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1、|解 三 角 形 应 用 举 例一 、 选 择 题1.（ 2014浙 江 高 考 文 科 10） 如 图 ， 某 人 在 垂 直 于 水 平 地 面 ABC 的 墙 面 前 的 点 A处 进 行 射 击 训 练 ， 已 知 点 A 到 墙 面 的 距 离 为 AB， 某 目 标 点 P 沿 墙 面 的 射 击 线 CM 移 动 ，此 人 为 了 准 确 瞄 准 目 标 点 P， 需 计 算 由 点 A 观 察 点 P 的 仰 角 的 大 小 （ 仰 角 为 直 线 AP与 平 面 ABC 所 成 角 ） 。 若 15Bm， 25C， 30M则 tan的 最 大 值 （ ）A305B30C439
2、D59【 解 析 】 选 D. 由 勾 股 定 理 可 得 ， 20BC， 过 P作 BC， 交 于 P， 连 结AP，则tanPA， 设 Cx， 则3tan0PCx在 Rt ABC 中 ， AB=15m， AC=25m， 所 以 BC=20m所 以4cos， 所 以2465x2065x， 所 以2 22333tan40654941()5xxx|当254x， 即125x时 ， tan取 得 最 大 值 为3592.（ 2014四 川 高 考 文 科 8） 如 图 ， 从 气 球 A上 测 得 正 前 方 的 河 流 的 两 岸 B， C的俯 角 分 别 为 75， 30， 此 时 气 球 的
3、高 是 60cm， 则 河 流 的 宽 度 BC等 于 （ ）A 240(31)m B 180(2)m C 120(3)m D 30(1)m【 解 题 提 示 】 先 求 AC， 再 由 正 弦 定 理 求 B即 可 【 解 析 】 选 C.记 气 球 的 高 度 为 D， 交 延 长 线 于 ， 在 RtAC中 ， 20m， 在B中 ， 由 正 弦 定 理 知 ， sinsin45si i7A6i(345)120(3)m.二 、 填 空 题 ：3. （ 2014浙 江 高 考 理 科 17） 如 图 ， 某 人 在 垂 直 于 水 平 地 面 的 墙 面 前 的 点处 进 行 射 击 训 练
4、 . 已 知 点 到 墙 面 的 距 离 为 ， 某 目 标 点 沿 墙 面 的 射 击 线 移 动 ， 此人 为 了 准 确 瞄 准 目 标 点 ， 需 计 算 由 点 观 察 点 的 仰 角 的 大 小 .若则 的 最 大 值 【 解 析 】 由 勾 股 定 理 可 得 ， 20BC， 过 P作 BC， 交 于 P， 连 结 A，则tanPA， 设 x， 则3tanx在 Rt ABC 中 ， AB=15m， AC=25m， 所 以 BC=20m|所 以4cos5BCA， 所 以24655Px206x， 所 以2 22333tan406549451()5xxx当254x， 即125x时 ，
5、tan取 得 最 大 值 为395答 案 ： 394. （ 2014四 川 高 考 理 科 13） 如 图 ， 从 气 球 A 上 测 得 正 前 方 的 河 流 的 两 岸 B， C的 俯 角 分 别 为 67,0， 此 时 气 球 的 高 度 是 46m， 则 河 流 的 宽 度 BC 约 等 于 m.（ 用 四 舍 五 入 法 将 结 果 精 确 到 个 位 .参 考 数 据 ： sin70.92， cos670.39，sin3.， cos3.8， 317）【 解 题 提 示 】 先 求 AC， 再 由 正 弦 定 理 求 BC即 可 【 解 析 】 记 气 球 的 高 度 为 D， 交
6、 延 长 线 于 D， 在 RtAC中 ， 92m， 在ABC中 ， 9292sinsin370.6si i6B m.答 案 ： 60三 解 答 题5. （ 2014湖 南 高 考 文 科 19） （ 本 小 题 满 分 13 分 ）如 图 4， 在 平 面 四 边 形 ABCD中 ， 32,7, ADCECAB,3BEC（ 1） 求 Esin的 值 ；|（ 2） 求 BE的 长【 解 题 提 示 】 利 用 正 余 弦 定 理 ， 和 三 角 变 换 公 式 求 解 。【 解 析 】 如 图 ， 设 CED(1)在 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 EDCCDEcos22于 是 由 题 设
7、 知 ， 06,172、解 得 2CD( 3舍 去 )在 E中 ， 由 正 弦 定 理 ， 得 EDCsin于 是 ， 721si72132sinC、(2)由 题 设 知 ， 30， 于 是 由 （ 1） 知 ，72491sin1cos2而 3AEB,所 以 14723721sin2co1 sincos)(s 在 EABRt中 ， BEA， 所 以 7412cosBEA.6. （ 2014上 海 高 考 理 科 21） 如 图 ， 某 公 司 要 在 A、两 地 连 线 上 的 定 点C处 建 造 广 告 牌 D， 其 中 为 顶 端 ， AC长 35 米 ， B长 80 米 ， 设 B在 同
8、 一 水 平面 上 ， 从 A和 B看 的 仰 角 分 别 为 和 .（ 1） 设 计 中 C是 铅 垂 方 向 ， 若 要 求 2， 问 D的 长 至 多 为 多 少 （ 结 果 精 确 到|0.01 米 ） ？（ 2） 施 工 完 成 后 .CD与 铅 垂 方 向 有 偏 差 ， 现 在 实 测 得 ， 45.182.3求CD的 长 （ 结 果 精 确 到 0.01 米 ） ？【 解 题 指 南 】 , tan,2tan2.(2)RACtBADB (1)在 中 ， 根 据 边 角 关 系 可 得 根 据 ， 可 得解 此 三 角 形 不 等 式 可 得 结 论 在 中 ， 根 据 正 弦
9、定 理 可 把 的长 度 求 出 ， 在 D中 ， 根 据 余 弦 定 理 可 把 C的 长 度 求 出 .【 解 析 】 22200(1)tan,t3580tan0,1168, 8.35410. 123.415sin3,sini xxxxxCDaABa设 的 长 为 米 ， 则 解 得 ：的 长 至 多 为 米()设 =bmD=8则解 得20.5624806co.9.93mCD答 ： 的 长 为 米7. （ 2014上 海 高 考 文 科 21） 如 图 ， 某 公 司 要 在 AB、两 地 连 线 上 的 定 点处 建 造 广 告 牌 ， 其 中 D为 顶 端 ， AC长 35 米 ， 长
10、 80 米 ， 设 在 同 一 水 平面 上 ， 从 A和 B看 的 仰 角 分 别 为 和 .（ 3） 设 计 中 C是 铅 垂 方 向 ， 若 要 求 2， 问 D的 长 至 多 为 多 少 （ 结 果 精 确 到0.01 米 ） ？（ 4） 施 工 完 成 后 . D与 铅 垂 方 向 有 偏 差 ， 现 在 实 测 得 ， 45.182.3求CD的 长 （ 结 果 精 确 到 0.01 米 ） ？【 解 题 指 南 】|, tan,2tant2.(2)RADCtBADB (1)在 中 ， 根 据 边 角 关 系 可 得 根 据 ， 可 得解 此 三 角 形 不 等 式 可 得 结 论
11、在 中 ， 根 据 正 弦 定 理 可 把 的长 度 求 出 ， 在 中 ， 根 据 余 弦 定 理 可 把 C的 长 度 求 出 .【 解 析 】 22200(1)tan,t3580tan0,1168, 8.35410. 123.415sin3,sini xCxxxxCDaABa设 的 长 为 米 ， 则 解 得 ：的 长 至 多 为 米()设 =bmD=8则解 得20.5624806co.9.93mCD答 ： 的 长 为 米8. （ 2014重 庆 高 考 文 科 18） 在 ABC 中 ， 内 角 ,ABC 所 对 的 边 分 别 为 ,abc 且 8abc .(1)若 5, 求 cos
12、C 的 值 ; (2)若 22sininsin,BA 且 的 面 积 9sin,2S 求 a 和 b 的 值 . 【 解 题 提 示 】 (1)直 接 根 据 余 弦 定 理 即 可 求 出 cosC 的 值 .(2)根 据 题 设 条 件 可 以 得 到关 于 a 和 b的 关 系 式 进 而 求 出 a 和 b的 值 .【 解 析 】 (1)由 题 意 可 知 : 78(),2c 由 余 弦 定 理 得 :22251cos .5abC(2)由 22sinsinsinBAAC可 得 :1co1co,化 简 得 sisisc4si.B 因 为 nin(),ABA所 以 nsi3in.ABC 由 正 弦 定 理 可 知 : 3.abc 又 因 为 8ab,故 6.ab|由 19sini,2SabC 所 以 9,ab 从 而 2690a ， 解 得 3,.ab