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1、用心整理精品 精品 OBPQSSSPQBPQCPBC.21存在性问题 1、平行四边形(2016 本溪 26)(2017 铁岭)26、(14 分)如图,抛物线cbxxy2与 x 轴的两个交点分别为A(3,0),D(-1,0),与 y 轴交于点C,点 B 在 y 轴正半轴上,且OB=OD。(1)求抛物线的解析式;(2)如图 1,抛物线的顶点为点 E,对称轴交 x 轴于点 M,连接 BE,AB,请在抛物线的对称轴上找一点 Q,使QBA=BEM,求出点 Q 的坐标;(全等三角形、勾股定理、一次函数)(3)如图 2,过点 C 作 CFx 轴,交抛物线于点 F,连接 BF,点 G 是 x 轴上一点,在抛物
2、线上是否存在点 N,使以点 B,F,G,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由。(1、BF 为边、为对角线;2、抓住一组对边构造全等三角形,其中一个三角形三边是定值)(2017 鞍山)26、(14 分)如图,抛物线223212xxy与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C。(1)试探究ABC 的外接圆的圆心位置,求出圆心坐标;(2)点 P 是抛物线上一点(不与点 A 重合),且ABCPBCSS,求APB 的度数;(面积问题:用铅垂线段 PQ 补形,PBC 的面积等于两部分之差,从而把PBC 的面积转化为“水平
3、宽”与“铅垂高”乘积的一半)将求三角形面积问题转化为求水平线段(铅垂线)的长度 用心整理精品 精品 421EFSBEC(3)在(2)的条件下,点 E 是 x 轴上方抛物线上一点,点 F 是抛物线对称轴上一点,是否存在这样的点 E 和点 F,使得以点 B,P,E,F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由。(2015 葫芦岛)26、(14 分)如图,直线343xy与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 B,抛物线cxaxy432经过 B,C 两点。(1)求抛物线的解析式;(2)如图,点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点,当BEC 面积最大时,请
4、求出点 E 的坐标和BEC 面积的最大值?(面积问题:用铅垂线段 EF 分割,BEC 的面积变成两部分之和,从而把BEC 的面积转化为“水平宽”与“铅垂高”乘积的一半)过点 E 作 EFy 轴交 BC 于点 F,则 (OC=4)(3)在(2)的结论下,过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M,连接 AM,点 Q 是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点 P,使得以 P,Q,A,M 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。用心整理精品 精品 (2016 营口)26、(14 分)如图 1,已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-1,0),
5、B(3,0),C(0,3)直线 BE 交 y 轴正半轴于点 E。(1)求经过 A,B,C 三点的抛物线解析式及顶点 D 的坐标;(2)连接 BD,CD,设1)tan(,若EBODBO,求点 E 的坐标;(特殊角的三角函数值,相似三角形的判定及性质)(3)如图 2,在(2)的条件下,动点 M 从点 C 出发以每秒2个单位的速度在直线 BC 上移动(不考虑点 M 与点 C,B 重合的情况),点 N 为抛物线上一点,设点 M 移动的时间为 t 秒,在点 M 移动的过程中,以 E,C,M,N 四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能,直接写出满足条件的 t 值及点 M 的个数,若不能,请说明理由。
6、2、菱形(2014 本溪)(2017 葫芦岛)如图,抛物线)0(22acxaxy与 x 轴、y 轴分别交于 A,B,C 三点,已知点 A(-2,0),点 C(0,-8),点 D 是抛物线的顶点。(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标;(2)如图 1,抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E,第四象限的抛物线上有一点 P,将EBP 沿直线 EP翻折,使点 B 的对称点B落在抛物线的对称轴上,求点 P 的坐标;用心整理精品 精品(3)如图 2,设 BC 交抛物线的对称轴于点 F,作直线 CD,点 M 是直线 CD 上的动点,点 N 是平面内一点,当以点 B,F,M,N 为顶点的四边形是菱形时,请直接写
7、出点 M 的坐标。(2)轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、函数图像中交点坐标的求法(3)利用边长相等构造全等三角形,其中一个三角形三边长是定值;利用垂直平分线的性质,找到 y 轴上的一点与两端点距离相等,根据勾股定理用方程法求出交点 H 的坐标;求出直线 GH 的解析式,再与直线 CD 的解析式联立方程组求出点 M 的坐标。(2017 营口)26、(14 分)如图,抛物线22bxaxy的对称轴是直线1x,与 x 轴交于 A,B两点,与 y 轴交于点 C,点 A 的坐标为(-2,0),点 P 为抛物线上的一个动点,过点 P 作 PDx 轴于点 D,交直线 BC 于点 E。(1)求抛物线的解析式
8、;(2)若点 P 在第一象限内,当 OD=4PE 时,求四边形 POBE 的面积;(3)在(2)的条件下,若点 M 为直线 BC 上一点,点 N 为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点 M 和点 N,使得以点 B,D,M,N 为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由。用心整理精品 精品 (2016锦州)26、(14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线)为常数,其中0,(32ababxaxy经过点 A(-1,0)和点 B(3,0),且与 y 轴交于点 C,点 D 为对称轴与直线BC 的交点。(1)求该抛物线的表达式;(2)抛物线上存在点P,使得DPBACB,求
9、点 P 的坐标;(3)若点 Q 为点 O 关于直线 BC 的对称点,点为直线 BC 上一点,点 N 为坐标平面内一点,是否存在这样的点 M 和点 N,使得以 Q,B,M,N 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由。(2016 眉山)已知如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A、B、C 分别为坐标轴上的三个点,且 OA=1,OB=3,OC=4。(1)求经过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系 xoy 中是否存在一点 P,使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。(3)若点 M
10、 为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当AMPM 的最大值时点 M 的坐标,并直接写出AMPM 的最大值。(3)当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时,根据三角形三边的关系AMPM 始终小于 PA。当点 M 与点 P、A 在同一直线上时,PAAMPM 用心整理精品 精品 当点 M、P、A 在同一直线上时,AMPM 的值最大。3、矩形 如图,抛物线322xxy与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,点 D和点 C 关于抛物线的对称轴对陈,直线 AD 与 y 轴相交于点 E。(1)求直线 AD 的解析式;(2)如图,直线 AD 上方的抛物线上有一点
11、 F,过点 F 作 FGAD 于点 G,作 FH 平行于 x 轴交直线AD 于点 H,求FGH 的周长的最大值;(求二次函数最大值)(3)点 M 是抛物线的顶点,点 P 是 y 轴上一点,点 Q 是坐标平面内一点,以 A,M,P,Q 为顶点的四边形是以 AM 为边的矩形,若点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称,求点 T 的坐标。(3)利用矩形中的直角构造相似三角形,其中一个三角形三边一定 用心整理精品 精品 (2017 本溪模拟)如图,一次函数121xy的图像与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,二次函数cbxxy221的图像与一次函数121xy的图像交于 B、C 两点,与 x 轴
12、交于 D、E 两点且 D 点坐标为(1,0)。(1)求二次函数的解析式;(2)若抛物线上存在点 P,使PBCBDCSS,求出 P 点坐标(不与已知点重合);(3)在 x 轴上存在点 N,平面内存在点 M,使得 B、N、C、M 为顶点构成矩形,请直接写出 M 点坐标。(2)方法:作铅垂线段分割 计算方法 1:作铅垂线段 DF、PG,把 BC 当底,高 DF=PG 列等式 计算方法 2:分别以 DF、PG 为底,而高都是点 C 的纵坐标,即“水平宽”与“铅垂高”乘积的一半 3、等腰直角三角形(2017 本溪 26)(2016 丹东)26、如图,抛物线bxaxy2过 A(4,0),B(1,3)两点,
13、点 C,B 关于抛物线的对称轴对称,过点B 作直线 BHx 轴,交 x 轴于点 H。用心整理精品 精品 BPDHAPDABHABPSSSS四边形32121PQAHPQSABP(1)求抛物线的表达式;(2)直接写出点 C 的坐标,并求出ABC 的面积;(3)点 P 是抛物线上一动点,且位于第四象限,当ABP 的面积为 6 时,求出点 P 的坐标;(4)若点 M 在直线 BH 上运动,点 N 在 x 轴上运动,当以点 C,M,N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时CMN 的面积。(3)面积问题:1、用水平线段 PD 补形:2、用铅垂线段 PQ 补形:(2016 玉林)如图,抛物线 L
14、:cbxaxy2与 x 轴交于 A,B(3,0)两点,(A 在 B 的左侧),与y 轴交于点 C(0,3),已知对称轴1x,(1)求抛物线 L 的解析式;(2)将抛物线 L 向下平移 h 个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在OBC 内(包括OB 的边界),求 h 的取值范围;用心整理精品 精品(3)设点 P 是抛物线 L 上任意一点,点 Q 在直线3:xl上,PBQ 能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点 P 的坐标;若不能,请说明理由。4、等腰三角形(2013 本溪)(2017 朝阳)如图,在平面直角坐标系中,抛物线bxaxy2经过两点 A(2,4),B(4
15、,4),交 x轴正半轴于点C。(1)求抛物线bxaxy2的解析式;(2)过点 B 作 BD 垂直于 x 轴,垂足为点 D,连接 AB,AD,将ABD 以 AD 为轴翻折,点 B 的对应点为点 E,直线 DE 交 y 轴于点 P,请判断点 E 是否在抛物线上,并说明理由。(3)在(2)的条件下,点 Q 是线段 OC(不包含端点)上一动点,过点 Q 垂直于 x 轴的直线分别交直线 DP 及抛物线于点 M,N,连接 PN,请探究,是否存在点 Q,使PMN 是以 PM 为腰的等腰三角形?若存在,请求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由。(3)属于“两动一定”,适合代数法:用代数式分别表示出三边列方程
16、解方程(检验)(2016 山西)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线82bxaxy与 x 轴交于 A,B 两点,与 y轴交于点 C,直线l经过坐标原点 O,与抛物线的一个交点为 D,与抛物线的对称轴交于点 E,连接CE,已知点 A,D 的坐标分别为(-2,0),(6,-8).(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点 B 和点 E 的坐标;用心整理精品 精品(2)试探究抛物线上是否存在点 F,使FOEFCE?若存在,请直接写出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线 PB 与直线l交于点 Q,试探究:当 m 为何值时,OPQ
17、是等腰三角形。(3)当OPQ 三边无法表示出时,过点 E 作 EFPB,能求出直线 EF 的解析式,再根据平行线的性质21KK,求出直线 PB 的解析式,从而求出点 P 的坐标,即 m 的值。(2016 铁岭)如图,抛物线32bxaxy经过点 A(-1,0)和点 B(4,0),且与 y 轴相交于点 C,点 D是线段 BC 上的一个动点(不与点B,C 重合),设点 D 的横坐标为 t,过点 D 作 DEy 轴交抛物线于点 E,点 F 在 DE 的延长线上,且 EF=DE,过点 F 作 FG直线 BC,垂足为点 G。(1)求此抛物线的解析式和点C 的坐标;(2)设DFG 的周长为 L,求 L 和
18、t 的函数关系式;(相似三角形的判定和性质)(3)直线 m 经过点 C,且直线 mx 轴,点 P 是直线 m 上任意一点,过点 P 分别作 PQ直线 BC,PRx 轴,垂足分别为点 Q,R,若以三点 P,Q,R 为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出点 P 的坐标。用心整理精品 精品 (3)利用全等或相似的判定和性质 5、直角三角形(2015 本溪 26)(2017 年阜新)如图,抛物线cbxxy2的图像与 x 轴交于 A(-5,0),B(1,0)两点,与 y轴交于点C,抛物线的对称轴与x 轴交于点D。(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图 1,点 E(x,y)为抛物线上一点,且25-x,过点
19、 E 作 EFx 轴,交抛物线的对称轴于点 F,作 EHx 轴于点 H,得到矩形 EHDF,求矩形 EHDF 周长的最大值;(3)如图 2,点 P 为抛物线对称轴上一点,是否存在点 P,使以点 P,A,C 为点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。用心整理精品 精品 (2015 本溪)如图,抛物线)0(2abxaxy经过点 A(2,0)、点 B(3,3)。BCx 轴于点 C,连接OB,等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 在 x 轴上,点 E 的坐标为(-4,0),点 F 与原点重合。(1)求抛物线的解析式并直接写出它的坐标;(2)DEF 以每秒 1 个
20、单位长度的速度沿 x 轴正方向移动,运动时间为 t 秒,当点 D 落在 BC 边上时停止运动。设DEF 与OBC 的重叠部分的面积为 s,求出 s 与 t 的函数解析式;(3)点 P 是抛物线对称轴上一点,当ABP 是直角三角形时,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标。6、三角形相似问题(2015 铁岭)如图,在平面直角坐标系中,抛物线32bxaxy与 x 轴交于 A(-3,0),B(1,0)两点,与y 轴交于点C,点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴对陈。(1)求抛物线的解析式,并直接写出点D 的坐标;(2)如图 1,点 P 从点 A 出发,以每秒1 个单位长度的速度沿AB 匀速运动,到达点
21、B 时停止运动。以 AP 为边作等边APQ(点 Q 在 x 轴上方),设点 P 在运动过程中,APQ 与四边形 AOCD 重叠部分的面积为S,点 P 的运动时间为t 秒,求 s 与 t 之间的函数关系式;(3)如图 2,连接 AC,在第二象限内存在点M,使得以M,O,A 为顶点的三角形与AOC 相似。请直接写出所有符合条件的点M 的坐标。用心整理精品 精品(2016 连云港)如图,在平面直角坐标系 x0y 中,抛物线bxaxy2经过两点 A(-1,1),B(2,2),过点 B 作 BCx 轴,交抛物线于点C,交 y 轴于点 D。(1)求此抛物线对应的函数表达式及点C 的坐标;(2)若抛物线上存
22、在点M,使得BCM 的面积为27,求出点 M 的坐标;(3)连接 OA、OB、OC、AC,在坐标平面内,求使得AOC 与OBN 相似(边 OA 与边 OB 对应)的点N 的坐标。(2015 朝阳市)如图,已知经过点 D(2,3-)的抛物线)3)(1(3mxxy(m 为常数,且m0)与 x 轴交于点A,B(点 A 位于点 B 的左侧),与 y 轴交于点C。(1)填空:m 的值为 ,点 A 的坐标为 ;(2)根据下列描述,用尺规完成作图(保留卓图痕迹,不写作法):连接 AD,在 x 轴上方作射线AE,使BAE=BAD,过点D 作 x 轴的垂线交射线AE 于点 E;(3)动点M、N 分别在射线AB、
23、AE 上,求MEMN 的最小值;(4)l是过点A 平行于y 轴的直线,P 是抛物线上一点,过点 P 作l的垂线,垂足为点G。请你探究:是否存在点P,使以 P、G、A 为顶点的三角形与ABD 相似?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。用心整理精品 精品 OAMNSABN21 7、与面积有关的问题:(2017 鞍山)(2015 葫芦岛)(2016 丹东)(2017 本溪模拟)(割补法用水平线段或铅垂线段来割补三角形)(2017 抚顺模拟)如图,直线343xy与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,抛物线cbxxy2经过 A、B 两点,M 是射线 BA 上一个动点,MNy 轴交抛物线于点
24、N。(1)求抛物线的解析式;(2)连接 AN、BN,设ABN 的面积为 S,点 M 在线段 AB 上运动,在点 M 的运动过程中,S 是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由。(3)点 M 从点 B 出发,沿射线 BA 方向以每秒 5 个单位长度的速度匀速运动,设运动时间为ts,当 t 为何值时,MB=MN,请直接写出所有符合条件的t 值。OA=4,则 MN 值最大,ABN 面积最大 面积最值本质上就是线段的最值,面积最值与线段 最值之间可以互相转化 (2018 本溪模拟一)如图,在平面直角坐标系中,二次函数cbxaxy2的图像经过点 A(6,0),B(-2,0),C(0
25、,4)(1)求二次函数cbxaxy2的表达式;(2)点 P 在第一象限的抛物线上,且能够使ACP 的面积最大,求点P 的坐标;用心整理精品 精品 21OPDSAPQ(3)在(2)的前提下,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得APQ 为直角三角形,若存在,直接写出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。面积求法:作铅垂线段 PD,把ACP 的面积分割成两部分的和,所以 PD 最大,则ACP 的面积最大。(2016 抚顺)已知抛物线cbxxy292经过点 A(-3,0),点 C(0,4)。(1)求抛物线的解析式;(2)作 CDx 轴交抛物线于点 D,作 DEx 轴,垂足为点 E,动点 M 从点 E 出
26、发在线段 EA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动,同时动点 N 从点 A 出发在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t 秒。如图 1,当 MNDE 时,求 t 值;如图 2,设DMN 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式;在点 M 和点 N 运动过程中,是否存在某一时刻,使 MNAD?若存在,直接写出此时 t 的值;若不存在,请说明理由。用心整理精品 精品 DEMDCMAMNACDEDMNSSSSS四边形 8、重叠部分的面积问题(2015 年中考本溪、铁岭、营口、辽阳)二、线段和、差最值问题(201
27、6 本溪)题型 1:两定一动(作对称,连定点)(两点之间线段最短)1、如图,正方形 ABCD 的边长为 8,M 在 DC 上,且 DM 等于 2,N 是 AC 上一动点,则 DNMN 的最小值为多少?题型二:两动一定(作对称,作垂直)(垂线段最短)1、正方形 ABCD 的边长是 8,DAC 的角平分线 AE 交 DC 于点 E,若点 PQ 分别是 AD 和 AE 上的动点,则 DQPQ 的最小值?2、若ABC 中,BAC=300,AB=BC=2,若在 AC、AB 上各取一点 M、N,使 BM+MN 得值最小,则这个最小值为?题型三:做双对称(转化成线段即两对称点之间的距离)1、已知AOB=30
28、0,点 P 为AOB 内一点,且 OP=5cm,点 M、N 分别在 OA、OB 上运动,求PMN 的周用心整理精品 精品 长的最小值。2、在直角坐标系中有四个点 A(-6,3),B(-2,5),C(0,m),D(n,0),当四边形的周长最短时求点 C 点 D 的坐标。题型四:平移线段 在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,E 为 CD 的中点,点 P、Q 为 BC 上的两个动点,且 PQ=3,当 CQ=时,四边形 APQE 的周长最小。题型五:线段之差最大 1、已知ABC 为等腰直角三角形,AC=BC=4,BCD=150,P 为 CD 上的动点,则PBPA的最大值是多少?利用三角形三边关系
29、,当三边共线时,差最大 2、如图,已知直线121xy与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 D,抛物线cbxxy221与直线交于 A、E 两点,与 x 轴交于 B、C 两点,且B 点坐标为(1,0)用心整理精品 精品(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上找一点 M,使MCAM 的值最大,求出点 M 的坐标。(2016 眉山)已知如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A、B、C 分别为坐标轴上的三个点,且 OA=1,OB=3,OC=4。(4)求经过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式;(5)在平面直角坐标系 xoy 中是否存在一点 P,使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形?
30、若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。(6)若点 M 为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当AMPM 的最大值时点 M 的坐标,并直接写出AMPM 的最大值。(3)当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时,根据三角形三边的 关系AMPM 始终小于 PA。当点 M 与点 P、A 在同一直线上时,PAAMPM 当点 M、P、A 在同一直线上时,AMPM 的值最大。用心整理精品 精品 已知,二次函数)0(322aaaxaxy的图像的顶点为H,与 x 轴交于 A,B 两点(B 在 A 点右侧),点 H,B 关于直线:333xy对称。(1)求 A,B 两点坐标,并证明点 A 在直线上;A(-3,0)B(1,0)(2)求二次函数解析式;(3)过点 B 作直线 BKAH 交直线于 K 点,M,N 分别为直线 AH 和直线上的两个动点,连接 HN,NM,求 HNNMMK 的最小值。