相减得：-An=20+21+22+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2nAn=n-12n+1令-1n3n-2的前n项跟为BnBn=3n2,n是偶数-3n+12,n是奇数综上：Tn=n-12n+3-3n2,n是奇数n-12
13、n+1+3n2,n是偶数7已经清楚等差数列an为递增数列，且a2，a4是方程x2+2x-3=0的两根.数列bn的前n项跟为Sn，且称心2Sn+bn=1.1求an，bn的通项公式；2设数列cn的前n项跟为Tn，且cn=(-1)nan+bn，求T2n.【答案】1an=2n-7，bn=13n；2）T2n=2n+1432n-14.【分析】1由于方程x2+2x-3=0的两根为-3跟1，且数列an为递增数列，因此a2=-3,a4=1.设数列an的公差为d，那么d0，因此d=a4-a24-2=2，因此an=a2+n-2d=2n-7.事前n=1，由2S1+b1=1，解得b1=13；事前n2，由于2Sn+bn=
14、1，因此2Sn-1+bn-1=1，以上两式相减得3bn-bn-1=0，因此bnbn-1=13，因此bn是首项为13，公比为13的等比数列，因此bn=1313n-1=13n.2由1得，cn=-1n2n-7+-13n，设数列-1n2n-7的前2n项跟为M2n，数列-13n的前2n项跟为K2n，因此M2n=-5+-3-1+-4n-9+4n-7=2n，因此K2n=-13+-132+-132n=-13-132n+11-13=1432n-14，因此T2n=M2n+K2n=2n+1432n-14.8设等比数列ann=1,2,3,的前n项跟为Sn，假设公比q=2，且a1，a2+1，a3成等差数列.(1)求数列
15、an的通项公式；(2)设bn=an2-1Sn，数列bn的前n项跟为Tn，求Tn。【答案】(1)an=2n(2)Tn=2n-1+n2【分析】(1)由a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2a2+1由通项公式an=a1qn-1得：a1+4a1=22a1+1解得：a1=2an=a1qn-1=2n(2)由(1)得：Sn=a11-qn1-q=21-2n1-2=22n-1bn=an2-1Sn=4n-122n-1=2n+12n-122n-1=122n+1Tn=b1+b2+bn=122+1+22+1+2n+1=12n+21-2n1-2=2n-1+n29已经清楚数列为等比数列，是跟的等差中项.1求数列的
16、通项公式；2设，求数列的前项跟.【答案】(1)，；(2).【分析】1设数列的公比为，由于，因此，由于是跟的等差中项，因此.即，化简得，由于公比，因此，由于，因此因此，；2当为偶数时，前项跟；当为奇数时，前项跟；那么.10在等差数列an中，a1+a3=6，a9=17.1求数列an的通项公式；2设bn=(-1)n-1an，求数列bn的前100项跟S100.【答案】1an=2n-1；2-100.【分析】1a1+a3=2a2=6a2=3,7d=a9-a2=14,d=2,an=a2+n-2d=3+n-22=2n-1(2)bn=-1n-1an=-1n-12n-1S100=1-3+5-7+9-11+197-
17、199S100=-250=-100.11已经清楚等差数列an的前n项的跟为Sn，S9=117,a7=19.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=1anan+1，求Tn=b1+b2+bn；(3)设cx=lgax，x表示不逾越x的最大年夜整数，求cx的前1000项的跟.【答案】1an=3n-2；2n3n+1；32633.【分析】1由题意得S9=9(a1+a9)2=9a5=117，a5=13设等差数列an的公差为d，那么d=a7-a52=3，a1=a5-4d=13-12=1，an=1+3n-1=3n-22由1得bn=13n-23n+1=1313n-2-13n+1，Tn=b1+b2+bn=13(1
18、-14)+(14-17)+(13n-2-13n+1)=13(1-13n+1)=n3n+13由1得，事前1n3，1an7，因此cn=0；事前4n33，10an97，因此cn=1；事前34n333，100an997，因此cn=2；事前334n1000，1000an2998，因此cn=3cn=01n314n33234n3333334n1000，数列cx的前1000项的跟为301+3012+6673=263312已经清楚数列an称心tSn=n2-12n，其中Sn为数列an的前n项跟，假设a1+a3+a5=42，a2+a4=281求数列an的通项公式；2设bn=log2|an-26|，数列bn的前n项跟
19、为Tn，试比较T10与S10的大小【答案】(1)an=-4n+26(2)T10S10【分析】1由a1+a3+a5=42，a2+a4=28，可得S5=70，又tS5=52-125，解得t=-12，故-12Sn=n2-12n，即Sn=-2n2+24n，事前n2，Sn-1=-2(n-1)2+24(n-1)，an=Sn-Sn-1=-4n+26，事前n=1，a1=S1=22符合上式，故数列an的通项公式为an=-4n+262由1可得bn=log2|an-26|=log24n=2+log2n，S10=-2102+240=40，T10=2+log21+2+log22+2+log210=20+log2(123
20、10)，易知12310220，因此log2(12310)log2220=20，故T10S1013设数列称心，数列的前项跟1求数列跟的通项公式；2假设，求数列的前项跟【答案】1，2【分析】1数列称心，那么常数因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，因此数列的通项公式为：，又由数列的前项跟，时，解得，事前，由于首项符合通项，因此数列的通项公式为2由1得：，因此，-得：，解得：14已经清楚等比数列为递增数列，且，数列称心：，求数列跟的通项公式；设，求数列的前项跟【答案】I，II【分析】关于数列，由题得，解得或，又为递增数列，那么，数列称心：，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，.由得，。15已经清楚数列有，是它的前项跟，且1求证：数列为等差数列.2求的前项跟.【答案】1看法析；2【分析】1事前，因此，两式对应相减得，因此又n=2时，因此，因此，因此数列为等差数列.2当为偶数时，当为奇数时，综上：