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1、解解三三角角形形应应用用举举例例一一、选选择择题题1.（2014浙江高考文科 10）如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A处进行射击训练，已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角的大小（仰角为直线 AP与平面 ABC 所成角）。若15ABm，25ACm，30BCM则tan的最大值（ ）A30 5B30 10C4 3 9D5 3 9【解析】选 D. 由勾股定理可得，20BC ，过P作PPBC ，交BC于P，连结AP，则tanPP AP，设CPx ，则3tan303PPCPx在 RtAB
2、C 中，AB=15m，AC=25m，所以 BC=20m所以4cos5BCA ，所以246252 255APxx 240625xx， 所以22 2333 333tan406252549406251()525xxx xxx 当254 5x ，即125 4x 时，tan取得最大值为3 5 33 39 52.（2 20 01 14 4四四川川高高考考文文科科 8 8）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 75，30，此时气球的高是60cm，则河流的宽度BC等于（ ）A240( 31)m B180( 21)m C120( 31)m D30( 31)m【解题提示】先求AC，再由正弦定理
3、求BC即可 【解析】选 C.记气球的高度为AD，交CB延长线于D，在Rt ACD中，120AC m，在ABC中，由正弦定理知，120sinsin45sinsin75ACBCBACABC 602 sin(3045 )120( 31)m.二二、填填空空题题：3. （2014浙江高考理科 17）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练 . 已知点 到墙面的距离为，某目标点 沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点 观察点 的仰角 的大小.若则的最大值 【解析】由勾股定理可得，20BC ，过P作PPBC ，交BC于P，连结AP，则tanPP AP，设CPx ，则3tan303
4、PPCPx在 RtABC 中，AB=15m，AC=25m，所以 BC=20m所以4cos5BCA ，所以246252 255APxx 240625xx， 所以22 2333 333tan406252549406251()525xxx xxx 当254 5x ，即125 4x 时，tan取得最大值为3 5 33 39 5答案： 5 3 94. （2 20 01 14 4四四川川高高考考理理科科 1 13 3）如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C的俯角分别为67 ,30，此时气球的高度是 46m，则河流的宽度 BC 约等于 m.（用四舍五入法将结果精确到个位 .参考数据：sin670
5、.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，31.73）【解题提示】先求AC，再由正弦定理求BC即可 【解析】记气球的高度为AD，交CB延长线于D，在Rt ACD中，92AC m，在ABC中，9292sinsin370.6060sinsin670.92ACBCBACABC m.答案：60三 解答题5. （2 20 01 14 4湖湖南南高高考考文文科科 1 19 9）（本小题满分 13 分）如图 4，在平面四边形ABCD中，32, 2,7, 1,ADCEAECDEABDA,3BEC（1）求CEDsin的值；（2）求BE的长【解题提示】利用正余弦定 理，和三角变换公式求解
6、。 【解析】如图，设 CED(1)在CDE 中，由余弦定理，得EDCDECDDECDEC cos2222于是由题设知，06,1722 CDCDCDCD、 、解得2 CD(3 CD舍去)在CDE 中，由正弦定理，得 CD EDCEC sin于是，721sin721723232sin CEDECCD 、 、 、 (2)由题设知，30 ，于是由（1）知，772 49211sin1cos2 而 32AEB,所以147 721 23 772 21sin23cos21sin32sincos32cos)32cos(cosAEB在EABRt中，BEBEEAAEB2cos，所以741472cosBEEAAEB.
7、6. （2 20 01 14 4上上海海高高考考理理科科 2 21 1）如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长 35 米，CB长 80 米，设AB、在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和.（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01 米）？（2）施工完成后.CD与铅垂方向有偏差，现在实测得，45.1812.38求CD的长（结果精确到 0.01 米）？【解题指南】,tan,tan,2tantan2 ,.(2).Rt ADC Rt BDCADB(1)在中，根据边角关系可得根据，可得解此三角形不等式可得结论在中，根据正弦定
8、理可把D B的长度求出，在BC D 中，根据余弦定理可把D C 的长度求出.【解析】22200(1)tan,tan3580 2tan20,tantan2 ,tan21tan216080,020 228.2835640016400 28.28123.43115sin3,sinsinxxCDxx xxxxxCDaABa设的长为米，则解得：的长至多为米.(2)设D B=a, D A=b, D C =m ,AD B=180则解得AD B002208.1285.06sin123.4380160 cos18.4526.9326.93.maaCD答：的长为米7. （2 20 01 14 4上上海海高高考考文
9、文科科 2 21 1）如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长 35 米，CB长 80 米，设AB、在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和.（3）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01 米）？（4）施工完成后.CD与铅垂方向有偏差，现在实测得，45.1812.38求CD的长（结果精确到 0.01 米）？【解题指南】,tan,tan,2tantan2 ,.(2).Rt ADC Rt BDCADB(1)在中，根据边角关系可得根据，可得解此三角形不等式可得结论在中，根据正弦定理可把D B的长度求出，在BC D 中，根据余弦定
10、理可把D C 的长度求出.【解析】22200(1)tan,tan3580 2tan20,tantan2 ,tan21tan216080,020 228.2835640016400 28.28123.43115sin3,sinsinxxCDxx xxxxxCDaABa设的长为米，则解得：的长至多为米.(2)设D B=a, D A=b, D C =m ,AD B=180则解得AD B002208.1285.06sin123.4380160 cos18.4526.9326.93.maaCD答：的长为米8. （2 20 01 14 4重重庆庆高高考考文文科科 1 18 8）在ABC 中，内角, ,A
11、B C 所对的边分别为, ,a b c 且8abc .(1)若52,2ab 求cosC 的值; (2)若22sincossincos2sin,22BAABC 且ABC的面积9sin,2SC 求a 和b 的值. 【解题提示】 (1)直接根据余弦定理即可求出cosC 的值.(2)根据题设条件可以 得到 关于a 和b的关系式进而求出a 和b的值.【解析】(1)由题意可知:78(),2cab 由余弦定理得 :22 2 222572122cos.5252 22abcCab (2)由22sincossincos2sin22BAABC可得:1 cos1 cossinsin2sin,22BAABC化简得sinsincossinsincos4sin.AABBBAC 因为sincossincossin()sin,ABBAABC所以sinsin3sin.ABC 由正弦定理可知 :3 .abc 又因为8abc,故6.ab由19sinsin,22SabCC 所以9,ab 从而2690aa ，解得3,3.ab